第八章无穷级数- 副本

第八章 无穷级数

本章知识结构导图

定义法判别级数的收敛性常数项级数正项级数及收敛性判别法交错级数、绝对收敛、条件收敛幂级数的概念，收敛半径，收敛区域的求法无穷级数幂级数幂级数的性质级数在近似计算中的举例函数的幂级数展开无穷级数在经济学中的应用：银行复利问题 §8.2 常数项级数

一、常数项级数的概念

在初等数学中知道: 有限个实数u1,u2,?,un相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性.

一、定义：

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【定义 1】 设有一个无穷数列 u1,u2,?,un,?, 则称

u1?u2???un?? (1)

为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中un称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作

?un?1?n或简单写作

?un.

作常数项级数(1)的前n项之和

Sn?u1?u2???un??uk

k?1nSn称为级数(1)的第n个部分和, 也简称部分和. 当n依次取1,2,3,?时, 它们构成一个

新的数列:

S1?u1,S2?u1?u2,S3?u1?u2?u3,?,Sn?u1?u2???un,?. □

Sn?S）, 则【定义2】 若常数项级数(1)的部分和数列?Sn?收敛于S（即limn??称常数项级数(1)收敛, 称S为常数项级数(1)的和, 即S?u1?u2???un??或若部分和数列?Sn?是发散的, 则称常数项级数(1)发散.

?un;

□

【例1】 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和. (1) 1?2?3???n?? (2)

111?????? 1?22?3n(n?1)n(n?1), 2【解】 (1) 这个级数的部分和为 Sn?1?2?3???n?显然有limSn???, 因此所给级数是发散的.

n?? (2) 由于这个级数的部分和为

Sn?11111??1??11??1?1?, ??????1????????????n?11?22?3n(n?1)?2??23??nn?1?第2页, 共31页

从而 limSn?lim?1?n???n???1???1. n?1?故这个级数是收敛的, 它的和是1.

□

【例2】 讨论几何级数（也称为等比级数）:

?aqn?0?n?a?aq?aq2???aqn??(a?0)的敛散性.

n【解】 作Sn??aqi?0i?a?aq?aq2???aqn,

a(1?qn)aaqn若q?1, 则Sn?. ??1?q1?q1?q下面考虑limSn的问题:

n???aaqn?a 若q?1, 即当n??时, q?0, 则limSn?lim?; ???n??n??1?q1?q1?q??n 若q?1, 即当n??时, qn??, 故limSn不存在;

n??若q?1, 当n??时, Sn?na??, 故limSn不存在;

n??若q??1, 当n??时, Sn???0,n为偶数?a,n为奇数 , 故limSn不存在;

n???a,q?1?aaqn??综上所述, limSn?lim?. ????1?qn??n??1?q1?q???不存在,q?1?□

注1 当级数收敛时, 其部分和Sn是级数的和S的近似值, 它们之间的误差为:

rn?S?Sn?un?1?un?2??

叫做级数(1)的余项. □ 注2 级数与数列极限有着紧密的联系. 给定级数

?un?1?n, 就有部分和数列

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n???Sn??uk?; 反之, 给定数列?Sn?, 就有以?Sn?为部分和数列的级数

k?1????S1??S2?S1?????Sn?Sn?1????S1???Sn?Sn?1???un

n?2n?2其中 u1?S1,un?Sn?Sn?1?n?2?. 因此, 级数

??n?un?1?n与数列?Sn?同时收敛或同时发散,

且在收敛时, 有

?un?1n?limSn, 即?un?lim?uk. □

n??n?1n??k?1基于级数与数列极限的这种关系, 我们不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些性质.

二、性质

【性质 1】 若级数?un与?vn分别收敛于u和v, c,d为常数, 则由它们的项的

线性组合所得到的级数

??cun?dvn?也收敛, 且

??cun?dvn??c?un?d?vn?cu?dv, 即其和为cu?dv.

*【证】 设

?un的部分和是Sn,

?vn的部分和为Sn?, 则有

limSn?u,limSn??v

n??n??则级数

??cun?dvn?的部分和为

?n??cu1?dv1???cu2?dv2?????cun?dvn?

?c?u1?u2???un??d?v1?v2???vn??cSn?dSn?

所以lim?n?limcSn?dSn??cu?dv.

n??n????这就表明级数

??cun?dvn?也收敛, 且其和为cu?dv.

□

【性质 2】 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.

*【证】 我们只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项, 不会改变级数的敛散性”, 则其他情形可以类似证明.

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设将级数u1?u2???uk?uk?1???uk?n??的前k项去掉, 则得到级数

uk?1?uk?2??uk?n??

于是新得到的级数的部分和为

?n?uk?1???uk?n?Sk?n?Sk,

其中Sk?n为原级数的前k?n项的和. 由于Sk为常数, 所以当n??时, ?n与Sk?n或者同时具有极限, 或者同时没有极限.

同理可以证明在级数的前面加上有限项, 不会改变级数的收敛性.

注3 由此可见, 一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关. 但是对于收敛级数来说, 去掉或增加有限项后, 级数的和一般是发生了变化的.

□

【性质3】 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的收敛性, 也不改变它的和.

注4 需要注意的是, 从级数加括号后的收敛性, 不能推断它在未加括号前也收敛. 例如, ?1?1???1?1?????1?1????0?0???0???0 收敛, 但级数1?1?1?1??却是发散的.

un?0. 【性质4】 （收敛级数的必要条件）: 若级数?un收敛, 则有limn??*【证】 设级数

?un收敛, 其和为u, 显然 un?Sn?Sn?1 (n?2)

于是limun?lim?Sn?Sn?1??u?u?0.

n??n??□

注5 性质4的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的. 【例3】 证明调和级数

1?111?????? 是发散的. 23n*【证】 这里调和级数虽然满足推论的结论, 即limun?limn??1?0, 但是它是发散n??n的. 我们用反证法来证明.

假设级数(2)收敛, 设它的第n个部分和为Sn, 且Sn?S ?n???, 显然, 对级

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数(2)的第2n个部分和为S2n, 也有S2n?S?n???.

于是 S2n?Sn?S?S?0 ?n???. (3) 但是

S2n?Sn?1111111??????????. n?1n?22n2n2n2n2故与(3)式矛盾, 则假设不成立, 说明原级数发散.

注6 性质4的逆否命题是成立的. 即如果limun?0, 则

n???un?1?n必定发散.

例如, 级数

nn?1?0, 它的通项?n?1n?1n?1??n???, 因此该级数发散.

二、正项级数收敛性判别法

一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、 负数或者零. 现在我们先讨论各项都是正数或零的级数, 这种级数称为正项级数.

下面我们讨论正项级数

?un?1?n?u1?u2???un??, 其中un?0. （1）

设其部分和为Sn, 显然部分和数列?Sn?是单调增加的, 也就是:

S1?S2???Sn???n?1,2,??

从而Sn只有两种变化情况:

1)

Sn无限增大, 于是limSn不存在;

n??n??2) 存在一个正数M, 使得Sn?M. 此时, 根据数列极限存在准则, limSn存在. 对于情况1)表明级数(1)发散; 对于情况2)表明级数是收敛的. 因此正项级数是否收敛只要判定是否存在一个正数M, 使得Sn?M就行了.

【定理1】 比较判别法

设

?un?1?n和

?vn?1?n是两个正项级数, 如果存在某正数N, 对一切n?N, 都有

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un?vn, 那么:

(1) 若级数

?vn?1??n收敛, 则级数

?un?1??n也收敛;

(2) 若级数□

?un?1n发散, 则级数

?vn?1n也发散.

注7 比较判别法的特点就是要找出合适的级数来比较. 【例4 】 判断以下正项级数的敛散性.

?11(1) ?n (2) ? n?12?1n?1n?n?【解】 (1) 由于

111?, 而几何级数是收敛的, 则有比较原则知: ?nnn22?121收敛. ?n2?1n?1(2)由于?1111111??, 而调和级数?是发散的, 则?也发?, ?n2n2n2nn?n2n散. 则由比较判别法知□

1也发散. ?n?1n?n?【例5】 判断下列级数的敛散性.

11sin (2)?n ?2n?n1n12n12?n【解】 (1) 由于lim?limn?lim?1, 而?n是收敛的, 故n??n??2?nn??1n2

1?2n2n1?2n?n也收敛.

1sin111n?1. 而1发散, 故(2) ?sin?sin1?sin??sin?? 由于lim?nn??1n2nn1?sinn也发散.

(1)□

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【例6】 讨论p-级数1+

111??????的敛散性. 2p3pnp?111【解】 当 p?1时, p?, 由于调和级数?发散.由比较判别法, 当p?1时,

nnn?1n该级数是发散的.

当p?1时, 按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项??括在一起.

1??1111??11?11??p?p???p?p?p?p???p???p3??4567??815?2它的各项显然小于下列级数的各项.

???? (4) ?1?11??p?p2?2即1?111111??(???)?(???)?? ?pppppp44488?412p?1?14p?1?18p?1?? (5)

p?1?1?而后一个级数是等比级数, 其比q????2??1 , 所以级数(5)收敛.

于是根据级数收敛的比较判别法, 当p?1时, 级数(4)收敛, 而级数(4)是正项级数, 所以加括号不影响其敛散性, 故原p-级数收敛.

综上所述, p-级数当p?1时, 发散; 当p?1时, 收敛. 注8 p-级数是一个用处很广的级数, 要牢记它的敛散性.

【定理2】 比式判别法

若

?un为正项级数, 且 limn?1?un?1?q

n??un 则:

(1) 当q?1时, 级数

?un?1?n收敛;

(2) 当q?1或q???时, 级数

?un?1?n发散;

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(3) 当q?1时, 级数

?un?1?n可能收敛也可能发散.

(证明略)

【例7】 判断下列级数的敛散性. (1)

2?5?8??22?52?5?8?2?3?n?1?????

?????11?51?5?91?5?9???1?4?n?1???(2)

?nx?n?1 ?x?0?

5nn!(3) ?n

n?1n【解】 (1) 由于limun?12?3n3?lim??1, 由比式判别法知, 原级数收敛.

n??un??1?4n4nn?n?1?x?limx?n?1?x, 故由比式判别法知: u (2) 由于limn?1?limn??un??n??nxn?1nn 当0?x?1时, 当 x?1时, 当 x?1时,

(3) 由于

?nx?nx?nxn?1收敛; 发散;

n?1n?1??n发散.

5n?1?n?1?!limun?1?limn??un??n?n?1?n?15n?n!nn????n1?n????5?1 . ?lim5???lim5??n??n????1?n?e?n?1???1?????n??故原级数发散.

*【定理3】 根式判别法

设

?un为正项级数, 如果limnun?q, 则有

n??(1) 当q?1时, 级数收敛; (2) 当q?1时, 级数发散;

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(3) 当q?1时, 级数可能收敛也可能发散. (证明略)

3???1?【例8】 讨论级数?的敛散性. n23???1?1nn?【解】 由于limun?lim ??1?, 所以原级数是收敛的.

n??n??2n2□

注9 凡能由比式判别法判别敛散性的级数, 它也能用根式判别法判断. 因而可以说根式判别法比比式判别法更有效. 事实上当limnnun?1?q时, 则必有limnun?q.

n??n??un例如, 级数

2???1?u2m, 由于lim?2nm??u2m?11n32m32?lim? ??1?, m??122m?12而 lim2m?1u2m?11?lim2? ??1?,

m??um??362m22m故由比式判别法无法判别此级数的敛散性. 但是用根式判别法考察这个级数:

m??lim2mu2m?lim2mm??31112m?1u2m?1, 且 . ?lim?1?lim?2m2m2m?1m??m??2222故limnun?n??1(?1)知原级数是收敛的. 2注10 一般地, 当un为乘积式时多用比式判别法, 当un为乘方形式时多用根式判别法. □

上面我们讨论了正项级数的三个判别法则. 比较判别法则需找一个已知收敛或发散的级数作参照, 而比式判别法与根式判别法不需要其它参照级数, 就其级数本身的特点进行判定, 这是它的优点, 缺点是当极限limun?1?1（或limnun?1）时, 判别法失效, 需

n??n??un用其它判别法判别. 总之, 在具体使用这三个判别法时, 可根据所给级数的特征而灵活选择判别法进行判定.

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三、 任意项级数、绝对收敛和条件收敛

【定义】 若级数的各项符号正负相间, 即

?(?1)n?1?n?1un?u1?u2?u3?u4???(?1)n?1un??(un?0,n?1,2,?) (6)

则称(6)为交错级数.

【定理】 莱布尼兹判别法

设交错项级数满足条件:

(1) u1?u2?u3?, 即数列?un?单调递减; (2) limun?0;

n??则交错级数(6)是收敛的, 且它的和S?u1.

三、 任意项级数、

绝对收敛、条件收敛

【定义】 (1)若级数

?un?1?n?u1?u2???un??的各项的绝对值所组成的级数

??un?1?n?u1?u2???un??收敛, 则称原级数?un绝对收敛.

n?1(2) 若级数

?un?1?n收敛, 而级数

?un?1?n发散, 则称原级数

?un?1?n条件收敛.

注11 全体收敛级数可以分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类. 注12 由级数的条件收敛可知: 若级数注13 绝对收敛的级数一定收敛. 【例9】 讨论级数

?un?1?n发散, 则?un?1?n未必发散. ?sinnx的收敛性. 2nn?1?第11页, 共31页

【解】 由un??sinnxsinnx1u?? 得 . nn2n2n2??1sinnx而级数?2收敛, 故由比较原则知?un收敛, 再由定理12.10知原级数?n2n?1nn?1n?1收敛, 并且为绝对收敛.

【例10 】 判断下列级数是否收敛, 若收敛, 是否为绝对收敛.

(1)

???1?n?1??n?11; n1; n2(2)

???1?n?1n?1(3) 1?111????. 35711, un?1?, 故un?un?1且limun?0

n??nn?1【解】 (1) 为交错级数, un?由莱布尼兹判别法知原级数收敛. 但由于件收敛. (2) 由于敛. (3) un?11u?1??????发散, 故原级数为条?n2nn?1????1?n?1?n?1??111, 而为收敛级数, 故原级数收敛, 并且为绝对收???2n2n?1n2nn?11, limun?0, 且 2n?1n??un?1?un?11?2???0 2n?12n?1?2n?1??2n?1?故un?un?1, 根据莱布尼兹判别法, 知原级数收敛. 又因为 ??1??n?1?11111?1, 而级数?????发散, 由比较原则知

2n?12n?12n2n?1nn?12n级数

1发散. ?2n?1n?1故原级数为条件收敛.

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幂级数

前一节讨论的级数其每一项都是常数, 称之为常数项级数. 还有一类级数, 其每一项都

n是函数的级数, 称之为函数项级数. 本节将讨论由幂函数列an(x?x0)所产生的函数项

??级数.

一、 幂级数的概念与性质

1. 幂级数的概念及其收敛性 【定义5】 形如

?axnn?0?n?a0?a1x???anxn?? (8)

的级数称为幂级数, 其中a0,a1,?,an,?都是常数, 称为幂级数的系数, anxn称为幂级数的通项,

?an?x?x0??a0?a1?x?x0??a2?x?x0????an?x?x0???

n?1?n2n称为x在x0处的幂级数, 它是(8)的一般形式.

在(7)中, 只要令t?x?x0, 就可把(7)转化成(8)式, 所以不失一般性, 我们着重讨论幂级数(8)的收敛性问题.

观察发现, 任何一个幂级数在x?0处肯定是收敛的. 对于每一个确定的实数x0, 幂级数(8)成为常数项级数.

?axn?0?nn0?a0?a1x0???anx0n?? (9)

这个级数可能收敛, 也可能发散, 如果收敛, 则称点x0是幂级数(8)的收敛点; 如果发散,则称点x0是幂级数(8)的发散点, 幂级数(8)的所有收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域, 将之记作I. 所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域, 在收敛域上, 幂级数的和是x的函数S?x?, 通常称S?x?为幂级数的和函数. 其定义域就是级数的收敛域, 并记为

S?x???anxn,x?I.

n?0?我们已经知道, 幂级数

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?xn?0?n?1?x?x2???xn??

可以看作是一个公比为x的几何级数, 根据前面的讨论, 当|x|?1时, 该级数收敛于

1; 当|x|?1时, 该级数发散, 因此这个幂级数的收敛域是一个区间??1,1?, 在收敛域1?x内取值, 则有

?1??xn?1?x?x2???xn?? , x???1,1? 1?xn?0由此我们可以看到, 这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上, 还有许多这样的例子, 因此, 我们猜测这个结论对一般的幂级数都是成立的.

事实上, 有如下结果:

【定理】 如果幂级数?anxn不是仅在x?0处收敛, 也不是在整个R上都收敛,

n?0?则必有一个确定的正数R存在. 使得

(1) 当|x|?R时, 幂级数收敛;

(2) 当|x|?R时, 幂级数发散;

(3) 当x?R和x??R时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.

（证明略） 这里的正数R通常叫做幂级数(8)的收敛半径, 开区间(?R,R)叫做幂级数(8)的收敛区间, 再由幂级数在x??R处是否收敛来决定它的收敛域.

注14 如果幂级数(8)只在x?0处收敛, 此时收敛域只有一点x?0, 为方便起见, 规定它的收敛半径为R?0; 如果幂级数(8)对一切x?R都收敛, 则规定收敛半径R???, 此时收敛域是???,???.

下面的定理给出了一种求收敛半径的方法:

【定理 】 如果幂级数?anxn的相邻两项的系数满足条件:

n?0?limn??an?R, an?1第14页, 共31页

则R就是

?axnn?0?n的收敛半径.

注15 在前一节中, 用常数项级数的比式判别法去判断其收敛性时, 是后项与前项的比值, 而该定理考虑收敛半径是系数数列的前项与后项的比值.

【例 11】 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

x2x3xn?????? (1) x?23n(2)

?n!xn?0?n

1an?1?, 故收敛半径R?1. 【解】 (1) R?limn?lim1n??an??1n?1n111当x?1时, 原幂级数成为调和级数 1??????? 是发散的.

23n11n1?? 这是一个交错级数, 根 当x??1时, 原幂级数成为 ?1???????1?23n据莱布尼兹判别法知, 是收敛的.

因此收敛域为??1,1?. （2）R?limn??ann!1?lim?lim?0. an?1n???n?1?!n??n?1故收敛半径R?0, 即原幂级数仅在x?0处收敛. 【例 12】 求幂级数1?x?121x???xn??的收敛半径和收敛区间. 2!n!【解】 R?limn??anan?11?limn!?l?inm?n??n??1?n?1?!1 ????故收敛半径R???, 收敛区间为???,???.

(x?1)n*【例 13】 求幂级数?n的收敛域.

2?nn?1?tn【解】 令t?x?1, 则原幂级数变为?n.

n?12?n?第15页, 共31页

则 R?limn??anan?11n2n?1?(n?1)2?n?lim?lim?2 nn??n??12?nn?12?(n?1)所以收敛半径为R?2, 收敛区间为t?2, 即?1?x?3.

当x?3时, 原级数成为

1, 发散; ?n?1n??(?1)n当x??1时, 原级数成为?, 收敛.

nn?1因此原级数的收敛域为??1,3?.

2．幂级数的性质

设幂级数

?axnn?0?n (9) 的收敛区域为??R1,R1?, 和函数为S1?x?, 即

S1(x)??anxnn?0?n??x?R?

1又设幂级数

?bx. (10)

nn?0的收敛区域为??R2,R2?, 和函数为S2?x?, 即S2(x)?则幂级数有如下一些性质:

?bx?x?R?,

nn2n?0?【性质1】 两个幂级数在公共的收敛区域内, 其和或差也是收敛的, 并和函数为相对

应的两个和函数的和与差. 即 设R?min{R1,R2}, 则

????ax??bx??(annnnn?0n?0n?on?bn)xn?S1(x)?S2(x),

x?R.

【性质2】 两个幂级数在其公共的收敛区域内, 其积仍为收敛幂级数, 并且和函数

为对应的两个和函数之积. 即

设R?min{R1,R2}, 则

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????n?? ??anx???bnxn??S1?x?S2?x?, x?R. ?n?0??n?0?□

【性质3】 幂级数(9)在其收敛域(?R1,R1)内可以逐项求导, 而且求导后的幂级数

的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即

??????n?nn?1ax?ax?nax?S1?(x), |x|?R1 ?????nnn??n?0?n?0?n?0注16 若幂级数数.

?axnn?0?n的收敛半径为R1, 则它的和函数S(x)在区间内其有任意阶导

【性质4】 幂级数(9)在收敛区域(?R1,R1)内可以逐项积分, 而且积分后所得的幂级

数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即

??xx1??n?nn?1anx?dx???anxdx??anx??S(x)dx,??0?00n?1n?0n?0?n?0?x|x|?R1.

(?1)n?1n【例14】 求幂级数?x的和函数.

nn?1? 【解】 R?limn??anan?11?limn?, 1n??1n?1当x?1时, 原级数成为

1?1111????(?1)n?1??是收敛的; 234n当x??1时, 原级数成为调和级数

1?111?-?1?????????是发散的.

n?234?故收敛域为??1,1?.

(?1)n?1n11n?11n设S(x)??x?x?x2?x3?????1?x??

n23nn?1?从而S(0)?0.

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n?1n?1两边对x求导, 得S?(x)?1?x?x2???（?1）x??

右边级数是公比为?x的几何级数, 所以S?(x)?根据性质4, 两边同时从0到x积分得:

1. 1?xS?(x)??S?(t)dt??0x1dt?ln(1?x),x?(?1,1] 01?tx(?1)n?1n即?x?ln(1?x),nn?1?x?(?1,1].

□

二、函数的幂级数展开

前面我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质. 但在许多应用中, 我们遇到的却恰好是相反的问题: 给定函数f?x?, 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说, 是否能找到这样一个幂函数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定函数

f?x?. 如果能找到这样的幂级数, 则认为, 函数f?x?在该区间内能展开成幂级数, 而这

个幂级数在该区间内就表达函数f?x?.

1． 泰勒级数

在前面导数应用部分的泰勒中值定理中知道:

若函数f?x?在点x0的某邻域内存在直到n?1阶的连续导数, 则

f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0?2!?x?x0?2???f?n??x0?n!?x?x0?n??

在x0的邻域内, f?x?可以用n次多项式: f?x??f?x0??f??x0??x?x0????f?n??x0?n!?x?x0?n来近似代替.

【定理1】 如果函数f?x?在x?x0处存在任何阶的导数, 这时称形式为:

f???x0?f???x0?2nf?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??? (11) 2!n!n的级数为函数f?x?在x0的泰勒级数. 也称(11)式右端为f?x?在x?x0处的泰勒（Tayor）展开式, 或称幂级数展开式. 特别地, 当x0?0时, 我们称级数

第18页, 共31页

f???0?2f???0?nf?0??f??0???x?????x???为麦克劳林级数. 2!n!n【定理2】 设函数f?x?在点x0的某个邻域内可以展开成幂级数, 则幂级数是唯一的.

注17 若f为幂级数

?axnn?0?n在收敛区间??R,R?上的和函数, 则

?axnn就是

f?x?在??R,R?上的泰勒展开式.

2．初等函数的幂级数展开式

为方便起见, 我们仅讨论麦克劳林展开式, 即x0?0时的情况, 以下是几个基本初等函数的麦克劳林展开式.

(1) 求函数f?x??e的展开式.

x【解】 由于 fn?x??ex , fx?n??0??1 ?n?1.2??

x2xn????? （x??） 则 e?1?x?2!n!?xn ??

n?0n!收敛半径为R?lim□ (2)

求函数f?x??sinx的展开式.

?n?(n?1)!??.

n??n!【解】 f?x??sin??x??n?2??, ?n?1,2?? ?n?1令x0?0, 知 f?2n??0??0, f?2n?1??0????1?.

x3x5x2n?1n?1则 sinx?x???????1??? ?x???. 3!5!2n?1!??同理可得: 在???,???内有:

2nx2x4nxcosx?1???????1??? ?x???. 2!4!?2n?!第19页, 共31页

□

(3)

讨论二项式函数f?x???1?x?的展开式.

?【解】 当?为正整数时, 由二项式定理可直接展开, 就得到f的展开式. 下面讨论?不等于正整数时的情形. 此时, f?n??x??????1?????n?1??1?x???n , n?1,2?

n f???0??????1?????n?1? , n?1,2?

于是, f?x?的麦克劳林级数是:

?1?x???1??x?????1?2!x2???????1?????n?1?n!xn?? (12) R?lim????1?????n?n!??1

n??????1?????n?1?n?1!??收敛区间为??1,1?. 对于收敛区间端点的情形, 它与?的取值有关. 其结果如下: 当???1时, 收敛域为??1,1?.

1) 当?1???0时, 收敛域为??1,1?. 2) 当??0时, 收敛域为??1,1?. 3) 当(12)式中???1时就得到

1n?1?x?x2?????1?xn?? , ??1,1? (13) 1?x14） 当a??时得到

211?x?1?11?321?3?53x?x?x???1,1?. (14) 22?42?4?6一般来说, 只有少数比较简单的函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发求出. 更多的情况是从已知的展开式出发, 通过变量代换, 四则运算或逐项求导、逐项求积等方法, 间接的求出函数的幂级数展开式.

【例15】 求

11和的展开式.

21?x21?x【解】 将x代入(13)式中可得:

第20页, 共31页

2

1n2n24?1?x?x????1x?? ??1,1? (15) ??1?x22 将?x代入(14)式中可得:

11?x2□

?1?121?341?3?56x?x?x?? ??1,1? (16) 22?42?4?6对(15)、(16)分别逐项求积可得函数arctanx与arcsinx的展开式:

2x?1dt1315nxarctanx???x?x?x?????1??? ??1,1? 01?t2352n?1xarcsinx??

x01x31?3151?3?5x7?x???x??? ??1,1? 2232?452?4?671?tdt【例16 】 求非初等函数F?x??2x?x0e?tdt的幂级数展开式.

2【解】 以?x代替e展开式中的x, 得到

e?x22nx2x4x6nx?1????????1??? ????x????

1!2!3!n!再逐项求积就得到F?x?在????x????上的展开式

??1?x2n?11x31x51x7?tF?x???edt?x????????????

01!32!53!7n!2n?1x2n【例17】 将函数sinx展开成(x?【解】 由于sinx?sin??)的幂级数. 4????????x???

4???4? ?sin????????cos?x???cossin?x?? 44?44??? ?且有

1????????cosx??sinx?????. ??442??????第21页, 共31页

??????x????x????44?????cos?x???1???? ????x????,

42!4!????????x????x????4??4?????sin?x????x??????? ????x????,

4??4?3!5!?所以

23????????x???x????1?????4??4??sinx?1??x??????? .????x????

?4?2!3!2??????1*【例18】 将函数f?x??2展开成?x?1?的幂级数.

x?4x?33522 【解】

f?x??11111?11???????? 2x?4x?3?x?1??x?3?2?x?1?2?x?3?2?x?1x?3?????1?11?11111??????????x?14x?1?2?2??x?1?4??x?1??2?21??1???24??11?,

?x?1??x?1?4?1??8?1??2?4???n11???1? 而 ???x?1?4n?02n4?1??2??11???1? ??nx?1??8n?048?1??4???x?1?n ??1?x?3?;

n?x?1? ??3?x?5?.

n?11?n?1故 f?x??2????1??n?2?2n?3??x?1?. ??1?x?3?

x?4x?3n?02?2?n□

第22页, 共31页

一、常数项级数

1. 常数项级数的基本概念 级数定义 设给定数列, 把形如

?an?1n?n?a1?a2???an??的式子称为常数项级数,

简称级数, 其中第n项an称为级数

n?an?1i?的通项（或一般项）.

设级数的前n项和为Sn=??a=a+ a+?+ a

12ii=1则称Sn为级数

?an=1n的前n项部分和, 简称部分和.

?若部分和数列?Sn?的极限存在, 即limSn=S(常数), 则称S为无穷级数

n???an=1n的和,

记作S=?a=a+a+?+a+?.

n12nn=1?此时称级数□

?an=1?n收敛, 如果

?sn?没有极限, 则称级数?an=1?n发散, 这时级数没有和.

2. 常数项级数的性质 【性质1】 若

?an=1?n收敛于a,

?bn=1?n收敛于b, c,d为常数, 则

??ca+db?也收敛,

nnn=1?且

??ca+db??ca?db.

nnn=1?【性质2】 若级数

?an=1?n收敛, 则liman=0.

n??注意 性质2是级数收敛的必要条件, 如果级数的一般项不趋于0, 级数一定发散; 如果级数的一般项趋于0, 级数可能收敛也可能发散. □

3. 正项级数及其收敛性 若常数项级数

?un=1?n的一般项un?0?n=1,2,??, 称级数

第23页, 共31页

?un=1?n为正项级数.

(1) 比较判别法 设

?un=1?n和

?vn=1?n是两个正项级数, 若un?vn?n=1,2,??, 则

?(a) 当

?vn=1??n收敛时,

?un=1?n也可收敛;

(b) 当

?un=1n发散时,

?vn=1n也发散.

(2) 比式判别法 若正项级数

?un (un?0) 的后项与前项之比的极限等于q, 即limn=1?un+1=q，则

n??un(a) 当q?1时, 级数

?un=1??n收级;

(b) 当q?1时, 级数

?un=1n发散;

(c) 当q?1时, 无法判断.

□

4. 几个常见级数敛散性的重要结论 (1) 调和级数

111?1??????是发散的. ?2nn=1n注意

????1?n=1?n?11111n?11?1????????1?+?是收敛的. n234n(2) 几何级数（也称等比级数）

?aqn=0?n=a+aq+aq2+?aqn+?

a; 1?q当q?1时, 级数收敛, 且S?当q?1时, 级数发散. 第24页, 共31页

(3) p?级数: ?nn?1?1p?1?111?????? ppp23n当p?1时发散; 当p?1时收敛.

□

5. 交错项级数

若级数的各项符号正负相间, 即

u1?u2?u3?u4??????1?un

n?1?n?1则称此级数为交错项级数, 其中un?0?n?1,2,??

莱布尼兹判别法: 若交错级数

???1?n?1?n?1un,un?0,n?1,2,?, 满足条件

(1) un?un?1 (2) limun?0

n??则级数□

???1?n?1?n?1un收敛, 且其和S?u1.

6. 绝对收敛与条件收敛 如果级数

?un?1?n的各项un可以取任意数, 则称为任意项级数.

??(1) 若绝对值级数?un?1n收敛, 则级数?un?1nn必然收敛. (2) 若级数?un?1??n收敛, 则称原级数?un?1?绝对收敛, 若级数?un?1?n发散, 但级数?un?1?n收敛, 则称级数

?un?1n为条件收敛.

□

第25页, 共31页

二、幂级数

1. 幂级数的概念 形如

?axnn?0?n?a0?a1x?a2x2???anxn??的级数称为幂级数, 其中

a0,a1,?,an,?称为幂级数的系数.

□

2. 幂级数的收敛半径和收敛域及其求法

?an若lim?R, 其中an,an?1是幂级数?anxn相邻两项的系数, 则R即是幂级数n??an?0n?1??axnn?0n的收敛半径, 区间(?R,R)称为幂级数的收敛区间; x??R时, 幂级数可能收敛也

可能发散.

□

3. 幂级数的性质 设幂级数

?axnn?0?n的收敛区域为(?R1,R1), 和函数为S1?x?, 又设

?bxnn?0?n的收敛区域

为??R1,R2?, 和函数为S2?x?.

【性质1】 设R?min?R1,R2?, 则

?ax??bx???annnnn?0n?0n?0???n?bn?xn?S1?x??S2?x?,x?R;

【性质2】 设R?min?R1,R2?, 则

???n??n?axbx??nn?????S1?x?S2?x?,?n?0??n?0??x?R;

【性质3】 幂级数

?axnn?0n在??R1,R1?内可以逐项求导, 且求导后所得的幂级数的

收级半径与原级数的收敛半径相同, 即

?????n?n?n?1ax?ax?nax?S1??x?,?????nnn??n?0?n?0?n?0x?R1;

第26页, 共31页

【性质4】 幂级数

?axnn?0?n在收级区域??R1,R1?内, 可以逐项积分, 且积分后所得的

幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即

??xx1??n?nn?1anx?dx???anxdx??anxdx??S?x?dx,x?R. ??0?00n?1n?0n?0?n?0?x□

4. 函数的幂级数的展开式

(1) 泰勒级数与麦克劳林级数

若f?x?在x0的某邻域内具有各阶导数, 则

f?x??f?x0??f??x0??x?x0??称为f?x?在x0处的泰勒级数.

若x0?0, 则有

f???x0?2!?x?x0????2f?n??x0?n!?x?x0?n??f?x??f?0??f??0?x?f???x0?2!x???2f?n??0?n!xn?? 称此级数为函数f?x?的麦克劳林级数. □

(2) 一些常见函数的幂级数展开式

xnx2xne???1?x??????,2!n!n?0n!x?x???;

x2n?1x3x5x2n?1nsinx????1??x???????1???,2n?1!3!5!2n?1!????n?0?n2nx2nx2x4nxcosx????1??1???????1???,2n!2!4!?2n?!n?0?n?1??xn?1?x?x2???xn??,1?xn?0x???;

x???;

x?1;

?1nn????1?xn?1?x?x2?????1?xn??,1?xn?0x?1;

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n?1xn?1x2nxln?1?x?????1??x??????1???,?1?x?1;

n?12n?1n?0?n□

(3) 利用一些已知函数的展开式, 根据函数的幂级数展开式的唯一性, 以及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数, 有时可以采用变量代换来展开函数成为幂级数, 这种方法避免了进行复杂的运算.

□

综合练习

一、选择题 1. 如果级数

?un?1?n收敛, 且Sn??uk?1?k, 则数列Sn（ ）.

A. 单调增加 B. 单调减少 C. 收敛 D. 发散 2. 若（ ）成立, 则级数

?un?1?n发散, 其中Sn表示此级数的部分和.

A. limSn?0 B. un单调上升 C. limun?0 D. limun不存在

n??n??n??3． 当条件( )成立时, 级数

??an?1?n?bn?一定发散.

A.

?an?1??n发散且

?bn?1?n收敛 B.

?an?1??n发散

C.

?bn?1n发散 D.

?an?1n和

?bn?1?n都收敛

4． 下列级数中发散的是( ).

1A. ? B.

n?1n?n?1?C.

?1 ?nn?13????1?n?1?n?11 D. n?n?1?1n 5． limun?0是级数

n???un?1?n收敛的( ).

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件

第28页, 共31页

6． 若级数

?nn?1?p?1发散, 则( ).

A. ?3?p?2 B. ?2?p??1 C. 1?p?2 D. p?3

7． 已知级数

???1?n?1?nun不满足莱布尼兹判别法, 则该级数( ).

A. 绝对收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D. 敛散性不确定 8． 幂级数

?2n?0?nx2n的收敛区间是( ).

???22?, D. ??22??22??,?? ?22?nA. ??2,2? B. ??2,2? C. ?????n?1?xxn9． 幂级数?n在??2,2?内收敛于S?x?, 那么幂级数?在??2,2?内收敛n2?1n?12?1n?1于( ).

A. x?S??x? B. x?S?x?? C. x???x0S?t?dt D.

?tS?t?dt

0x□

二、填空题

?111．若级数?un的前n项和Sn??, 则?un? . 22?2n?1?n?1n?1???2．若正项级数

?un?1n收敛, 则级数

???1?n?1nun的敛散性是 .

3．若limun?0, 则

n???un?1?n必为 级数.

4．几何级数

?rn?1?n发散,则r应满足 .

5．设常数项级数

??an?1n?n?2010,则liman? .

n??6．幂级数

?n!xn?1的收敛半径R? , 收敛区间为 .

第29页, 共31页

xn7．幂级数?n的收敛半径R? , 收敛区间为 .

n?12?n?xn8．幂级数?n的收敛半径R? , 收敛区间为 .

n?1n?xnx9．已知e??, x????,??, 则e2? .

n?0n!?x

□

三、解答题

1．判别下列级数的敛散性.

n?1(1) ? (2)

2n?3n?11(4) ?n (5)

3?nn?1???n?1???2n?1?!sin3n (3) ?3

n3n?n!n?1?2nn! (6) ?nnn?1??2n?1??2n?1?

n?1?12．求下列幂级数的收敛区间.

2n?1x2n?1(1) ? *(2) 2nn?1?1xn ?n?12?4????2n??2n(3) ?2xn (4)

n?1n?1????1?n?1?n?1?2x?3?2n?1n

3．求下列幂级数在收敛区间内的和函数. (1)

?nxn?1?n?1 ??1?x?1? (2)

?n?1?n?n?1?2xn?1 ??1?x?1?

4．将下列函数x展开成幂级数, 并求出收敛区间. (1) sinxx (2) ?1?x?e (3) arctanx 21ex?e?xx2(4) (5) e (6)

x?42(7) ln?1?x? (8)

x1?x2 (9)

x 1?2xx10(10)

1?x第30页, 共31页

5．将函数f?x??*6．设f?x??1在x?3处展开成幂级数. x?t2?x0edt, 将其展开为麦克劳林级数.

7．将函数f?x??ex在x?1处展开成幂级数. 8．将函数f?x??cosx展开成?x??????的幂级数. 3?9． 将函数f?x??3?2x?4x2?7x3展开成?x?1?的幂级数.

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