数学与应用数学概率统计复习题(2011级)有答案

第一章 复习题

一 选择题

1.设1(|)(|)4P A B P B A ==，2()3

P A =，则（ ） (A) A 与B 独立，且5()12

P A B = (B) A 与B 独立，且()()P A P B = (C) A 与B 不独立，且7()12

P A B = (D) A 与B 不独立，且(|)(|)P A B P A B = 2.设,,A B C 是三个相互独立的随机事件，且0()()1P AC P C <<<，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）

(A) A B 与C (B) AC 与C (C) A B -与C (D) AB 与C

3.设0()1P A <<，0()1P B <<，(|)(|)1P A B P A B +=，那么下列肯定正确的选项是（ ）

(A) A 与B 相互独立 (B) A 与B 相互对立 (C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不对立

4.对于事件A 和B ，满足(|)1P B A =的充分条件是（ ） (A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C) A B ? (D) A B ?

5.设,,A B C 为随机事件，()0P ABC =，且01p <<，则一定有（ ）

(A)()()()()P ABC P A P B P C = (B)(()|)(|)(|)P A

B C P A C P B C =+ (C)()()()()P A B C P A P B P C =++ (D)(()|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+

6.设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（ ）

(A)A 与BC 独立 (B)AB 与A C 独立 (C)AB 与AC 独立 (D)A B 与A C 独立

7.对于任意二事件A 和B ,与A B B =不等价的是（ ）

(A)A B ? (B)B A ? (C)AB =? (D)AB =?

8.设当事件A 与B 同时发生时事件C 也发生，则下列肯定正确的选项是（ ）

(A)()()P C P AB = (B)()()P C P A B = (C)()()()1P C P A P B ≤+- (D)()()()1P C P A P B ≥+-

9.设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） (A)A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C)()()()P AB P A P B = (D)()()P A B P A -=

10.若二事A 和B 同时出现的概率()0P AB =，则下列肯定正确的选项是（ ）

(A) A 和B 不相容 (B)AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D)()0P A =或()0P B =

11.设A 和B 为二随机事件，且B A ?，则下列肯定正确的选项是（ ）

(A)()()P A B P A = (B)()()P AB P A = (C)(|)()P B A P B = (D)()()()P B A P B P A -=-

12.对于任意两个事件A 和B ，其对立的充要条件为（ ）

(A) A 和B 至少必有一个发生 (B) A 和B 不同时发生

(C) A 和B 至少必有一个发生，且A 和B 至少必有一个不发生

(D) A 和B 至少必有一个不发生

13.设事件A 和B 满足条件AB AB =，则下列肯定正确的选项是（ ）

(A)A B =Φ(B) A B =Ω (C) A B A = (D) A B B =

14.设A 和B 是任意事件且A B ?，()0P B >，则下列选项必然成立的是（ ）

(A) ()(|)P A P A B < (B) ()(|)P A P A B ≤ (C) ()(|)P A P A B > (D) ()(|)P A P A B ≥

15.对于任意二事件A 和B ，（ ）

(A)若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 (B) 若AB ≠Φ，则A 和B 有可能独立

(C)若AB =Φ，则A 和B 一定独立 (D) 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立 16.设随机事件A 与B 互不相容，则下列结论中肯定正确的是

(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=

17.设A 和B 是两个随机事件，且0()1P A <<，()0P B >，(|)(|)P B A P B A =，则必有（ ）

(A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠

18.设A 与B 互为对立事件，且()0,()0P A P B >>, 则下列各式中错误的是（ ）

(A) ()1()P A P B =- (B)()()()P AB P A P B = (C) ()1P AB = (D) ()1P A

B =

19.设()0,0()1P A P B ><<，且A 和B 二事件互斥，下列关系式正确的是（ ） (A)()(|)P B P B A = (B)P AB P A P B （）＝（）（） (C)()(|)1()P A P A B P B =- (D)()1()P B P A =-

20.设A 和B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（ ）

(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B > (C) ()()P A B P A = (D) ()()P A B P B =

二 填空题

1.口袋中有7个白球和3个黑球，从中任取两个，则取到的两个球颜色相同的概率等于______________。

2.口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下球的号码，则最大号码为5的概率等于_____________。

3.从0、1、2、…、9这十个数字中任意选出三个不同的数字，则三个数学中含0但不含5的概率为________________。

4.甲乙两人独立地向目标射击一次，他们的命中率分别为0.75和0.6。现已知目标被命中，则它是甲和乙共同射中的概率为__________________。

5.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件。已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为_________________。

6.设A 和B 为随机事件，()0.4P A =，()0.3P B =，()0.6P A B =，则()P AB =________。

7.已知1()()()4P A P B P C ===，()0P AC =，1()()16P AB P BC ==

，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为______________。

8.假设A 和B 是两个相互独立的事件，()0.7P A B =，()0.3P A =，则()P B =__________。

9.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081

，则该射手的命中率为__________。 10.假设A 和B 是两个互不相容的事件，()0.7P A B =，()0.4P A =，则()P B =__________。

11.掷三颗骰子，则所得的最大点数为5的概率等于_______________。

12.将10本书任意地放在书架上，则其中指定的四本书放在一起的概率等于_____________。

13.同时掷5枚骰子，其中有一对相同的概率等于_____________________。

14.设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4。如果现在有一只20岁的这种动物，则它能活到25岁以上的概率为_________。

15.设对于事件,,A B C ,有1()()()4P A P B P C ===，()()0P AB P BC ==，1()8

P AC =，则A 、B 、C 三个事件中至少出现一个的概率为_____________。

16.设两两相互独立的三个事件,,A B C 满足条件：ABC =Φ，()()()P A P B P C ==，且已知9()16

P A B C =，则()P A =______________。

17.已知2()3P A =，3(|)5

P B A =，3(|)4P B A =，则()P B =_______________。 18.设A 和B 是两个相互独立的随机事件，且已知1()4P A =，1()3

P B =，则()P A B -=_____________。 19.已知()0.7P A =，()0.4P A B -=，则()P AB =_____________。

20.设A 和B 是两个互不相容的事件，且已知()0.4P A =，()0.7P A B =，则()P B =________。

三 解答题

1.甲口袋中有a 个白球和b 个黑球,乙口袋中有n 白球和m 个黑球.从甲口袋任取2个球放入乙口袋,然后再从乙口袋任取1个球.试求(1)最后从乙口袋取出的是白球的概率;(2)如果最后从乙口袋取出的是白球,求从甲口袋取出的全是白球的概率.

2.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。

(1)求先抽到的一份是女生表的概率；

(2)已知先抽到的一份是女生表，求后抽到的一份也是女生表的概率。

3.要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：从该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被认为不纯的概率为0.01。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接收的概率是多少？

4.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过3件，且一批产品中含有次品数为0、1、2、3的概率分别为0.1、0.2、0.3、0.4。现在进行抽样检查，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。求通过检验的一批产品中，没有次品的概率。

5.甲、乙、丙三门高射炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率分别是0.4、0.5、0.7。又设若只有

一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2；若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6；若三门炮都射中，飞机必坠毁。试求飞机坠毁的概率。

6.某血库急需AB 型血,要从身体合格的献血者中获得,根据经验,每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.

(1) 求20名身体合格的献血者至少有一人是AB 型血的概率;

(2)若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血,需要多少位身体合格的献血者?

7.一个人的血型为A,B,AB,O 型的概率分别为0.37,0.21,0.08,0.34.现任意挑选四个人,试求(1)此四人的血型全不相同的概率;(2)此四人的血型全部相同的概率.

8.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率为1/(1),1,2,3i p i i =+= .求这3个零件中最多有一个次品的概率.

9.学生在做一道4个选项的单项选择题时,如果他不知道问题的正确答案,就作随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.(1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2;(2)学生知道正确答案的概率是0.2.

10.将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.2，而输出其它一字母的概率都是0.4。今将字母串AAAA 、BBBB 、CCCC 之一输入信道，输入AAAA 、BBBB 、CCCC 的概率均为1/3，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。）

11.甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？

12.设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5。若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150米。若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200米。若第三枪还未命中，则猎物逃逸。假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率。

13.系统由多个元件组成，且所有元件都独立地工作。设每个元件正常工作的概率都为0.9p =，试求以下系统正常工作的概率。

14.有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为α，乙命中的概率为β。甲先射，谁先命中谁得胜。问甲、乙两人获胜的概率各为多少？

15.已知1000个产品中次品的个数从0到5是等可能的。如果从这些产品中取出的100个都是正品，求这1000个产品都是正品的概率。

16.设有白球与黑球各4只，从中任取4只放入甲盒，余下的4只放入乙盒，然后分别在两盒中各任取1球，颜色正好相同。试问放入甲盒的4只球中恰有2只白球的概率。

17.乒乓球盒中有12个球，其中9个是没有用过的新球。第一次比赛时从其中任取3个使用，用后仍放回盒中，第二次比赛时，再从盒中任取3个。求（1）第二次取出的球都是新球的概率；（2）已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。

18.假定某种病菌在全人口的带菌率为10%，又在检测时，带菌者呈阳、阴性反应的概率为0.95和0.05，而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为0.01和0.99。今某人独立地检测三次，发现2次呈阳性反应、1次阴性反应。求“该人为带菌者”的概率是多少？

19.假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中10件一等品；第二箱内装有30件，其中18件一等品。现从这两箱中任挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取后不放回）求

（1）先取出的零件是一等品的概率；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

20.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为A 1），损坏10%（事件A 2），损坏90%（事件A 3），且已知P (A 1)=0.8，P (A 2)=0.15，P (A 3)=0.05。现从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为B ）。试求P (A 3| B )。（这里设物品很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）

第二章 复习题(含第四章)

一 选择题

1.下列各函数可作为随机变量分布函数的是（ ）

(A) ???≤≤=.,x ,x )x (F 其他01021 (B) ?????≥<≤<=.

x x ,,x ;

x ,)x (F 1101002

(C) ???

??≥<≤--<-=.x x ,x ;x ,)x (F 1111113 (D) ???

??≥<≤<=.

x x ,x ;

x ,)x (F 11022004

2.设随机变量X 的概率密度为,22;()40,,

x

x p x ?-<

(B) 21

(C) 43

(D) 1

3.离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3!k A

P X k k k ===则常数A 应为( )。 (A) 31

e (B) 31

-e (C) 3-e (D) 3e

4.离散型随机变量X

，则a 等于（ ）。

(A)1 (B)37

8 (C)2

3 (D)29

3

5.随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概率为它取0的概率的一半,则(1)P X =为( )。 (A) 1

3 (B) 0 (C) 1

2 (D) 1

6.设随机变量X 的概率密度为01

()2120x

x p x x x <≤??=-<≤???其它

，则(0.2 1.2)P X <<=（ ）.

(A) 0.5 (B) 0.6 (C) 0.66 (D) 0.7

7.设随机变量X 的概率密度为|

|

2(),x p x Ae x -=-∞<<+∞，则A 等于（ ）。 (A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 1

4

8.设2

20()00

x

c

x e x p x c

x -??>=??≤?是随机变量X 的概率密度，则常数c 为（ ）。

(A) 可以是任意非零常数 (B) 只能是任意正常数 (C) 仅取1 (D) 仅取1-

9.设连续型随机变量X 的分布函数1

1

() ()2F x arctgx x π=+-∞<<+∞

，则(P X ==（ ）。

(A) 1

6 (B) 56 (C) 0 (D)2

3

10.设X 的概率密度函数为||1

() ()2x p x e x -=-∞<<+∞，又()()F x P X x =≤，则0x <时,()F x =( )

。 (A) 1

12x e - (B) 1

12x e -- (C) 1

2x e - (D) 1

2x e

11.已知随机变量X 的分布函数(

)22x

t F x e dt --∞=?，则()F x -的值等于（ ）。

(A) ()F x (B) 1()F x - (C) ()F x - (D)

1()2F x + 12.标准正态分布的函数22()

x t x e dt -Φ=?，已知()()a a Φ=Φ-，且(0.5)0.6915Φ=，则()a Φ的值是（ ）。 (A) 0.6915 (B) 0.5 (C) 0 (D) 0.3085 13.若X 的概率密度函数为244(),x x p x x

-+-=

-∞<<+∞，则有（ ）。 (A)~(0, 1)X N (B)2~(2, )

X N (C)21~(4, () )2X N (D)2~(2, 1 )X N 14.设X 在[]3, 5-上服从均匀分布，事件B 为“方程210x Xx -+=有实根”，则()P B =（ ）。 (A) 12 (B) 34 (C) 38

(D) 1 15.随机变量2~(, )X N a σ，记()(||)g P X a σσ=-<，则随着σ的增大，()g σ之值（ ）。

(A) 保持不变 (B) 单调增大 (C) 单调减少 (D) 增减性不确定

16.设()p x 是随机变量X 的概率密度，则0()1p x ≤≤的充分条件是（ ）。

(A) (0,0.01)X N (B) 2(,)X N μσ (C) 1~0.5,16X N ?

? ??? (D) (10,1)X N

17.设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布。现对X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为（ ）。 (A)2027 (B)2730 (C)25 (D)23 18.设随机变量22(,4),(,5)X N Y N μμ～～，12(4),(5)p P X p P Y μμ=≤-=≥+，则（ ）。

(A)对任意实数μ，12p p = (B) 对任意实数μ，12p p <

(C) 只对μ的个别值，12p p = (D) 对任意实数μ，12p p >

19.随机变量2

(2,),(04)0.3X N P X σ<<=～，则(0)P X <=（ ）

(A) 0.65 (B)0.95 (C)0.35 (D)0.25

20.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的分布函数为( ) （A ）e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-?>=?≤?

（B ）1e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-?->=?≤? （C ）1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-?->=?≤?

（D ）1e ,0,()0, 0.

x x F x x λ-?+>=?≤?

21.随机变量X 的方差()3D X =，则(25)D X -等于( )。

(A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 17

22.具有下面分布律的随机变量中数学期望不存在的是( )。 (A) 32,1,2,...3k k P X k k ??===???

? (B) {},0,0,1,2,...!k

P X k e k k λλλ-==>= (C) {}1,1,2,...2k

P X k k ??=== ???

(D) {}()11,01,0,1.k k P X k p p p k -==-<<= 23.设随机变量X 服从λ=2的泊松分布。则随机变量2Y X =的方差()Var Y =( )。 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 16

24.随机变量X 服从泊松分布，参数4=λ，则2()E X =( )。

(A) 16 (B) 20 (C) 4 (D) 12

25.如果（ ），则X 一定服从泊松分布。

(A) ()()E X Var X = (B)2()()E X E X = (C)X 取一切非负整数值

(D) X 是有限个相互独立且都服从参数为λ的泊松分布的随机变量的和。

26.设随机变量X 的期望()0E X ≥，且21(1)22E X -=，11(1)22Var X -=，则()E X 等于（ ）。

(A)27.设随机变量X 的二阶矩存在，则（ ）。

(A)2()()E X E X < (B) 2()()E X E X ≥ (C) 22()(())E X E X < (D) 22()(())E X E X ≥

28.设X 的密度函数为||1

(),2x p x e x -=-∞<<+∞，则2Y X =的密度函数为()Y p y =（ ）。 (A) ||2,y e y --∞<<+∞ (B) ||

2

1,4y e y --∞<<+∞ (C) |2|1

,2y e y --∞<<+∞ (D) ||

21,2y

e y --∞<<+∞

29.设X 的密度函数为21

(),(1)p x x x π=-∞<<+∞+，而2Y X =，则Y 的密度函数()Y p y =（ ）。 (A) 21

,(1)y y π-∞<<+∞+ (B) 21

,(1)

4y y

π-∞<<+∞+ (C) 21

,(4)y y π-∞<<+∞+ (D) 22

,(4)y y π-∞<<+∞+

30.设随机变量X 的概率密度为()p x ，12Y X =-，则Y 的分布密度为（ ）。 (A) 1

1()22y

p - (B) 11()2y

p -- (C) 1

()2y p -- (D) 2(12)p y -

31.设随机变量X 具有对称的概率密度，()F x 是其分布函数，则对任意0a >，{||}P X a >等于（ ）。

(A) 12()F a - (B) 2()1F a - (C) 2()F a - (D) 2[1()]F a -

32.设随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 一定满足（ ）。

（A ）()01p x ≤≤ （B ）()()x

P X x p t dt -∞>=?

（C ） ()1xp x dx +∞

-∞=? （D ）()()x P X x p t dt -∞<=?

33.设随机变量X 的概率密度为34,()0,x p x ?=??0

，其他

a 为(0,1)间的数，使{}{}P X a P X a >=<，则a =( ).

12

(D) 1

34.设随机变量X 的分布函数为()F x ,则()P a X b <<= ( ).

(A) (0)(0)F b F a --- (B) (0)()F b F a -- (C) ()(0)F b F a -- (D) ()()F b F a -

35.设随机变量X 的概率密度为1

,3<<6,()30,x p x ?

?=???其他，

则(34)=P X <≤( )

(A) (12)P X <≤ (B)(45)P X <≤ (C) (35)P X <≤ (D) (27)P X <≤

36.设随机变量X 的概率密度为2(42),12,()0,K x x x p x ?-<<=??其他.

则K =（ ）。 (A) 5

16 (B) 1

2 (C) 34 (D) 4

5

37.设随机变量X 的分布律为1{}()2n P X n a ==，1,2,n =…则a =（ ）

(A) 1 (B) 12 (C) 2 (D) 3

38.设随机变量X 的概率密度为1,10,()2 0, ,

cx x p x ?+-≤≤?=???其他 则常数c =( ) (A) 3- (B) 1- (C) 12

- (D) 1 39.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ ） (A) ?????≤>100,

0,100,1002x x x (B) ?????≤>0,0,0,10x x x (C) ???≤≤-其他,0,20,1x (D) ?????≤≤其他,0,232121x ， 40.设随机变量X 的分布律为：0120.250.350.4X P ，而{}()F x P X x =≤，则=)2( F ( )。

(A) 0.6 (B) 0.35 (C) 0.25 (D) 0

41.设随机变量X 在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为

( ). (A) 23 (B) 2730 (C) 25 (D) 2027

42.已知随机变量X 服从区间(1,)a 上的均匀分布, 若概率21()32a P X <

=，则a 等于 ( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

43.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次射击的命中率为( )

（A ）0.04 （B ）0.2 （C ）0.8 （D ）0.96

44.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且满足2{1}{3}3P X P X ==

=，则λ=( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4 45.设随机变量2~(2,3)X N ，()x Φ为标准正态分布函数，则(24)P X <≤=( )

（A ）2

1()3

2Φ- （B ）21()3-Φ （C ）22()13Φ- （D ）2()3Φ 46.设随机变量2~(2,3)X N ，()x Φ为标准正态分布函数，则(24)P X <≤=( ) （A ）2

1()32Φ-

（B ）21()3-Φ （C ）22()13Φ- （D ）2()3

Φ 47.已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率2()3a b P X +<=( ) （A ）0 （B ）1 （C ）32 （D ） 3

1 48.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则1

()3

F =（ ） （A ）

13e

（B ）3e （C ） 11--e （D ） 1311--e 49.设随机变量(1,4)X N ，则下列变量必服从(0,1)N 分布的是 （ ） （A ）14X - （B ）13X - （C ）12X - (D) 21X +

50.设随机变量2(,)K N μσ，而方程240x x K ++=无实根的概率为0.5,则μ等于（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 (D) 4

51.设随机变量X 具有连续的密度函数()p x ，则Y aX b =+(0,a b ≠是常数)的密度函数为（ ）。 (A) 1

||y b p a a -?? ??? (B) 1y b p a a -?? ??? (C) 1y b p a a --?? ??? (D) 1||y b p a a ??- ???

52.设随机变量X 的概率密度为(

)()226,x p x x --=-∞<<+∞，则X 的方差是( )。

(C) 3 (D) 6 53.对于随机变量X ，()0Var X =是()1P X C ==(C 是常数)的（ ）。

(A) 充分条件，但不是必要条件 (B) 必要条件，但不是充分条件

(C) 充分条件又是必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

54.若随机变量X 的概率密度为(

)244,x x p x x -+-=-∞<<+∞，则X 的数学期望是（ ）。

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

55.设随机变量(2,18)X N ，()(0,1)Y f X aX b

N ==+，则()f X =( )。 (A) 218X -

218X +

(D) 2+ 56.在下面的命题中，错误的是（ ）。

(A) 若(0,1)X N ，则2()1E X = (B) 若X 服从参数为λ的泊松分布，则22()2E X λ=

(C) 若(1,)X b p ，则2()E X p = (D) 若X 服从区间[a ,b]上的均匀分布，则22

2

()3

a a

b b E X ++= 57.随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则当λ=（ ）时，2()18E X =。

(A) 3 (B) 6 (C) 16 (D) 13

58.随机变量X 服从]3 ,3[-上的均匀分布，则2()E X =（ ）。

(A) 3 (B) 2

9 (C) 9 (D) 18 59.设随机变量X 的期望()0E X ≥，21(1)22E X -=，11(1)22D X -=，则()E X =（ ）. （A

）（B ）1 （C ）2 （D ）0

60.设连续型随机变量X 的概率密度函数为332,0(4)()0,x x p x ?>?+=???

，

其他随机变量4Y X =+，则()E Y =( ). (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 10

二 填空题

1.某射手每次射击命中目标的概率是0.8，现连续射击30次，则命中目标的次数X 的概率分布律为

_____________________________________。

2.某射手每次射击命中目标的概率是0.8，现连续向一个目标射击，直至第一次命中目标为止，则射击次数X 的概率分布律为_______________________________。

3.设X 服从参数为λ的普哇松分布，且已知(2)(4)P X P X ===，则λ=_________。

4.若X 服从二项分布~(4, )X B p ，且知{}65181P X ≥=，则p =___________。

5.如果()21 032 03x x e x F x A e x -?≤??=??->??

是某连续型随机变量的分布函数，则A = ________。 6.设连续型随机变量X 的分布函数1 02()11 02

x x e x F x e x -?≤??=??->??，则(||1)P X <=_____________。

7.已知1{) (0, 1, 2, ), 41!P X k k Y X k e

====-，则()E Y =_______，()Var Y =_________。 8.设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，进行100次重复独立试验,X 表示A 发生的次数，当p =______时，()Var X 取得最大值，其最大值为__________。

9.随机变量X 服从普哇松分布，且()0.2E X =，则2()E X =____________。

10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2()E X =_______。

11.设随机变量X 服从参数λ=2的指数分布，则(1)P X ≥=___________。

12.设随机变量X 的分布函数为()11()arctg 2F x x x π

=

+-∞<<+∞,则(01)P X <<=__________。 13.设随机变量X 在[0，1]上服从均匀分布，则21Y X =+的分布密度为______________。

14.若()0.1P c X b ≤<=，()0.3P c X d ≤<=，()0.4P a X b ≤<=，则()P a X d ≤<=______。

15.设X 服从在区间[- 1，5]上的均匀分布，则()Var X =______________。 16.设随机变量X 的密度函数为23,02()80,

x x p x ?<

17.某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量，其概率密度函数为0.0.20.02,0()0,

0t e t p x t -?>=?≤?，则2()E T =____________。

18.设随机变量X 满足()()E X Var X λ==，已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=____。

19.设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ,如果(||)0.1P X k >=，则()P X k <=______。

20.设(0,1)X U ～，则1X -的分布是___________________。

21.重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面为止，设X 表示首次出现正面的试验次数，则X 的概率分布律为____________________________。

22.已知随机变量X 的分布律为

210123

1Pr.4310412

X a a a a a --，2Y X =，则Y 的分布律为__________________________。

23.设随机变量X 的分布函数为010.411()()0.8131

3x x F x P X x x x <-??-≤

24.已知随机变量X 服从参数为2的普哇松分布，且随机变量32Y X =-，则()E Y =___________。

25.设随机变量X 服从参数为λ的普哇松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=_______。

26.随机变量X 服从二项分布，已知()20E X =，()4Var X =，则X 的分布律为__________________。 27.随机变量X 服从普哇松分布，且2()20E X =，则()E X =______________。

28.设随机变量(100,0.8)X b ，令Y aX b =+，则当a =______，b =_______，可使()0E Y =，()1Var Y =。

29.设随机变量X 服从2(,)N μσ（其中2,μσ已知，且0σ>），如果1()2P X k <=

，则k =_________。 30.设(2,9)X N ，且已知标准正态分布的分布函数为()x Φ，用()x Φ之值表示(41)P X -<<-

=_________________。

31.设X 的分布密度为23 01() 0 x x p x ?≤≤=??

其余，2Y X =的分布密度为________。 32.设X 服从正态分布(1,4)N ，则1Y X =-的分布密度为____________。

33.设电子管使用寿命的密度函数2100 100() 0 100

x p x x x ?>?=??≤?(单位：小时)，则在150小时内独立使用的三只管子中恰

有一个损坏的概率为_______________。

34.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则k =________时，(2)1/4P k X k <<=。

35.已知2

()2,()5E X E X =-=，则(13)Var X -=____________。 36.某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列：11(),0,1, (2)

k P X k k +==

=，则()E X =__________。 37.随机变量,X Y 都服从二项分布：~(2, ), ~(4, )X B p Y B p ，01p <<，已知{}519

P X ≥=，则{}1P Y ≥=____________。 38.设X 是在区间[0,1]取值的连续型随机变量，且(0.29)0.75P X ≤=。如果1Y X =-，则当k =________时，()0.25P Y k ≤=。

39.设随机变量X 的概率密度为24,01(1)()0,x x p x π?<

，

其他则()E X =_______________. 40.某随机变量X 的概率密度为2(1),01()0,

x x p x -<

三 解答题

1.口袋中有7个白球、3个黑球。（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X 的概率分布列如何。

2.设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为23,02()80,

x x p x ?<=>和独立，

且()3/4P A B =，求常数a .

3.两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4，第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的概率分布律及其数学期望。

4.如果在时间t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在两分钟内有多于１辆汽车通过的概率。

5.投掷硬币3次，每次出现正面的概率等于0.5，设随机变量X 表示出现正面的次数与投掷次数之比，求X 的概率分布律和分布函数，数学期望。

6.对某一目标连续射击，直到命中n 次为止，设各次射击的命中率均为p ，求消耗子弹数的数学期望。

7.设两球队A 和B 进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束。假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是0.5,试求需要比赛场数的概率分布律以及数学期望和方差。

8.有三个盒子，第一个盒子装有４个红球、１个黑球，第二个盒子装有３个红球、２个黑球，第三个盒子装有２个红球、３个黑球。如果从中任取一盒，再从所取的盒中任取三个球，以X 表示所取的红球个数，求X 的概率分布律和数学期望。

9.某射手有五发子弹，每次射击，命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，如果不命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数X 的分布律及数学期望和方差。

10.有三只球，四只盒子，盒子的编号为1、2、3、4。将球逐个地、随机地放入四只盒子中去。设X 表示在四只盒子中至少有一只球的盒子的最小号码（如：X=3表示第1号，2号的盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求X 的分布律和数学期望。

11.设随机变量X 服从标准正态分布，求随机变量223Y X =+的概率密度。

12.设随机变量(1,2)X U -～，求||Y X =的概率密度。

13.设随机变量(0,1)X N ～，求2Y X =的概率密度。

14.设随机变量X 的概率密度为22 0() 0 x x p x ππ?<

，求sin Y X =的概率密度。

15.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证21X Y e -=和221X Y e -=-都服从区间(0,1)上的均匀分布。

16.某车间有同型号的机床200台，在一小时内每台机床约有70%的时间是工作的。假定各机床工作是相互独立的，工作时每台机床要消耗电能15kw 。问至少要多少电能，才可以有95%的可能性保证此车间正常生产。（利用中心极限定理作近似计算，(3.1)0.999Φ=

, 6.93≈，）

17.抛掷一颗均匀的骰子，为了至少有95％的把握使点6向上的频率与概率1/6之差落在0.01的范围之内，问需要抛掷多少次。（利用中心极限定理作近似计算，(1.96)0.975Φ=）

18.某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为

/6001,0()6000,

0x e x p x x -?>?=??≤?。试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率。 19.已知随机变量X 的概率密度函数为||1(),2x p x e x -=-∞<<+∞。另设1,01,0X Y X >?=?-≤?

，求Y 的分布律和分布函数。

20.某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布2(,)N μσ。若已知(70)0.5P X ≤=，(60)0.25P X ≤=。（1）求μσ与各为多少？（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg 的概率.((0.675)0.75Φ=,(0.3376)0.6322Φ=)

21.从1，2，3，4，5五个数中中任取三个，按大小排列记为123x x x <<，令2X x =，试求（1）X 的分布函数；（2）(2)(4)P X P X <>及。

22.两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4，第二名队员投中的概率为0.6，求投篮总次数的概率分布律及其数学期望。

23.在1、2、3、…、10中等可能取一整数，以X 记除得尽这一整数的正整数的个数，求X 的分布律及分布函数，数学期望。

24.掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0

25.设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为p(0

26.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周５个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润0 元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

27.设随机随机变量X 的概率密度函数为1cos ,0()220,

x x p x π?≤≤?=???其余，对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望。

28.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

51,0()50,x e x p x -?>?=???

其余，某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求(1)P Y ≥。

29.某单位招聘员工，共有10000人报考，假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人。现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？

30.向某一目标发射炮弹，设炮弹弹着点离目标的距离为X （单位：10m ），X 服从瑞利分布，其概率密度为

2/252,0()250,

0x x e x p x x -?>?=??≤?，若弹着点离目标不超过5个单位时，目标被摧毁。 （1）求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率；

（2）为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94，问至少需要独立发射多少枚炮弹。

31.设随机变量(0,1)X N ～，求||Y X =的概率密度。

32.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求2Y X =的概率密度。

33.设随机变量X 的概率密度为()21(),1p x x x π=

-∞<<+∞+，求()2 0Y aX a =>的概率密度。 34.设随机变量X 在[,)-ππ22

上均匀分布，求cos Y X =的概率密度。 35.设随机变量X

的概率密度为2

2

(ln )},0()20,0x y p x y μσ?-->=≤?

。 （1）试证：2

ln (,)Y X N μσ=～；

（2）设5,0.12μσ==，试求(188.7)P X <。(ln188.7 5.24,(2)0.9772≈Φ=)

36.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、

1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。其天售出300只蛋糕，求这天收入至少400（元）的概率。（利用中心极限定理作近似计算）

37.某产品的合格品率为99%，问包装箱中应该装有多少个此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。（利用中心极限定理作近似计算，(1.65)0.95Φ=） 38.设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x p x cx b x <

其余. 已知3()2,(13)4E X P X =<<=.求常数,,a b c . 39.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从参数为λ的泊松分布，若已知(1)(2)P X P X ===,且该

柜台销售情况Y （千元），满足2

22

X Y =+.试求（1）参数λ的值；（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率； （3）该柜台每小时的平均销售情况()E Y .

40.设随机变量X 的概率密度为,01,()0,ax b x p x +<

?其他. 且7()12E X =.求(1)常数a ,b ; (2) ()Var X ; (3)X 的分布函数.

第三章 复习题

一 解答题

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为X 0120

00.10.21

0.40.30

Y

,则(0)P X ==( ) (A) 0 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为0.5,01,02,()0,.x y p x <<<

?其他 则(0.5,1)P X Y ≤≤=( )

(A) 0.25 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 1 3.二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为221,1,(,)0,

x y p x y π?+≤?=???其他. 则随机变量X Y 和为（ ）。

(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布

4.设随机变量X Y 和的方差分别是()25,()36Var X Var Y ==,相关系数(,)0.4corr X Y =.则()Var X Y -=（ ）

(A) 85 (B) 61 (C.) 37 (D) 24

5.随机变量X Y 和相互独立，且方差21()Var X σ=,22()Var Y σ=,(120,0σσ>>)，12,k k 是已知常数，则

12()Var k X k Y -等于( )。

(A) 221122k k σσ- (B) 221122k k σσ+ (C)22221122k k σσ- (D) 22221122k k σσ+

6.随机变量X Y 和相互独立，且方差()2Var X =，() 1.5Var Y =，则(321)Var X Y --等于( )。

(A) 9 (B) 24 (C) 25 (D) 2

7.如果随机变量X Y 和不相关，则正确的是( )。

(A) ()()()Var aX bY aVar X bVar Y +=+ (B) ()()()Var X Y Var X Var Y -=-

(C)()()()Var XY Var X Var Y = (D) ()()()E XY E X E Y =

8.如果随机变量X Y 和独立，则正确的是( )。

(A) ()()()Var XY Var X Var Y = (B) (2)2()()Var X Y Var X Var Y +=+

(C) (32)9()4()Var X Y Var X Var Y +=+ (D) ()()()Var X Y Var X Var Y -=-

9.设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ）

(A) )2,0(N (B) )2(2χ (C) )2(t (D) )1,1(F

10.设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数。为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，下面给定各组数值中应取（ ）。

(A)3

2,55a b ==- (B) 22,33a b == (C)13,22a b =-= (D)13,22

a b ==- 11.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为X 1231111

69

18123Y αβ，则当（ ）时，X 和Y 相互独立。 (A)21,99αβ== (B) 12,99αβ== (C) 12,33αβ== (D) 21,33αβ== 12.X 和Y 为两随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=

，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则(m a x {,}0)P X Y ≥等于（ ）。 (A) 37 (B) 47 (C) 57 (D) 67

13.设随机变量X 和Y 相互独立，且(10,0.3)X b ，(10,0.4)Y b ，则2(2)E X Y -等于（ ）。

(A)12.6 (B)14.8 (C)15.2 (D)18.9

14.设随机变量123,,X X X 相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令1231()3

Y X X X =++，则2Y 的数学期望为（ ）。

(A)3λ (B) 23

λλ+ (C)23λλ+ (D)23λ 15.设随机变量X 与Y 相互独立，均服从区间[0，1]上的均匀分布，则( )。

(A) X Y +服从[0，2]上的均匀分布； (B) X Y -服从[- 1，1]上的均匀分布；

(C) max{,}X Y 服从[0，1]上的均匀分布； (D) (,)X Y 服从区域0101x y ≤≤??≤≤?

上的均匀分布。 16.设随机变量12,X X 都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E X X +=（ ）。

(A) 1 (B) 2 (C) 0.5 (D) 4

17.设随机变量(3,4)X N ，Y 服从参数为0.2的指数分布，则下列各式错误的是（ ）。

(A) ()8E X Y += (B) ()29Var X Y += (C) 22()63E X Y += (D) 50252X Y E ??+-= ??

? 18.设随机变量(0,1),1,2i X N i =，12Y X X =+，则（ ）。

(A) (0,1)Y N (B) (0,2)Y N (C) ()0E Y = (D) ()2Var Y =

19.设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则下列条件中不是X 与Y 相互独立的充分必要条件是( )。

(A) X 与Y 不相关 (B)()()()E XY E X E Y = (C)cov(,)0X Y = (D) ()()0E X E Y ==

20.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(

arctan ),,22

x F x y A B y x y π=++-∞<<+∞，则常数A ，B 分别为（ ）。 (A)

1,2ππ (B) 21,2ππ (C)22,ππ (D) 1,4ππ 21.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布221212(,,,,)N μμσσρ,若X 与Y 相互独立，则( ) (A) 0ρ≠ (B) 1ρ= (C) 0ρ= (D) 1ρ=-

22.设二维随机变量(,)X Y 的分布律为X 1231

0.20.10.10

0.10.10.210.10.10

Y

- ,则(1)P X Y +≤=( ) (A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.1

23.设随机变量~(0,1)X N ，~(0,1)Y N ，令Z X Y =+，则有（ ）

(A) ()0E Z = (B) ()2E Z = (C) ()0D Z = (D) ()2D Z =

24.已知随机变量X 与Y 的方差，()4Var X =，()9Var Y =，协方差cov(,)2X Y =，则(2)V a r X Y -等于( )。

(A) 25 (B) 13 (C) 17 (D) 21

25.已知随机变量X 与Y 的方差，()9Var X =，()16Var Y =，相关系数(,)0.5corr X Y =，则()Var X Y -等于

( )。

(A) 19 (B)13 (C) 37 (D) 25

26.5个灯泡的寿命12345,,,,X X X X X 相互独立同分布且()i E X a =，()i Var X b =(1,2,3,4,5i =)，则5个灯泡的平均寿命123451()5

Y X X X X X =++++的方差()Var Y =( )。 (A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b

27.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量X 与Y 相互独立时，下列关系式中错误的是( )。

(A) ()()()E XY E X E Y = (B) ()()()Var X Y Var X Var Y ±=+

(C) ()()()Var XY Var X Var Y = (D) cov(,)0X Y =

28.设对于任意两个随机变量X 和Y 且满足：()()()E XY E X E Y =。则下述结论肯定正确的是( )。

(A) ()()()Var XY Var X Var Y = (B) ()()()Var X Y Var X Var Y +=+

(C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 不相互独立

29.设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，()4,()2Var X Var Y ==，随机变量32Z X Y =-，则()Var Z =( )。

(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44

30.设随机变量,X Y 独立同分布，记, X Y X Y ξη=+=-，则随机变量ξ与η之间的关系必然是( )。

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数等于0 (D) 相关系数不为0

31.设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且()()0E X E Y ==，()1Var X =，()4Var Y =，1(,)2corr X Y =，若

Z aX Y =+与Y 独立，则a 等于（ ）

。 (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4

32.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）

(A)1- (B)0 (C)

12

(D)1 33.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X Y -的方差是（ ）

(A)8 (B)16 (C)28 (D)38

34.设二维随机变量(,)X Y ，则随机变量U X Y =+与V X Y =-不相关的充分必要条件为（ ） (A)()()E X E Y = (B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-

(C) 22()()E X E Y = (D) 2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+

35.X 和Y 为两随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=

，则(min{,}0)P X Y ≥等于（ ）。 (A) 37 (B) 47 (C) 57 (D) 67

36.设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律，且X 的分布律为01

11Pr.22

X ，则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为（ ）。 (A) 0111Pr.22Z (B) 0113Pr.44Z (C) 0131Pr.44

Z (D)012

111Pr.442Z 37.设二维随机变量(,)X Y 的分布律X 011

102

61

11

66Y

, 则(3)Var X =( ) (A)

29

(B) 2 (C) 4 (D) 6 38.设随机变量~(1,3)X N -,~(1,2)Y N ,且X 和Y 相互独立，则2~X Y +（ ）。

(A)(1,10)N (B) (1,11)N (C) (1,5)N (D) (1,7)N 39.设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从参数为λ的泊松分布, 则X+Y 与2X 的关系是（ ）

(A) 有相同的分布 (B)有相同的数学期望 (C) 有相同的方差 (D)以上均不成立

40.设随机变量X 和Y 相互独立，且~(2,1)X N ,~(1,1)Y N , 则（ ）

(A)1(1)2P X Y -≤=

(B) 1(0)2P X Y -≤= (C) 1(1)2P X Y +≤= (D) 1(0)2

P X Y +≤=

二 填空题

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为22(),0,0,(,)0,

x y kxye x y p x y ?-+?≥≥=???其余，，则常数k =___________。

2.设二维随机变量(,)X Y 在边长为2,中心为(0,0)的正方形区域内服从均匀分布,则的联合概率密度，则 22(1)P X Y +≤=____________________。

3.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度是222221(,) , ,,(>0) 2x y p x y e x y σσπσ+-=

-∞<<+∞，则可得关于X 边缘

分布密度为_________________。 4.设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且都服从正态分布2(,) (0)N μσσ>，则

12341()4X X X X +++服从的分布是_____________________。

5.设{(,)|0,0,21}G x y x y y x ≤≥=≤+，(X ，Y)服从G 上的均匀分布，则11,42P X Y ?

?<-<=????

______。 6.设X 与Y 相互独立，且均服从[0,1]上均匀分布，则()P Y X <=______________

7.设随机变量X 和Y 相互独立，且都在区间[1,3]上服从均匀分布。引进事件{}A X a =≤，{}B Y a =>。已知7()9

P A B =，则常数a =___________。 8.设(X,Y)的概率密度为()()1 0,0, 0 x y xe x y p x y -+?>>?=???其余

，则()E XY =__________。

9.若随机变量X 与Y 的方差分别为()4,()1Var X Var Y ==，相关系数1(,)2

corr X Y =，则()Var X Y -=_______。 10.设随机变量X 与Y 不相关，则(2,1)Cov X Y -+=____________.

11.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为()2, 01,,0, k x y x p x y ?<<<<=??

其余, 则k =_______________. 12.设(X,Y)的概率密度为()3 0,01,0 x y x x p x y <<<

其余，则()E X Y -=__________。 13.若二维随机变量221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则(,)Cov X Y =____________.

14.设(X,Y)的联合分布律为Y 1011111

888110

0881

111888

X

--，则(1)P XY ==_________。 15.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，()()0E X E Y ==，22()()2E X E Y ==，则2[()]E X Y +=_____________。

16.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若0.4Z X =-，则Y 和Z 的相关系数为__________。

17.已知当01,01x y <<<<时，二维随机变量(,)X Y 的分布函数22(,)F x y x y =，记(,)X Y 的概率密度为(,)p x y ，则11

(,)44

p =__________. 18.已知随机变量123,,X X X 之间的的协方差13cov(,)2X X =，23cov(,)1X X =，则123c

o v (,3)X X X +=__________。 19.

设随机变量~(0,1)X U , 用切比雪夫不等式估计1(||2P X -

≥≤__________。 20. 设二维随机变量221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ=____________.

三 解答题

1.20件产品中有10件一等品,6件二等品和4件三等品.从中不放回任取3件,以X Y 和分别表示取出的3件中一等品,二等品的件数,求二维随机变量(,)X Y 的联合分布列和边际分布律.

2.一射手进行射击，每次是否击中目标是独立的，击中目标的概率为p (0< p <1)，射击进行到击中目标两次为止。设X 表示第一次击中目标时已进行的射击次数，Y 表示第一次命中后再进行的射击次数，求二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布律和边缘分布律，并求X 和Y 的相关系数。

3.设随机变量,1,2i X i =，的分布列如下：

1010.250.50.25i X P -，且满足12(0)1P X X ==，试求12X X 和的联合分布列，并求12()P X X =。

4.设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从01-分布，1(1)(1)2

P X P Y ====,定义随机变量为10X Y Z X Y +?=?+?若为偶数若为奇数，证明 X 和Z 相互独立。

5.设随机变量12(),()X P Y P λλ～～，且X 与Y 相互独立，求X Y +的概率分布。

6.设X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,]a 上的均匀分布，求Z Y X =-的概率密度。

7.设系统L 是由两个相互独立的子系统L 1和L 2以并联方式联接而成，L 1与L 2的寿命分别为X 与Y ，其概率密度分别

为1 0() 0 0x e x p x x αα-?>=?≤?，2 0() 0 0

y e y p y y ββ-?>=?≤?，其中α>0，β>0，α≠β，试求系统L 的寿命Z 的概率密度。

8.设系统L 是由两个相互独立的子系统L 1和L 2联接而成，其工作方式是先使用系统L 1，当系统L 1损坏时，系统L 2

开始工作。 L 1与L 2的寿命分别为X 与Y ，其概率密度分别为1 0() 0 0x e x p x x αα-?>=?≤?，2 0() 0 0y e y p y y ββ-?>=?≤?

，其中0,0,αβαβ>>≠,试求系统L 的寿命Z 的概率密度。

9.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从参数为λ(0)λ>的指数分布，求Z X Y =-的概率密度。

10.已知随机变量X 与Y 相互独立，都服从(1/2,1/2)θθ-+上的均匀分布，求X Y -的概率密度函数。

11.求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差。

12.设一袋中装有m 只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n 次，以X 表示在n 次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求()E X 。

13.设()()()111,|,|,432P A P B A P A B =

==令10A X ?=??发生否则，10B Y ?=??发生否则

，求X Y 和的相关系数。 14.设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|02,01}D x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令

1,1,2,0,0,2X Y X Y U V X Y X Y >>??==??≤≤??

求U V 和的相关系数。

15.设随机变量(,)X Y 的概率密度为()3 01, 0 x y x p x y <<

，求X Y 和的协方差及相关系数。

16.设随机变量(,)X Y 在D 上服从均匀分布，其中区域D 是由x 轴、y 轴以及直线y =2x +1所围成的三角形区域，求条件密度函数(|)(|)p x y p y x 和。

17.设随机变量X 与Y 相互独立，且12),()X P Y P λλ(～～。在已知X Y n +=条件下，求X 的条件分布。 18.设随机变量X 与Y 分别服从正态分布，

22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,且X 与Y 的相关系数为12-,并令32

X Y Z =+ 求(1)Z 的数学期望和方差;(2)X 与Z 的相关系数. 19.设随机变量X 和Y 的概率分布律分别为011233X

P ,101111333

Y P - ,且22()1P X Y ==. 求(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布律;(2)Z XY =的概率分布律;(3)X Y 与的相关系数.

20.设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,在事件{}(01)X x x =<<发生的条件下,随机变量Y 在区间(0,)x 上服从均匀分布.求(1)二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度;(2)概率(1)P X Y +>.

21.随机地掷两颗骰子，设随机变量X 表示第一颗骰子出现的点数，随机变量Y 表示这两颗骰子出现点数的最大值，试写出二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布律和边缘分布律。

22.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，定义随机变量k X 如下：

0,,1,21,k Y k X k Y k ≤?==?>?

求12X X 和的联合分布列。

23.袋中有N 个球，其中a 个红球，b 个白球，c 个黑球(a b c N ++=)，每次从袋中任取一个球，取后放回，共取n 次。设随机变量X 及Y 分别表示取出的n 个球中红球及白球的个数，求X 和Y 的联合分布律和边际分布律。

24.设随机变量(,),(,)X b n p Y b m p ～～，且X 与Y 相互独立，求X Y +的概率分布。

25.设随机变量(0,1),(0,1)X N Y N ～～，且X 与Y 相互独立，求X Y +的概率分布。

26.设X 和Y 是相互独立的随机变量，且都在区间[0，1]上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。

27.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度3 01,0(,)0 x x y x p x y <<<

，求随机变量Z X Y =-的概率密

度。

28.设二维随机变量(,)X Y 在以(0,0),(0,1),(1,1)C A B 为顶点的三角形域D 内服从均匀分布，试求随机变量Z X Y =+的概率密度。

29.设系统L 是由两个相互独立的子系统L 1和L 2以串联方式联接而成，L 1与L 2的寿命分别为X 与Y ，其概率密度分

别为1 0() 0 0x e x p x x αα-?>=?≤?，2 0() 0 0

y e y p y y ββ-?>=?≤?，其中α>0，β>0，α≠β，试求系统L 的寿命Z 的概率密度。

30.某种商品一周的需求量是一个随机变量,其密度函数为, 0,() 0, 0.

x xe x p x x -?>=?≤? 设各周的需求量是相互独立的,求

两周需求量的概率密度函数.

31.邮局里有A 、B 、C 三个顾客，假定邮局对每个顾客的服务时间服从参数为λ指数分布。对A 和B 立即开始服务，在对A 或B 结束服务后开始对C 服务，对A 、B 两人服务所需时间是独立的，求C 在邮局中等待时间的数学期望。

32.设2

(3),()()0,()4,()16,(,)0.5W aX Y E X E Y Var X Var Y corr X Y =+=====-，求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。 33.设A 和B 是试验E 的两个事件，且()0,()0P A P B >>，并定义随机变量10A X ?=??发生否则，10B Y ?=??

发生否则。证明若(,)0corr X Y =，则X 和Y 必定相互独立。

34.一袋中有21张卡片，每张卡片上各标有自然数1，2，3，4，…，21中的一个数字，从袋中任取一张卡片，且每张卡片被取到的可能性是相同的，设随机变量

10X ?=??取出的卡片上标有偶数取出的卡片上标有奇数，10Y ?=??取出的卡片上的数字能被3整除取出的卡片上的数字不能被3整除

求X Y 和的相关系数。

35.设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,01}D x y x x y =<<<<<上的均匀分布，求X Y 和的协方差及相关系数。

36.二维随机变量(,)X Y 的概率密度为()221 1, 0 x y p x y π?+≤?=???其余

，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互

独立的。

37.一射手进行射击，击中目标的概率为p(0< p <1)，射击进行到击中目标两次为止，设以X 表示第一次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数。试求二维随机变量(,)X Y 的联合分布列和条件分布列。

38.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 1 ||,01(,)0 y x x p x y ≤<≤?=??其余

，求条件密度函数(|)(|)p x y p y x 和。

39.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为3 01,0(,)0 x x y x p x y ≤≤≤≤?=??

其余，求条件密度函数(|)(|)p x y p y x 和。 40.在一个有n 个人参加的晚会上,每个人带了一件礼物,且假定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件,试求抽中自己礼品的人数X 的数学期望.

第五，六，七章复习题

一 填空题

1.设总体2

~(0,)X N σ，1234,,,X X X X 是该总体的一个样本，则2122

34()()

X X Y X X +=-服从服从______________分布。

（写出名称和参数）

2.设总体(0,1)X N ，从总体中取一个容量为6的一个样本126,,

,X X X ，设

22123456()()Y X X X X X X =+++++，则C=__________时，随机变量CY 服从2χ分布。

3.设125,,,X X X 是来自于正态总体(0,1)N 的一个样本，则当C=_________

()C X X +服从t 分布。

4.设12,,

,n X X X 是来自于正态总体2(,)N μσ的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则

()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。

5.设总体服从参数为λ的指数分布，12,,

,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。 6.设总体服从参数为λ的普哇松分布，12,,

,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方

差，则()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。

7.设总体2(,2)X N μ，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 为其样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取____________。

8.设总体2(,2)X N μ，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 为其样本均值，要使(||0.1)0.95P X μ-≤≥成立，则样本容量n 至少应取____________。

9.设总体2(,2)X N μ，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 为其样本均值，要使(||)0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取____________。 10.设12,,

,n X X X 是来自于该总体X 的样本，且2()Var X σ=，X 为其样本均值，则

21

(())n i i E X X =-∑___________。

11.设X 和2S 为总体(,)b m p 的样本均值和样本方差（样本容量为n ），如果2X kS -为2mp 的无偏估计，则k = ____________。

12.设12,,

,n X X X 是来自于总体2(,)N μσ的一个样本，X 是样本均值。当用12X X -、X 、123121

236

X X X +-作

为μ的估计时，其中最有效的估计量为________________。

13.设总体的期望为0、方差为2σ，12,,,n X X X 是来自于该总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则下列3个统计量：22nX S +、221

()2

nX S +、2213nX S +中哪个是2σ的无偏估计______________。

14.设总体X 服从二项分布(10,)b p ，12,,,n X X X 是从总体X 中抽取的一个简单随机样本，则参数p 的矩估计是______.

15.设总体服从正态分布(,1)N μ，从中抽取容量为16的样本，u α是标准正态分布的下侧α分位数，则μ的置信度

为0.96的置信区间长度是___________________. 16.设总体2~(,)X N μσ,且2

σ未知，12,,

,n X X X 为来自总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则

检验假设0010::H vs H μμμμ=≠采用的统计量表达式为______________________.

17.在假设检验中，犯第一类错误的概率为0.01，则在原假设H 0成立的条件下，接受H 0的概率为______．

18.在某学校中，随机地抽取25名同学测量身高数据，假设所测身高近似服从正态分布，算得平均高度为170cm ，标准差为12cm ，则该学生身高标准差σ的置信度为0.95的置信区间为____________________。

19.设总体X 的概率分布律为

2

20

1232(1)12X P θθθθθ--，其中1

(0)2

θθ<<为未知参数，利用总体的一个样

本观察值：3,1,3,0,3,1,2,3,，可得θ的矩估计值为_____________。

20.设总体(,1)X N μ，则样本容量n 至少为____________时，才能保证μ的95%的置信区间长度不大于1。 21.设12,,,n X X X 是来自于正态总体2

(0,),0N σσ>的一个样本，则

22

1

1

n

i

i X

σ

=∑服从______________分布。（写出名

称和参数）

22.设12,,,n X X X 是来自于正态总体2(0,),0N σσ>的一个样本，则2211n i i X n σ=?? ???

∑服从______________分布。（写出名称和参数）

23.设总体服从区间(0,2)θ上的均匀分布(0)θ>，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。

24.从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球。令0X =表示取到白球，1X =表示取到黑球，125,,,X X X 为容量为5的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。

25.设总体服从(1,)b p ，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()E X =__________，()Var X =____________，2()E S =______________。

26.设总体(1,0.2)X b ，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 为其样本均值，要使2(||)0.01E X p -≤，则样本容量n 至少应取____________。

27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X

为来自该总体的一个样本，令Y =，则

()Var Y =___________.

28.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,123,,X X X 为来自X 的样本，则当常数a =________时，

12311?42

X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计. 29.设随机变量),(~21n n F F ，则

~1F

_______. 30.设总体X ～N (211,σμ)，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为其样本均值；设总体Y ～N (222,σμ)，Y 1，Y 2，…，Y n 为来自总体Y 的样本，Y 为其样本均值，且X 与Y 相互独立，则()Var X Y +=________.

31.设总体(,8)X N μ，1236,,,X X X 为来自于该总体的一个样本，X 为其样本均值，如果[1,1]X X -+作为μ的置信区间，则置信度为_______________。

32.设总体X 的密度函数为2

2321()(1)0x p x x θθθ?<

其他，则θ的矩估计量?θ

_______________。 33.设总体X 服从参数为λ的普哇松分布，12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，已知2?(23)aX a S λ

=+-为λ的无偏估计，则a = _______________。 34.设123,,X X X 是来自于总体X 的一个样本，则以下3个()E X 的估计量：1231

(2)4X X X ++、1231()3

X X X ++、1231(3)5

X X X ++中，最有效的估计量是____________。 35.设由来自正态总体2(,0.9)N μ容量为9的样本，得样本均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为____________________。

36.已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态分布2(,)N μσ，μ和2σ均为未知参数，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm ，标准差为2cm 。则μ的置信度为0.95的置信区间为____________________。

37.设总体X 服从区间(,1)θθ+上的均匀分布，其中(0)θθ>是未知参数，12,,

,n X X X 是来自于该总体的样本，

则θ的矩估计量为___________。 38.设总体X 的概率密度函数为22()0()0

a x x a p x a ?-<是未知参数，12,,

,n X X X 是来自于该总体的样本，则a 的矩估计为_______________。

39.设α,β分别是假设检验中犯第一、二类错误的概率，0H ，1H 分别为原假设和备择假设，则

00{H |H }P 拒绝不真=_________.

40.设总体2~(,)X N μσ,且2σ未知，12,,

,n X X X 为来自总体的样本，2S 是样本方差，则检验假设2200:H σσ=时采用的统计量是________________________.

二 解答题 1.设12,,

,n X X X 是来自于总体2(,)X

N μσ的一个样本，（1）已知1σ=，求μ的最大似然估计；（2）已知

0μ=，求2σ的最大似然估计。

2.设总体X 的概率密度函数为3

6()0()0x x x p x θθθ

?-<<=?

?

其余

，

12,,,n X X X 是来自于该总体的一个样本。（1）

求θ的矩估计θ∧；（2）求θ∧的方差()D θ∧

。

3.设12,,

,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，总体X 的概率分布律为：()(1)x x

m x m P X x C p p -==-，

0,1,...,x m =，其中m 已知，(01)p p <<未知，求p 的最大似然估计量和矩估计量。

4.设12,,,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中(0)λ>是未知参数，求λ

的最大似然估计量和矩估计量。

5.设总体X 的概率密度函数为10

()00a

a x ax e x p x x λλ-?>?=?≤??

，其中(0)a >已知， (0)λ>是未知参数，

12,,,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，求λ的最大似然估计量。

6.设12,,

,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 的概率密度函数为()

()0x e x p x x θθ

θ--?≥=?

,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 的概率密度函数为(1)01()0

x x p x θ

θ?+<<=?

?其余

，其中(0)

θ>未知，求θ的矩估计量和最大似然估计量。 8.设12,,

,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 服从参数为p 的几何分布，即1()(1)x P X x p p -==-，

1,2,....x =其中(01)p p <<未知，求p 的矩估计量和最大似然估计量。

9.设12,,,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 的概率密度函数为||

1()2x p x e σ

σ

-=，x -∞<<+∞，其中(0)σ>未知，求σ的矩估计量和最大似然估计量。 10.设总体X 服从区间(0,)θ的均匀分布（0θ>），12,,,n X X X 是来自于该总体的样本，求θ的极大似然估计。

11.12,,,n X X X 是来自于总体2(,)N μσ的一个样本（2,μσ均未知），求2,μσ的极大似然估计。

12.设一批产品的不合格品数和合格品数之比为R （未知），现在有放回抽取n 件，发现其中有k 件不合格品数，试求R 的最大似然估计量。

13.一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的极大似然估计量。

14.设总体X 服从(,2)U θθ，其中0θ>是未知参数，又12,,

,n X X X 是取自该总体的样本，X 为样本均值。求

θ的极大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？

15.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布），化验结果如下：

0123456

1720102100

大肠杆菌个数/升升数

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使出现上述情况的概率为最大。

16.设12,,,n X X X 是来自于双参数指数分布的一个样本，总体密度函数为1

2

12

1()0

x e x p x θθθθ--?>?=???其他

，

12,0θθ-∞<<+∞>，试求参数12,θθ的极大似然估计。

17.设12,,,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 是服从参数为λ的指数分布，求λ的矩估计和极大似然估计。

18.设12,,

,n X X X 是来自于总体X 的一个样本，X 服从二点分布（(1)P X p ==）,求p 的矩估计和极大似然估计。

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