(完整版)2018年高考理科数学试题及答案-全国卷3(可编辑修改word版)

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 3）理科数学

1

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 3）

理科数学

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合 A = {x | x - 1≥ 0} ， B = {0 ，1，2} ，则 A B = A ． {0} 2． (1 + i )(2 - i ) = A. -3 - i

B ． {1}

B. -3 + i

C ． {1，2}

C. 3 - i

D ． {0 ，1，2}

D. 3 + i

3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长

方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4. 若sin = 1

，则cos 2= 3

A.

8 9

5． ? x 2 + ? 2 ?

5

? ? B.

7

9

的展开式中 x 4 的系数为 C. - 7

9

D. - 8

9

A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

6. 直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆( x - 2)2

+ y 2 = 2 上，则△ABP 面积的取值范围

是

A ． [2 ，6]

B ． [4 ，8]

C ．

?

2 ，

3 2 ?

D ． ?2 2 ，3 2 ?

?

?

?

?

7. 函数 y = -x 4 + x 2 + 2 的图像大致为

x

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2 5 3

8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员

中使用移动支付的人数， DX = 2.4 ， P ( X = 4) < P ( X = 6) ，则 p =

A ．0.7

B ．0.6

C ．0.4

D ．0.3

a 2 +

b 2 -

c 2 9. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，若△ABC 的面积为 4

，则C = A. π 2 B. π 3 C. π 4 D.

π

6

10.

设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥

D - ABC 体积的最大值为

A ．12

B ．18

C ． 24

D ． 54

x 2 11. 设 F 1 ，F 2 是双曲线C ： 2 - 2 2 = 1（ a > 0 ，b > 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2 作C 的一条渐近线的 a b 垂线，垂足为 P ．若 PF 1 =

OP ，则C 的离心率为

A.

B ．2

C ．

D ． 12．设 a = log 0.2 0.3 ， b = log 2 0.3 ，则

A ． a + b < ab < 0

C ． a + b < 0 < ab

B ． ab < a + b < 0 D ． ab < 0 < a + b

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

3 3

3 3 3 6 2

y

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3

13．已知向量a = (1, 2) ， b =(2, -2) ， c =(1, λ) ．若c ∥(2a + b ) ，则

= ．

14. 曲线 y = (ax + 1)e x 在点(0 ，1) 处的切线的斜率为-2 ，则 a =

． 15. 函数 f ( x ) = cos ? 3x + π ? 在[0 ，π] 的零点个数为 ．

6 ? ? ?

16. 已知点 M (-1，1) 和抛物线C ：y 2 = 4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A ， B 两点．若∠AMB = 90? ，则 k =

． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必

须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（12 分）

等比数列{a n } 中， a 1 = 1，a 5 = 4a 3 ．

（1） 求{a n } 的通项公式；

（2） 记 S n 为{a n } 的前n 项和．若 S m = 63 ，求 m ．

18．（12 分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：

（1） 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2） 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：

（3） 根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n (ad - bc )

2

附： K 2 = (a + b )(c + d )(a + c )(b + d ) ， 超过 m 不超过 m

第一种生产方式 第二种生产方式

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?P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

19．（12 分）

如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M是C D 上异于C，D 的点．

（1

）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）当三棱锥M -ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．

20．（12 分）

x2 y2

已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：

（1）证明：k <-1 ；

2

+=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m)(m > 0)．4 3

F P

+

（2）设为C 的右焦点，为C 上一点，且FP FA +FB =0 ．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．

21．（12 分）

已知函数f (x)=(2 +x +ax2)ln (1 +x)- 2x ．

（1）若a = 0 ，证明：当-1 0 时，f (x)> 0 ；

（2）若x = 0 是 f (x)的极大值点，求a ．

（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为

?x = cos，

?

为参数），过点(0 ，-

2 )且倾斜角为的

直线l 与⊙O 交于 A ，B 两点．

（1）求的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）设函数f (x)= 2x + 1 +x - 1 ．

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n n n n =

1 ( 2) n m n （1） 画出 y = f (

x ) 的图像； （2）当 x ∈[0 ，+ ∞) ， f ( x ) ≤ ax + b ，求 a + b 的最小值．

参考答案：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

D

A B C

A

D

B

C

B

C

B

13. 1

2

17.(12 分)

14. -3

15. 3

16.2

解：（1）设{a } 的公比为q ，由题设得 a = q

n -1

.

由已知得 q 4 = 4q 2 ，解得 q = 0 （舍去）， q = -2 或 q = 2 .

故 a = (-2)n -1 或 a = 2

n -1 .

（2） 若 a

= (-2) n -1 ，则 S - - n

.由 S = 63 得(-2)m = -188 ，此方程没有正整数解.

n n 3

m

若 a = 2n -1 ，则 S = 2n -1 .由 S = 63 得2m = 64 ，解得 m = 6 . 综上， m = 6 . 18.（12 分）

解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

（i ） 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第

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6 2=

=>

二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

79 + 81

（2）由茎叶图知m == 80 .

2

列联表如下：

超过m 不超过m

第一种生产方式15 5

第二种生产方式 5 15 （3）由于K

40(15?15 - 5? 5)2

10 6.635 ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

20 ? 20 ? 20 ? 20

19.（12 分）

解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC ?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD, 故BC⊥DM.

因为M 为C D 上异于C，D 的点,且DC 为直径，所以DM⊥CM.

又BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM ?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D 为坐标原点, DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 3）理科数学 7 5 2 5

2 5 = - = = AM = 0, DA

当三棱锥 M ?ABC 体积最大时，M 为C D 的中点.

由题设得 D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0), M (0,1,1) ，

AM ( 2,1,1), AB (0, 2, 0), DA (2, 0, 0)

设 n = (x , y , z ) 是平面 MAB 的法向量,则

??n ? ?n ?

?-2x + y + z = 0,

即?2 y = 0. ?? AB = 0. ?

可取 n = (1, 0, 2) .

DA 是平面 MCD 的法向量,因此

cos n , DA

n ?

= = ，

| n || DA | 5 sin n , DA = ，

5

所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 . 5

20.（12 分）

x 2 y 2 x 2 y 2

解：（1）设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，则 1 + 1 = 1, 2 + 2 = 1 . 4 3 4 3

两式相减，并由 y 1 - y 2 = k 得 x 1 - x 2

x 1 + x 2 + y 1 +

y 2

? k = 0 .

4 3 由题设知 x 1 + x 2 = 1, y 1 + y 2 = m ，于是

2 2

由题设得0 < m < 3 ，故 k < - 1 .

k = - 3 .①

4m

2 2

（2）由题意得 F (1, 0) ，设 P (x 3 , y 3 ) ，则

(x 3 -1, y 3 ) + (x 1 -1, y 1 ) + (x 2 -1, y 2 ) = (0, 0) .

由（1）及题设得 x 3 = 3 - (x 1 + x 2 ) = 1, y 3 = -( y 1 + y 2 ) = -2m < 0 .

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8 1 2 (x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 3 21 = = = 又点 P 在 C 上，所以 m = 3 ，从而 P (1, - 3) 3

， | FP | .

4 2 2

于是

| FA |

x 2 = 2 - x 1 . 2 同理| FB |= 2 - . 2 1

所以| FA | + | FB |= 4 - 2 (x 1 + x 2 ) = 3 .

故2 | FP |=| FA | + | FB | ，即| FA |,| FP |,| FB | 成等差数列.

设该数列的公差为 d ，则

2 | d |=

1

将 m = 3 代入①得 k = -1 . 4

|| FB | - | FA ||= 2 | x 1 - x 2 |= .② 所以 l 的方程为 y = -x + 7 ，代入 C 的方程，并整理得7x 2 -14x + 1

= 0 .

故 x + x = 2, x x 4 4

1 3 21 ，代入②解得| d | . 1

2 1 2 28 28

所以该数列的公差为

或- . 28 28

21.(12 分)

解：（1）当 a = 0 时， f (x ) = (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x ， f '(x ) = ln(1+ x ) - x 1+ x .

设函数 g (x ) = f '(x ) = ln(1+ x ) - x 1+ x ，则 g '(x ) = x

(1+ x )2 . 当-1 < x < 0 时， g '(x ) < 0 ；当 x > 0 时， g '(x ) > 0 .故当 x > -1 时， g (x ) ≥ g (0) = 0 ，且仅当 x = 0 时，

g (x ) = 0 ，从而 f '(x ) ≥ 0 ，且仅当 x = 0 时， f '(x ) = 0 .

所以 f (x ) 在(-1, +∞) 单调递增.学.科网

又 f (0) = 0 ，故当-1 < x < 0 时， f (x ) < 0 ；当 x > 0 时， f (x ) > 0 .

（2）（i ）若 a ≥ 0 ，由（1）知，当 x > 0 时， f (x ) ≥ (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x > 0 = f (0) ，这与 x = 0 是 f (x )

的极大值点矛盾.

(x -1)2 + y 2 1 1 (x -1) + 3(1- 2 x 2 1 4 1 ) 3 21 = =

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9 1 | a | 1 | a | 1 | a | 2 1+ k 2 2 2 < =

= + - 1 ? f (x ) 2x （ii ）若 a 0 ，设函数 h (x ) ln(1 x ) .

2 + x + ax 2 2 + x + ax 2 由于当| x |< min{1, }时， 2 + x + ax 2 > 0 ，故 h (x ) 与 f (x ) 符号相同. 又 h (0) = f (0) = 0 ，故 x = 0 是 f (x ) 的极大值点当且仅当 x = 0 是 h (x ) 的极大值点.

' 1

2(2 + x + ax 2 ) - 2x (1+ 2ax ) x 2 (a 2 x 2 + 4ax + 6a +1) h (x ) = - = . 1+ x (2 + x + ax 2 )2 (x +1)(ax 2 + x + 2)2 如果6a +1 > 0 ，则当0 < x < - 6a +1

，且| x |< min{1, }时， h '(x ) > 0 ，故 x = 0 不是 h (x ) 的极大值点.

4a 如果 6a +1 < 0 ， 则 a 2 x 2 + 4ax + 6a +1 = 0 存在根 x < 0 ， 故当 x ∈(x , 0) ， 且| x |< min{1, }时，

1 1

h '(x ) < 0 ，所以 x = 0 不是 h (x ) 的极大值点.

如 果 6a +1 = 0 ， 则 h '(x ) =

x 3 (x - 24) (x +1)(x 2 - 6x -12)2 .则 当

x ∈(-1, 0) 时 ， h '(x ) > 0 ； 当 x ∈(0,1) 时 ， h '(x ) < 0 .所以 x = 0 是 h (x ) 的极大值点，从而 x = 0 是 f (x ) 的极大值点

综上， a = - .

6

22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

【解析】（1）

O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当= π 时， l 与 O 交于两点． 2

当≠ π 时，记tan

= k ，则 l 的方程为 y = kx - ． l 与 O 交于两点当且仅当| 2

|< 1 ，解得

2 ∈ π π

π 3π k < -1 或 k > 1 ，即 ( , ) 或 ∈( , ) ． 4 2 2 4 π 3π

综上， 的取值范围是( , ) ． 4 4 （2） l 的参数方程为??x = t cos , (t 为参数， π << 3π ) ． ? ?? y = - + t sin 设 A ， B ， P 对应的参数分别为t ， t ， t ，则t 4 4 = t A + t B ，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin +1 = 0 ． A B P P 2

A B 于是t A + t B = 2 2 sin ，

t P = 2 sin ．又点 P 的坐标(x , y ) 满足??x = t P cos , y = - + t sin . ??

P

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10

?

?

x = 所以点P 的轨迹的参数方程是

?

2

sin 2,

2(为参数，π<<3π) ．

?y =- 2 - 2 cos 2 4 4

??22

23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）

?

-3x, x <-

1

,

?2

1

【解析】（1）f (x) =

?

x + 2, -≤x < 1,y =f (x) 的图像如图所示．

?

?

?3x, x ≥ 1.

??

（2）由（1）知，y =f (x) 的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3 ，故当且仅当a ≥ 3 且b ≥ 2 时，f (x) ≤ax +b 在[0, +∞) 成立，因此a +b 的最小值为5 ．

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/986q.html