2005-2006(1)-研05-数值分析试题解答

成 绩

中国矿业大学

05级硕士研究生课程考试试卷

考试科目 数值分析 考试时间 2006年01月 研究生姓名 所在院系 学

号

任课教师 班级序号

中国矿业大学研究生培养管理科印制

一、填空（共20分，每个空2分）

1．设~x具有4位有效数字，其绝对误差限为x?2.670为某个数四舍五入得到的近似值，则~1?10?3，相对误差限为0.2?10?3。 22．用计算机求方程ax?bx?c?0(a?0)的两个根，当b??4ac时，为使结果更精确，

2?b?sign(b)b2?4acc应采取计算公式：x1?，x2?。

2aax1323．设P(x)?a1x?a2x??a3x?a4是某函数f(x)以x0,x1,x2,x3为节点的三次插值多

项式，则差商f[x0,x1,x2,x3]?a1。

4．设~，则在A为非病态矩阵的情况下，残向量的x是线性方程组Ax?b的近似解（向量）范数r?b?A~x越小，近似解的精度就越高。

5．设A??

二、（10分） 确定常数p,q,r使得迭代法

?11?，则A2?3?5?2.288， ?(A)?2，Cond?(A)?3。 ??0?2?xk?1局部收敛到x??3aa2?pxk?q2?r5xkxk(k?0,1,2,?)

a(a?0)，并有尽可能高的收敛阶，这时阶数是多少？

【解】迭代函数为

aa2 ?(x)?px?q2?r5

xx首先要 x??(x)?p?q?r?1 为有尽可能高的收敛阶，

??aa2令 ??(x)?(p?2q3?5r6)xx*x?x*?0?p?2q?5r?0

1

aa2再令 ???(x)?(6q4?30r7)xx*x?x*?0?q?5r?0

解之得： p?q?*51,r?? 99可直接验证????(x)?0，所以最高的收敛阶是3阶。

三、（15分） 下面两个题任选一个

1．设A是对称正定矩阵，试推导下面Cholesky分解算法：

?a11?aA??21????an1a12a22?an2?a1n??l11??l11l21?ln1??l????a2n?ll?l22n2????2122???LLT

?????????????????ann??ln1ln2?lnn??lnn?要求L的元素按行计算出来，即按l11,l21,l22,?,ln1,ln2,?,lnn的顺序计算。

2．设线性方程组x?Mx?f（M?Rn?n）的解x存在且唯一，对于迭代法

*x(k?1)?Mx(k)?f，k?0,1,2,?

如果M?q?1，证明对任取的初始向量x(0)有limxk??(k)?x*并有如下两个估计式：

x(k)qkq(k)*(k)(k?1)x(1)?x(0) ?x?x?x和x?x?1?q1?q*【第1题解】通过比较矩阵两边元素可得如下伪程序

l11?a11

fori?2:n

forj?1:i?1

lij?(aij??likljk)/ljj

k?1j?1end

2

2 lii?aii??likk?1i?1end

【第2题解】x(k)?x*?Mx(k?1)?f?(Mx*?f)?M(x(k?1)?x*)?qx(k?1)?x* 递推得x(k)?x*?qkx(0)?x*，故x(k)?x*?0(k??)即limxk??(k)?x*

再由 x(k)?x*?qx(k?1)?x*?q(x(k)?x*?x(k)?x(k?1))得

x(k)?x*?qx(k)?x(k?1) 1?q类似x(k)?x(k?1)?qx(k?1)?x(k?2)?qk?1x(1)?x(0)代入上式得

x(k)qk?x?x(1)?x(0)

1?q*

四、（15分） 确定下面求积公式中的系数A和B，使其代数精度尽可能高，并判断其代数精度是多少。

?再根据此公式写出计算

1?1f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(f(x)dx的求积公式。

?15)?f(15)]

?ba【解】令f(x)?1,x,?使公式精确成立

f(x)?1?2A?2B?2 f(x)?x2?2A?解得：A?22B? 5315,B?，公式为： 6615?11f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f()?f()] ??166551

3

6易验上面公式对f(x)?x,x,x精确成立，而f(x)?x不精确成立，故代数精度为5次。

345对

?baf(x)dx作变量代换：x???

bab?ab?a t?22b?a1b?ab?af(x)dx?f(t?)dt ??1222b?a?b?a?1b?ab?a1b?a?[f(a)?f(b)]?5[f(??)?f(??)]? 12?222255??五、（15分）下面两个题任选一个

1．对于给定的数据对(xi,yi)(i?0,1,2,?,n)，其中xi(i?0,1,2,?,n)互不同。 （1）写出Lagrange插值多项式Ln(x)；

**（2）对于给定的x写出计算函数值Ln(x)的算法。

2．试叙述区间[a,b]上三次样条函数的定义，并据此定义确定出未知参数A,B,C使

?(Ax3?45x2?26x)/90 0?x?1?S(x)??(Bx3?27x2?46x?24)/90 1?x?2

?(Cx3?9x2?26x?24)/90 2?x?3?为满足边界条件S??(0)?1,S??(3)?0的三次样条函数。 【第1题解】（1）Ln(x)见书（略） （2）算法（参见P74流程图）

输入：(xi,yi)(i?0,1,2,?,n)和x

*y?0

for i?0:n t?1 forj?0:n ifj?i

4

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