高三 专题复习 不等式恒成立问题

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式

对任意的

都成立，求的取值范围.

例2：在R上定义运算?：x?y＝x(1－y) 若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－10对满足0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围。

二、分离参数法

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝

*

1nn-1nnn*

[3+(-1)·2]+(-1)·2·a0(n?N )5若对任意n≥1，n?N，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。

例6．（2012?安徽模拟）若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则a的取值范围是 ． 例7．（2011?深圳二模）如果对于任意的正实数x，不等式

恒成立，则a的取值范

围是 ． 例8．（2013?闵行区一模）已知不等式|x﹣a|＞x﹣1对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ．

三、数型结合法

例9：如果对任意实数x，不等式x?1?kx恒成立，则实数k的取值范围是 例10：已知a>0且a?1,当x?(-1，1)时，不等式x-a<

2

x

1恒成立，则a的取值范围 21

例11、 已知函数的取值范围是 . 例12、（2009?上海）当

时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是 ．

都成立，则a的取值范

若不等式

恒成立，则实数

例13、若不等式logax＞sin2x（a＞0，a≠1）对任意围是（ ） A． B． C． D． （0，1） 四、利用函数的最值（或值域）求解

（1）f(x)?m对任意x都成立?f(x)min?m；

（2）f(x)?m对任意x都成立?m?f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例14、在?ABC中，已知f(B)?4sinBsin(立，求实数m的范围。

例15、（1）求使不等式a?sinx?cosx,x?[0,?]恒成立的实数a的范围。 （2）求使不等式a?sinx?cosx,x?

2?4?B)?cos2B,且|f(B)?m|?2恒成2??(0,)恒成立的实数a的范围。 42?

例16、（2009?崇明县二模）已知函数

（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）； （2）当

时，不等式f（x）≤10在

上恒成立，求b的取值范围．

，（x＞0），其中a，b∈R．

五、利用函数单调性求解

例17、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式

例18、已知函数f（x）=x3+2x，x∈R，若不等式f（mcosθ）+f（m﹣sinθ）≥0，当时恒成立，则实数m的取值范围是 ． 例19、已知定义域为R的函数

是奇函数．（1）求a的值；

恒成立，则实数t的取值范围是 ．

（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

六、实战演练

一．填空题 1．（2012?北京怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是 ．

2.．已知：不等式x2﹣logmx＜0．在

上恒成立，则实数m的取值范围是 ．

3．不等式4x+a?2x+1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 ?? ． 4．（2006?上海）三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3﹣5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．

5．f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[，1]时，不等式

f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是 ． 二．解答题 6．（2012?信阳模拟）已知对于任意非零实数m，不等式|2m﹣1|+|1﹣m|≥|m|（|x﹣1|﹣|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围． 7．（2013?静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．

（1）求B的取值范围；（2）若x=B，关于x的不等式cos2x﹣4sin（+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

8．已知函数

）sin（

）

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．

9．（2010?闸北区二模）设x∈R，

．

（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的大致图象；

（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

10．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，都有

＞0成立 ，（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；

（3）若f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的m∈[0，3]恒成

，

（2）解不等式f（x）＜

立，求a的范围． 11．（2008?浦东新区二模）已知等差数列{xn}，Sn是{xn}的前n项和，且x3=5，S5+x5=34． （1）求{xn}的通项公式； （2）设

，Tn是{an}的前n项和，方程Sn+Tn=2008是否有解？说明理由；

（3）是否存在正数λ，对任意的正整数n，不等式λxn﹣4Sn +8n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

12．（2009?虹口区一模）已知：向量

．（1）当

（2）若对任意的的取值范围．

，

时，求函数f（x）的最大值和最小值；

，

，不等式f2（x）﹣mf（x）﹣2m+5＞0恒成立，求实数m

13．（2013?闵行区二模）已知函数．

（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）； （2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；

（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

14．函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）． （1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增； （3）若不等式f（x）+f（3﹣x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

15．（2012?虹口区二模）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间有最大值4，最小值1，设函数

（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在

时恒成立，求实数k的取值范围． ．

上

16．（2011?浦东新区模拟）定义：，若已知函数

（a＞0且a≠1）满足f（1）=．

（1）解不等式：f（x）≤2；

（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

17．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=﹣2．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求证：f（x）是R上的减函数； （3）求f（x）在区间[﹣3，3]上的值域；

（4）若?x∈R，不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围． 18．（2012?徐汇区一模）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x?[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．

（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；

（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数g（x）=mx+值．

是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的

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