小学数学解题策略、方法、技巧100讲（含目录）

目录

第1讲 观察法 2 第27讲 代数法 203第2讲 尝试法 11 第28讲 联想法210第3讲 列举法 17

第29讲 直接法219

第53讲 一般问题390第54讲 旋转变换394第55讲 小数分数396第56讲 特殊解法399第79讲 问题公式517第80讲 问题技巧526第81讲 简单方程535第82讲 加法定律537第4讲 综合法 26 第30讲 四方阵 231第5讲 分析法 32 第6讲 分析综合 40

第7讲 归一法 47 第8讲 归总 59第9讲 分解法 65第10讲 分组法 71 第11讲 份数法 76第12讲 消元法 87第13讲 比较法 95 第14讲 演示法 102 第15讲 列表法 107第16讲 倍比法 112 第17讲 逆推法 117 第18讲 图解法 128第19讲 对应法 145 第20讲 集合法 152 第21讲 守恒法 157第22讲 两差法 163 第23讲 比例法 171 第24讲 转化法 180第25讲 假设法 190第26讲 设数法 197

第31讲 质因数236 第57讲 算式谜 414第32讲 公约数 241

第58讲 速算公式419第33讲 公倍数 245第59讲 运算性质426第34讲 平均数 249

第60讲 四则计算433

第35讲 行程问题259 第61讲 最大最小438第36讲 工程题 274

第62讲 数字串441

第37讲 流水题 288 第63讲 数阵图446第38讲 植树题 294

第64讲 数的组成451

第39讲 时钟题 297 第65讲 数的整除456第40讲 几何题 308 第66讲 数的公理 第41讲 最值题321第67讲 数的大小461第42讲 最值律 324第68讲 大小比较466第43讲 最优化328 第69讲 实际操作468第44讲 直接思 330

第70讲 容斥原理478

第45讲 整数拆分347 第71讲 奇偶性 480第46讲 整除 349 第72讲 其他定理482第47讲 图形等量353

第73讲 平面图形486

第48讲 运算法则358 第74讲 判断题 492第49讲 约数倍数370 第75讲 逻辑思路501第50讲 余数问题373第76讲 连续数和508第51讲 数的法则376第77讲 间接条件510第52讲 补充数389

第78讲立体图形513

1

第83讲 图形旋转538第84讲 图形计数540第85讲 侧面展开546第86讲 几何公式548第87讲 几何公理559第88讲 和差积商的 变化规律 563 第89讲 估值计算565第90讲 根据和差积商变化规律速算570第91讲 割补拼接572第92讲 改变运算575

第93讲 复杂分数问题 580 第94讲 分数化简586 第95讲 对称变换588第96讲 典型问题590第97讲 等积规律601第98讲 等分图形602 第99讲 抽屉原理603 第100讲 扩缩图形 604

观察法

在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。

观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。

解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。

从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。

从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。

2

从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。

又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。

图1-5是填完数字后的幻方。

例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。

解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。

观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。

观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。

这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。

例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）

解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。

3

所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。

图1-7是填完数字的图形。

例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）

解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。” 我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？ （1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。 （2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。 （3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图1-10）。

例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）

解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。

这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。

4

如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。

*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度） 解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。

如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4） =9830+100 =9930

这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930

例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）

解：我们仔细观察一下算式：

400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷25 （2）900÷25 =（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）

5

=600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36 （3）1400÷25 （4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4） =1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72 （5）7250÷25

=（7250×4）÷（25×4） =29000÷100 =290

*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）

解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。

假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：

（87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10

求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。

因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：

6

（837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135

第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137 第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143 第六个数是：135+9=144 答略。

（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。

11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3

所以上横行与下横行两个中间数的和是：

87÷3＝29

由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：

837÷3＝279

因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。 x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7

7

=143

因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135 第三个数是：135+2=137

因为下一横行中间的数是143，所以， 第四个数是：143-1=142 第六个数是：142+2=144 答略。

*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度） 解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，

8-1+3=10

即锯去一个顶点后还有10个顶点。

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。 （3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。 例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）

解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ+2πγh。

2

8

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。

如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）

2

=（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米） 答略。

*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）

解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。

求表面积的方法1：

9

＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600

=1259.4（平方厘米） 求表面积的方法2：

=3.14×210+600 =659.4+600

=1259.4（平方厘米） 铸件的体积：

=3.14×225×4 =3.14×900

10

=2826（立方厘米） 答略。

第二讲 尝试法

解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。

一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。

例1 把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。（适于一年级程度）

解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。

中间一格应填什么数呢？

先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，??

这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。 这就是在用“尝试法”解决问题。

本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6，所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。

11

下面就要把剩下的4、7，分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来，得14，合乎题目要求。

如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。 所以本题的答案是图2-3或图2-4。

例2 把1、2、3??11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）

解：图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。

图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。

因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、 6、7开始尝试（图2-7）。

以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。 因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。

考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）。

12

6+11+1=18

看图2-8。6上面的数是11，11左邻的数是5，18-11-5=2，所以5左邻的数是2（图2-9）。 再看图2-8。6下面的数是1，1右邻的数是7，18-1-7=10，所以7右邻的数是10（图2-9）。 现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？

因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。

看图2-10。因为6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是8。

因为18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。 图2-10是填完数字的图形。

*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）

解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。

①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。

②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。

*例4 在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986

解：先找一个接近1986的数，如：8888÷8+888=1999。

1999比1986大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？88÷8=11，11与13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。8÷8+8÷8=2。 把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：

13

8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986

例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数。（适于四年级程度） 解：假设这三个数是2、3、4，则：

2×3×4=24

24＜120，这三个数不是2、3、4； 假设这三个数是3、4、5，则：

3×4×5＝60

60＜120，这三个数不是3、4、5； 假设这三个数是4、5、6，则：

4×5×6=120

4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）

（1）7×9+12÷3-2＝47 （2）7×9+12÷3-2=75 （3）7×9+12÷3-2=23 （4）7×9+12÷3-2=35

解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是：

7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65

“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中括号。如：

（1）7×7=49，再减2就是47。这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷3通过加括号后改成得7的算式。经过加括号，（9+12）÷3=7，因此：

14

7×[（9+12）÷3]-2=47

因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：

7×（9+12）÷3-2=47

（2）7×11=77，再减2就得75。这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝试9+12÷3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来，使7×9+12之和除以1，问题就可解决。由此得到：

（7×9+12）÷（3-2）=75

因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：

7×9+12÷（3-2）=75

在上面的这个算式中，本应在7×9的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7×9的后写出“÷（3-2）”。

（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7×9+12÷3改写成得25的算式，问题就可解决。又因为7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。

（7×9+12）÷3-2=23

（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5的算式呢？因为 7-2=5，要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因此问题得到解决。题中要求的算式是：

7×[（9+12）÷3-2]=35

*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛？（适于四年级程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：

112÷14=8（天）

因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：

12×5+20×（8-5）=120（只）

120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。

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假定李平剪了6天，则：

12×6+20×（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。 答：李平剪了6天。

*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）

解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。 根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢？不能。

因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：

90×4=360（页）

根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。

因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。

答：每天应该读18页。

*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）

解：两位数按从大到小的顺序排列为： 99、98、97、96??11、10

以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。

经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，

96=2×2×2×2×2×3

所以在这些两位数的约数中，最大的是96。

16

答略。

*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）

解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。

已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。

怎样才能使小桶里装1千克油呢？ （1）把能容9千克油的大桶倒满油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。 （3）把小桶中的4千克油倒回油罐。

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。 （5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。 （6）把大桶中的1千克油倒入小桶。 （7）往大桶倒满油。

（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。 （9）大桶里剩下6千克油。

第三讲 列举法

解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。 例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。

10+10=20（个）

17

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100 14○2○5=□

把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）

解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。

先看第一个式子：9○13○7=100

如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。

要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。

9+13×7=100

再看第二个式子：14○2○5=□

18

上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：

14÷2-5=2

即长方形中的数是2。

*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）

解：（1）数码一共有10个：0、1、2??8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：

2×90=180（个）

（3）还剩下的数码：

1890-9-180=1701（个）

（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。

1701÷3=567（页）

（5）这本书的页数：

9+90+567=666（页）

答略。

*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）

解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

19

表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。

前三种围法的长方形面积 分别是：

35×5=175（平方厘米） 30×10=300（平方厘米） 25×15=375（平方厘米）

答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。

例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）

解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；

任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；

三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。

综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。

*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）

解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。 下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。 （1）如果运到3号粮站，所用运费是：

20

（3）三个小队共采集多少千克？

11.6+8.8+13.2=33.6（千克）

（4）三个小队有多少队员？

8+6+10=24（人）

（5）平均每人采集多少千克？

33.6÷24=1.4（千克）

综合算式：

=33.6÷24 =1.4（千克） 答略。

*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）

解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：

先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。

接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？??如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图6-8）。

46

图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：

快车已行的路程是：

210-90=120（千米）

快车每小时所行的路程是：

120÷2=60（千米）

到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：

90÷60=1.5（小时）

综合算式：

答略。

第七讲 归一法

先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。

归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。 用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。

（一）一次直进归一法

47

通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。

1.解整数、小数应用题

例1某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）

解：（1）一天加工零件多少个？

1500÷5=300（个）

（2）14天加工零件多少个？

300×14=4200（个）

综合算式：

1500÷5×14=4200（个）

答略。

此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基础上有所扩展。

例2 用一台大型抽水机浇地，5小时浇了15公顷。照这样计算，再浇3小时，这台抽水机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）

解：（1）一小时浇地多少公顷？

15÷5=3（公顷）

（2）3小时浇地多少公顷？

3×3=9（公顷）

综合算式：

15÷5×3=9（公顷）

答略。例3一辆汽车3小时行驶了123.6千米。照这样的速度，再行驶4小时，这辆汽车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度）

解：（1）一小时行驶多少千米？

123.6÷3=41.2（千米）

（2）前后共行驶多少小时？

48

3+4=7（小时）

（3）一共行驶多少千米？

41.2×7=288.4（千米）

综合算式：

123.6÷3×（3+4）

=41.2×7 =288.4（千米） 答略。

2.解分数应用题

经行驶了4份，还剩下全路程的7-4=3（份）。还可知，行驶4份用的时间是8小时。 （1）行驶1份用的时间是：

8÷4=2（小时）

（2）行驶剩下的3份用的时间是：

2×3=6（小时）

答略。

数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成6份，五月份的伐木数量就相当于六月份伐木数量的5份。

（1）一份木材是多少立方米？

240÷5=48（立方米）

49

（2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是：

240+48=288（立方米）

答略。

兔，其余的是灰

兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（适于六年级程度）

12份，白兔占5份，则灰兔占20-12-5=3（份）。 （1）黑兔比白兔多21只，这21只所对应的份数是：

12-5=7（份）

（2）每一份的只数是：

21÷7=3（只）

（3）灰兔的只数是：

3×3=9（只）

答略。

程度）

运进一些红糖后，把两种糖的总重量平均分成10份，红糖占3份，白糖占的数量用表7-1表示。

50

7份。把上面

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10） =100+100+400 =600（元）

（2）如果运到4号粮站，所用运费是：

0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元）

（3）如果运到5号粮站，所用费用是：

0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10） =200+300+300 =800（元） 800＞700＞600

答：集中到第三号粮站所用运费最少。

*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）

解：（1）只拿出一种硬币的方法： ①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一种硬币，有3种方法。 （2）只拿两种硬币的方法： ①拿8枚1分的，1枚2分的：

21

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出两种硬币，有5种方法。 （3）拿三种硬币的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三种硬币，有2种方法。 共有：

3+5+2=10（种）

答：共有10种拿法。

*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）

解：作表3-2。 表3-2

22

甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。

丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。

根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。

答：小强赛了2盘。

*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）

解：作表3-3列举发货方式。 表3-3

答：不开箱有7种发货方式。

*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）

解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。

23

表3-4

从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）

解：根据题意列表3-5。 表3-5

从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。

40-32=8 32-24=8 24-16=8

24

??

从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

（90-50）÷（12-4）=5（次）

答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）

解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。

这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。 表3-6

答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人

第四讲 综合法

从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。

25

以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题??一直到解出应用题所求解的未知数量。

运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。

例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）

解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。

300÷4=75（米）

根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）。

75-40=35（米） 综合算式： 300÷4-40 =75-40 =35（米）

答：乙队每天挖35米。

例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）

解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）。

26

3500+3000=6500（字）

根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。

6500×5=32500（字）

根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。

39500-32500=7000（字）

综合算式：

39500-（3500+3000）×5

=39500-6500×5 =39500-32500 =7000（字） 答略。

例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度） 解：根据“客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车一小时共行多少千米（图4-3）。

60+40=100（千米）

27

根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是多少千米（图4-3）。

100×5=500（千米）

综合算式：

（60+40）×5

=100×5 =500（千米）

答：甲、乙两地间的路程是500千米。

例4 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度）

解：根据“已经做了5天，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）。

75×5=375（套）

根据“计划做660套”和“已经做了375套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图4-4）。

660-375=285（套）

再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图4-4）。

285÷3=95（套）

综合算式：

（660-75×5）÷3

=285÷3 =95（套）

28

答略。

例5 某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件。如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器？（适于四年级程度）

解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件（图4-5）。

72×20=1440（个）

根据“乙班有24人，平均每天每人可做68个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件（图4-5）。

68×24=1632（个）

根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生产多少个零件（图4-5）。

1440+1632=3072（个）

再根据两个班一天共做零件3072个和装一台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。

3072÷12=256（台）

综合算式：

（72×20+68×24）÷12

=（1440+1632）÷12 =3072÷12 =256（台） 答略。

29

例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度）

解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。

100×20=2000（套）

根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。

2480-2000=480（套）

根据原来每天加工100套，现在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。

100+20=120（套）

根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。

48O÷120=4（天）

综合算式：

（2480-100×20）÷（100+20）

=480÷120 =4（天） 答略。

刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。

解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

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分析到此，问题就得到解决。 此题分步列式计算就是： （1）买铅笔用去多少元？

0.08×6=0.48（元）

（2）买笔记本用去多少元？

9.60-0.48=9.12（元）

（3）每本笔记本多少元？

9.12÷24=0.38（元）

列综合算式计算：

（9.60-0.08×6）÷24

＝（9.60-0.48）÷24 =9.12÷24 =0.38（元）

答：每本笔记本0.38元。

例5 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）

解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。

先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。

要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一次运多少袋。甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。

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然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。

分析到此，问题就得到解决。 此题分步列式计算就是： ①两车一次共运多少袋？

2520÷30=84（袋）

②乙车每次运多少袋？

84-51=33（袋）

③每次甲车比乙车多运多少袋？

51-33=18（袋）

综合算式：

51-（2520÷30-51）

=51-33 =18（袋） 答略。

*例6 把627.5千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）

解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。先装7箱已知，后装多少箱未知。

先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多少千克。后来每箱装37.5千克已知，后来一共装多少千克未知。

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要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。

这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。

分析到此，问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是： ①先装多少千克？

20×7=140（千克）

②后来共装多少千克？

627.5-140=487.5（千克）

③后来装了多少箱？

487.5÷37.5=13（箱）

④共装多少箱？

7+13=20（箱）

综合算式：

7+（627.5-20×7）÷37.5

=7+（627.5-140）÷37.5 =7+487.5÷37.5

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=7+13 =20（箱） 答略。

注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。

节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）

解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。

要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。 要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：

3200×（1-15％）=2720（吨）

要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：

知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。

3600-2720=880（吨）

综合算式：

=3600-2720 =880（吨） 答略。

39

答略。

第六讲 分析-综合法

综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。

*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）

解：解此题要运用分析法和综合法去思考。

先用综合法思考。根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已经运出的吨数（图6-1）。

根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。

接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要用分析法思考了。

要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）。

要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。

我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。

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所以本题分析到这里就可以解答了。

此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。 （1）已经运多少吨？

22×15=330（吨）

（2）剩下多少吨？

600-330=270（吨）

（3）后来每天运多少吨？

270÷10=27吨）

（4）每天比原计划多运多少吨？

27-22=5（吨）

综合算式：

（600-22×15）÷10-22

=（600-330）÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5（吨） 答略。

*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）

解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。

先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。“原计划天数”是30

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天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。

要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。 到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。

由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。

由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。

分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得从图6-4的上面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。

（1）看图6-4的思路图。通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计划每天做多少双皮鞋。

13500÷30=450（双）

（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做的50双，得到实际每天做的皮鞋数。

450+50=500（双）

（3）接着看图6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数500双，得到实际制做的天数。

13500÷500=27（天）

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（4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划的天数。

30-27=3（天）

把上面分步计算的算式综合为一个算式是：

30-13500÷（13500÷30+50）

=30-13500÷500 =30-27 =3（天） 答略。

*例3甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度） 解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离（分析法）。

每天20米每天比甲队多5米

隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。

要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。

要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。 已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。

分析到此，这道题的问题就得到解决了。

此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。 （1）乙队每天开凿多少米？

20+5=25（米）

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（2）甲乙两队一天共开凿多少米？

20+25=45（米）

（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？

2160÷45=48（天）

（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）

20×48=960（米）

（5）甲队到中点的距离是多少米？

2160÷2=1080（米）

（6）会合点与中点间的距离是多少米？

1080-960=120（米）

综合算式：

2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]

=1080-20×48 =1080-960 =120（米） 答略。

*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名

克？（适于五年级程度）

解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。

要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。

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要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。

三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。

往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。

由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第

往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。

到此本题就可以解出来了。 本题分步列式解答的方法是： （1）第二小队采集多少千克？

11.6-2.8=8.8（千克）

（2）第三小队采集多少千克？

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