专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题（原卷版）

第六关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题

【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数

大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。在中考中，往往作为压轴题的形式出现，也给很多中生造成了很大的压力。

【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖

面广，综合性较强，对生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．

【典型例题】

【例1】如图，二次函数y??12x?bx?c的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点. 2(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P1（2，6），P2（2，－6）

∴顶点

坐标为：（4，2）；

12

x+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6，∴另一个交点C（6，0）， 21∴AC=2，∴S△ABC=×2×6=6；

2（2）令?（3）存在．分两种情况讨论：

①显然过B作BP∥OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)；

②过O作OP∥BC交对称轴于点P，∵OB∥PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，∴P(2，6)． 综上所述：P（2，6）或P（2，－6）．

【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的判定方法，解题的关键是把

已知点的坐标代入函数解析式，得到关于b、c的方程组．再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．

4【例2】如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，

0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；

（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

48529【答案】（1）y=3x2﹣3x﹣4；（2）4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣8，﹣16）．理由

详见解析. 【解析】

4试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=3x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式；（2）由解析式

先求得点D、C坐标，再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式计算即可；（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在E函数上，所以代入即可求t，进而E可表示．

4试题解析：（1）∵二次函数y=3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

8??b??3??解得：?c??4， 48∴y=3x2﹣3x﹣4；

（2）过点D作DM⊥y轴于点M，

48416∵y=3x2﹣3x﹣4=3（x﹣1）2﹣3，

16∴点D（1，﹣3）、点C（0，﹣4），

1161161则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=2×（1+3）×3﹣2×（3﹣4）×1﹣2×3×4=4；

529（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣8，﹣16）．理由如下

如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP， ∴四边形AQEP为菱形， ∵FQ∥OC，

AFFQAQ??∴AOOCAC， AFFQt??∴345

34∴AF=5t，FQ=5t

34∴Q（3﹣5t，﹣5t），

∵EQ=AP=t，

34∴E（3﹣5t﹣t，﹣5t），

48∵E在二次函数y=3x2﹣3x﹣4上，

44888∴﹣5t=3（3﹣5t）2﹣3（3﹣5t）﹣4，

145∴t=64，或t=0（与A重合，舍去），

529∴E（﹣8，﹣16）．

考点：二次函数综合题．

【名师点睛】本题考查了二次函数性质、求三角形的面积、菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内

容都很基础，是一道值得练习的题目．

【例3】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．

（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标． （4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以

点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x+2x+4，（1，5）；

2

（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐标.(4) 连接MC，MM′交PQ于F，设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形, 当四边形

PAM′M是平行四边形时,分别求出P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．

试题解析：

解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得

{?9?3b?c?1b?2 ,解得{ ,

c?4c?4∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5， ∴点M的坐标为（1，5）.

（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得{3k?b?1 ，

b?4k??1解得： { ，

b?4∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F,

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）， 点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m）， 由题意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4； ∴2＜m＜4． （3）如图，

当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3， ∴B（﹣1，1）， ∵C（0，4）， ∴BC=1?3?10, ∵MM′∥AC，CM′=10,M（1，5）, ∴M′的坐标为（3，3）或（﹣1，7）, ∴平移后点M的坐标（3，3）或（﹣1，7）．

22（4）如图，连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，

当四边形 PAM′M是平行四边形时，PA=MM′=2MF=2PC，设P（m，﹣m+4）， 则有2（3﹣m）=22m，

∴m=1， ∴P（1，3），

当P′AMM′是平行四边形时，易知AP′=2CP′， ∴2（3﹣m）=2?2（﹣m）， 解得m=﹣3， ∴P（﹣3，7），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．

【名师点睛】1.求二次函数的解析式

（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（a?0）.列方程组求二次函数解析式. (2)已知二次函数与x轴的两个交点 (x2,0)，利用双根式，y= a?x?x1??x?x2?（a?0）求二次（x1,0）函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, x?x1?x2. 22(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式y?a?x?h??k,（a?0）求二次函数解析式. （4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.

(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (x2,y)，则可（x1,y）以得到对称轴方程x?x1?x2. 22.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用

字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.

【方法归纳】

这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“用字母表示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“用字母表示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。 进一步有：

① 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

② 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

【针对练习】

1．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

2．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

3．如图，已知抛物线y?ax?bx?c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

2

4．如图，抛物线y??12x?bx?c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点2C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

25．如图1，抛物线y?ax?bx?2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，AB?4，矩形OBDC的边

CD?1，延长DC交抛物线于点E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作

PH?EO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值

范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点D(3,)，过点D作DC?x轴，垂足为C.

252

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN?x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求?PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为，是否存在，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7．如图，已知抛物线y?ax?bx?c过点A(?1,0)，B(3,0)，C(0,3).点M,N为抛物线上的动点，过点

2M作MD//y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.

（1）求二次函数y?ax?bx?c的表达式；

（2）过点N作NF?x轴，垂足为点F.若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

0（3）若?DMN?90，MD?MN，求点M的横坐标.

28．如图，是将抛物线y??x平移后得到的抛物线，其对称轴为x?1，与x轴的一个交点为A(?1,0)，另

2一交点为B，与y轴交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点N为抛物线上一点，且BC?NC，求点N的坐标； （3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y?33x?的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，22这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标，若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线y?ax2?bx?3经过点A?2,?3?，与

x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且

OC?3OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且?BDO??BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

10．已知：如图直线y=错误！未找到引用源。x+2与抛物线y=ax2交于A．B两点，点B的坐标（3，m），直线AB交y轴于点C．

（1）求a，m的值；

（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，设P点横坐标为t，△PAB的面积为s，求s与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在x轴上有一点Q，当以B．C．P．Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数错误！未找到引用源。的图像与错误！未找到引用源。轴交于错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。两点，与错误！未找到引用源。轴交于错误！未找到引用源。点，点错误！未找到引用源。是抛物线顶点，点错误！未找到引用源。是直线错误！未找到引用源。下方的抛物线上一动点．

（错误！未找到引用源。）这个二次函数的表达式为____________．

（错误！未找到引用源。）设直线错误！未找到引用源。的解析式为错误！未找到引用源。，则不等式错误！未找到引用源。的解集为___________．

（错误！未找到引用源。）连结错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，并把错误！未找到引用源。沿错误！未找到引用源。翻折，得到四边形错误！未找到引用源。，那么是否存在点错误！未找到引用源。，使四边形错误！未找到引用源。为菱形？若存在，请求出此时点错误！未找到引用源。的坐标；若不存在，请说明理由．

（错误！未找到引用源。）当四边形错误！未找到引用源。的面积最大时，求出此时错误！未找到引用源。点的坐标和四边形错误！未找到引用源。的最大面积．

（错误！未找到引用源。）若把条件“点错误！未找到引用源。是直线错误！未找到引用源。下方的抛物线上一动点．”改为“点错误！未找到引用源。是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。为顶点的四边形为梯形时，直接写出点错误！未找到引用源。的坐标．

12．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？ （3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．

13．（2017湖北省随州市）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线错误！未找到引用源。（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线错误！未找到引用源。与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

424x+bx+c经过原点和点A（6，0），与其对称轴交于点B，P是抛物线y=﹣x2+bx+c994上一动点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交动抛物线y=﹣（x﹣h）2（h为常数）于点Q，过点Q

94作PQ的垂线交动抛物线y=﹣（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．

94（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的函数关系式及点B的坐标；

914．如图，抛物线y=﹣（2）当h=0时． ①求证：

PQ4?； QQ'3②设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l，求l与m之间的函数关系式；

（3）当h≠0时，是否存在点P，使四边形OAQQ′为菱形？若存在，请直接写出h的值；若不存在，请说明理由．

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