线性代数例题总1(新)

序 言

线性代数课程的特点是：

四多：概念多，定理多，符号多，运算规律多，且内容相互纵横交错。知识前后紧密联系。考生应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。抓联系，找规律，重应用。

行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。

矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。

关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。证明（或判断）向量组的线性相关（无关）性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。

向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。在R?中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过度矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，必须概念清楚，计算熟练。

关于特征值，特征向量，对具体给定的数值矩阵，要会求特征

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值，特征向量。对抽象给出的矩阵，要把式子AX= ?X大胆运算。

关于相似矩阵和对角化的条件，实对称矩阵定能对角化，且可由正交变换化为对角阵。反之，又可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A。如果A为实对称矩阵，由于其不同的特征值所对应的特征向量相互正交，还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。对角化以后的形式，常可以求A的行列式或有关的行列式值。

关于二次型，一 是化标准形（正交变换、可逆变换）这和把实对称矩阵化为对角矩阵是一个问题的两种提法。二是正定性问题（可用顺序主子式来判定），应熟悉二次型正定的有关充分条件和必要条件，利用标准形，特征值来证明相关矩阵的正定性。

线性代数

一 N阶行列式的定义及性质。 二．例题选讲。

a0ba0?000ba?00??????000?a0000?ba0?0b例1 =____________

2

a10a2b300b2a30b100a4例2 四阶行列式

00b4的值等于（ ）

（A）a1a2a3a4?b1b2b3b4 （B） (a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)

（C）a1a2a3a4?b1b2b3b4 （D）(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

A?a,B?b,例3 设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且

?0C???BA??0? 则C?__

例4 设4?4矩阵

A?(?,?2,?3,?4)B?(?,?2,?3,?4)其中?,?,?2,?3,?4均为4维列向量，且已知行列 A?4,B?1则 A?B?___

例5 （n阶）

3

1aa?aa1a?aaa1?a? ?????aaa?1

例6 计算

a?x1aaaa?x2aDn?aaa?x3???aaa

例7 范德蒙式

11?x1x2? Vn?x1x2?xn??x21x22????xn?1xn?112?

?a?a?a

???a?xn1xnx2n???xi?xj? ? 1?j?i?n??xn?1n4

13341141325?1?6则其余子式M21例8 设D??10?5?M22?M23?M24?________

三．矩阵及运算法则。

例9 设AB为n阶方阵，满足等式AB=O则必有

(A) A=O或B=O (B) A+B=O (C) A?0或B?0 (D) A?B?0

例10 设n阶非奇异矩阵

?1?例11 已知AP=PB其中 B??0?0?0000??1??0,P?2????2?1??0?110??0 求A及A5 ?1??A的伴随矩阵为A，(n?2)，则?A?????________

5

?3?例12 设矩阵A和B 满足关系式AB=A+2B A?1??0?0111??0求矩阵B ?4??

?1?例13 已知矩阵A?0??0?110?1??21且A?AB?E,求B= ??1??

?3?例14 设矩阵A??1?0?

?5?2例15 设A???0??0?21000400??1??0?，I??0?03???0100??0? 求(A?2I)?1? 1??00110??0? 求A?1? ?2??1??

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例16 设

?1?100??2134??B??01?10???213???001?1?，C??0?0021? ??0001????0002??且A满足关系式A(E-C-1B)TCT?E，求A

例17设?2E?C?1B?AT?C?1其中E为4阶单位矩阵,AT为A的转置

?12?3?2??1201??B??012?3???120????0012?,C??0?0012? 求A。 ??0001??????0001???

?101?例18 设 A，B为3阶矩阵，满足AB?I?A2?B,A???020???求B？ ??101??

?1例19 设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB。(1) 证明：A-E为可逆矩阵 (2) 已知 B=??2??0A

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?30?10??求02??

?1?例20已知AB-B=A,B?2??0??2100??0,求A. ?2??

?A例21 证明：??00??B??1?A?1???00??1?1,A,B存在。 ?1?B?

?0例22 证??AB??0??1?0???1?BA?? 0??1

0?1??23?例23 设A??0?4??00?0??00? 且B?(E?A)?1(E?A)，求(E?B)?1? 50???67??0

8

例24 设A满足A2?A?4E?0，则(A?E)?1?

?1?例25 设A?0??1?0201??0，而n?2为正整数，则An?2An?1? ?1??

例26 设???1,0,?1?,A???T,n为正整数，求det(aE?An)?

T

例27 设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

?IP??????A??0??A?,Q?????A??????,，其中A*是A的伴随矩阵。I为n阶单位矩阵。 ?b??1（1） 计算并简化PQ (2) 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是?'A??b

9

例28 设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则

（A） 当m > n时，必有AB?0 （B）当m > n时，必有AB?0 (C) n > m时，必有AB?0 （D）当n > m时，必有AB?0

例29 ??(1,2,3),??(1,

例30 设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A ’是A的转置矩阵。当A*=A ’时，证明：A?0

例31 设A是任一n(n?3)阶方阵。A*是其伴随矩阵。又k为常数，且k?0,?1, 则必有(kA)*?( )

（A）kA* （B）k

?1??例32 设A，B满足ABA?2BA?8E, A??0?0?0?2010

n?111,),A??'?求An 23A* （C）kA* （D）kn?1A*

0??0?求B 1??

例33 设A是n阶矩阵。满足AA??I，A?0，求A?I

?1?3??1?例34 设三阶方阵A，B满足ABA?6A?BA,A?0???0??0140?0??0?求B。 ??1??7?

?10?01例35 矩阵A的伴随矩阵A*???10??0?3?00100??0?且ABA?1?BA?1?3E，求B 0??8??

四．初等变换与初等矩阵。

（2） 求AB?1

例36 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B（1）证明：B可逆

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?a11?例37 设A?a21??a?31?0?P1??1?0?100a12a22a32a13??a21??a23,B?a11???a?aa33?11??31010a22a12a32?a12??a13

?a33?a13??a230??1??0?， P2??0?11???0??0? 则必有 ( ) 1??(A)AP1P2?B （B）AP2P1?B （C）P1P2A?B （D）P2P1A?B

五．向量及线性无关性

例38 n维向量组?1,?2,?3,?,?s，?3?s?n?线性无关的充分必要条件是 （ ）

（Ａ）存在一组不全为0的数k1,k2,?ks，使k1?1?k2?2???ks?s?0 （B）?1,?2,?3,?,?s中任意两个向量都线性无关

（C）?1,?2,?3,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 （D）?1,?2,?3,?,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示

例39设A是4阶矩阵，A?0，则A中 （ ）

（A） 必有一列元素全为0 （B）必有两列元素对应成比例

(C) 有一列向量是其余列向量的线性组合 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合

例40 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则（ ）

（A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关

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（C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关 （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关

例41 设向量组?1,?2,?3，线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线

性表示，则对任意常数k必有

（A） ?1,?2,?3,k?1??2线性无关 （B）?1,?2,?3,k?1??2线性相关 （C）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关 （D）?1,?2,?3,?1?k?2线性相关

例42 设向量?可由?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向量组（I）：?1,?2,?,?m?1线性表示。记向

量组（II）：?1,?2,?,?m?1，?则

（A）?m不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示 （B）?m不能由（I）线性表示，但能由（II）线性表示 （C） ?m可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示 （D）?m可由（I）线性表示，但不能由（II）线性表示

例43 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （ ）

（A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?1?2?2??3

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（C）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 （D）?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3

例44设向量组?1,?2,?3，线性相关，设向量组?2,?3,?4线性无关。问：（1）?1能否由?2,?3线性表

示；（2）?4能否由?1,?2,?3线性表示。证明你的结论。

例45已知向量组

?2??2,0,t,0?， ?3??0,?4,5,?2?的秩为2，求t= ( ) 例46已知向量组?1??1,2,?1,1?，?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7),则该向量组的秩为（ ）

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?1?例47 A是4?3矩阵，且r(A)=2，B=0???1?0202??0则r(AB)=( ) ?3??

?a1b1??a2b1例48设A=????ab?n1a1b2a2b2?anb2????a1bn??a2bn?，其中ai?0, bi?0, i?1,2?n, 求r?A? ???anbn??

?1?a?例49设n (n?3) 阶矩阵A=?a??....?a?a1a....a....................a??a?a?若r(A)=n-1则a必为（ ） ?...?1??(A) 1 (B)1/1-n (c)-1 (D)1/n-1

例50设A=I-??T其中I是n阶单位矩阵，?是n维非零列向量，?是?的转置，证明：（1）A2?A

TTT的充要条件是? ?=1（2）当? ?=1时，A是不可逆矩阵

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