2022年高三数学上期中模拟试题(带答案)

2020年高三数学上期中模拟试题(带答案)

一、选择题

1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则

21f f ＝ A

．B

C

D

2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）

A ．810

B ．840

C ．870

D ．900

3．设ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )

A ．4

B ．2

C ．2-

D ．4-

5．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212

a x x x x ++的最大值是（ ）

A

B

C

D

． 6．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）

A ．4y x x

=+ B

．2y = C ．4x x y e e -=+ D ．4sin (0)sin y x x x

π=+<< 7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49 B ．91 C ．98

D ．182 8．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233

n n n a a n -=

+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．32n

n a n =+ B ．23n n n a += C ．a n =n+2 D ．a n =（ n+2）·3n

9．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ）

A ．23,5??-+∞ ???

B ．23,15??-????

C ．()1,+∞

D ．23,5?

?-∞ ???

10．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）

A ．7

B ．5

C ．5-

D ．7-

11．等比数列{}n a 中，11,28a q =

=，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14

± D ．14 12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14

B ．21

C ．28

D ．35 二、填空题

13．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.

14．已知数列的前项和，则_______．

15．已知三角形

中，边上的高与边长相等，则的最大值是

__________． 16．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin 23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.

17．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.

18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.

19．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y

+的最小值为______． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知

24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有

2c =__________.

三、解答题

21．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；

（2

）若c =ABC ?

的面积为4

，求+a b 的值； 22．设数列{}n a 满足113,23n n n a a a +=-=?．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

23．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c

()cos 2cos C b A = (Ⅰ)求角A 的大小；

(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．

24．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++?=∈??为奇数为偶数

设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；

（2）求数列3+2n n b ??????

的前n 项和n S ． 25．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++???+的值．

26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =

． （1）求2sin cos 22

B C A ++的值； （2）若2b =，ABC ?的面积3S =，求a 的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

【分析】

：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式，

根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】

：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最

后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212

132q q 2a a a ==?=，所以

47213

q a f f a ===D 【点睛】

：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

2．B

解析：B

【解析】

数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402

+= ，选B. 3．B

解析：B

【解析】

【分析】

先由ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33

B A

C π

π=+= ,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4

B A

C =?=，整理计算即可得出答案. 【详解】

因为ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33

B A

C π

π=+= , 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B A C =?=

所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ?????-=?- ? ????

?

21111132sin 2cos 2sin 2424442344

A A A A A π??=+=-+=-+= ??? 即sin 213A π?

?-= ???

又因为203A π<<

所以3A π=

故选B 【点睛】 本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33

B A

C ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题. 4．C

解析：C

【解析】

【分析】

利用n S 先求出n a ，然后计算出结果.

【详解】

根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142

a λ+∴=

, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, Q 数列{}n a 是等比数列,

则11a =，故

412

λ+=, 解得2λ=-,

故选C .

【点睛】

本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 5．D

解析：D

【解析】

：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），

根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：1212a x x x x ++

=4a +13a ． ∵a ＜0，

∴-（4a +13a ）

=3，即4a +13a ≤

-3

故1212a x x x x ++

的最大值为3-． 故选D ．

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

6．C

解析：C

【解析】

【分析】

由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可.

【详解】

选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；

选项B 错误，化简可得22222y x x ?

?=++ ?+?， 由基本不等式可得取等号的条件为2222x x +=+，即21x =-，

显然没有实数满足21x =-；

选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =，

但由三角函数的值域可知sin 1x ≤；

选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =，

即ln 2x =时，4x x y e e

-=+取最小值4，故选C.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 7．B

解析：B

【解析】

∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴

13711313(6)13791S a a d ==+=?=，故选B ．

8．B

解析：B

【解析】

试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出

，运用累加法，解得，整理得23n n

n a +=； 考点：累加法求数列通项公式 9．A

解析：A

【解析】

【分析】 利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x

=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围

【详解】

关于x 的不等式220x ax +->在区间[]

1,5上有解 22ax x ∴>-在[]15

x ∈，上有解 即2a x x

>-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2f x x x =

-，[]15x ∈， ()2

210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数

且()f x 的值域为2315??-????

， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235

a >- 即a 的取值范围是23,5??-

+∞ ??? 故选A

【点睛】

本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.

【详解】

56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.

由等比数列性质可知

2274101478,1a a a a a a ==-==或227410147

1,8a a a a a a ====- 1107a a ∴+=-

故选D.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.

11．A

解析：A

【解析】

【分析】

利用等比数列{}n a 的性质可得2

648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】

设4a 与8a 的等比中项是x ．

由等比数列{}n a 的性质可得2

648a a a ＝，6x a ∴=± ． ∴4a 与8a 的等比中项5

61248x a =±=±?=±．

故选A ．

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 12．C

解析：C

【解析】

试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=?=∴=，则

()

()

174127477272822a a a a a a a +?+++====L

考点：等差数列的前n 项和

二、填空题

13．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的 解析：300

【解析】

试题分析：由条件，,所以

,,,所以

,,这样在中，,在中，，解得,中，

，故填：300.

考点：解斜三角形

【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.

14．2【解析】【分析】【详解】由Sn＝n2+n（n∈n*）当n＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n当n＝1时a1＝2×1＝2成立∵an＝2n

解析：2

【解析】

【分析】

【详解】

由S n＝n2+n（n∈n*），

当n＝1，a1＝S1＝1+1＝2，

当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n，

当n＝1时，a1＝2×1＝2，成立，

∵a n＝2n（n∈n*），

∴22，

∴2，

故答案为2．

15．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2?bcsinA=a2因此

ACAB+ABAC+BC2AB?AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c

解析：

【解析】

试题分析：由题意得，因此

,从而所求最大值是

考点：正余弦定理、面积公式

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具

即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

16．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43

【解析】 【分析】

根据条件可得1cos 3

ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.

【详解】

设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，

由21cos 12sin 23

ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23

a c x ABC ac +-∠==， 所以222

2163

x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 2222

2262x x =2221238x c a =+-， ②

①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥，

故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，

所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，

所以3AB BC +

的最大值为

故答案为：

【点睛】

本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题. 17．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题

解析：{|2020a a >或0}a <

【解析】

【分析】

根据同侧同号列不等式，解得结果.

【详解】

因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以

(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <

【点睛】

本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.

18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解

【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求 解析：【解析】

【分析】

根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解

【详解】

Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，

则有()()31613313926616362S a d S a d ??-=+=????-?=+=??

，解得112a d =??=? 78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=?+?=

故答案为45

【点睛】

本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。

19．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析：94

【解析】

【分析】 变形

14141444x y y x x y x y ????++=+++ ? ?????

之后用基本不等式：求解即可. 【详解】 原式可变形为：()14141914544444

x y y x x y x y ????++=+++≥+= ? ????? 当且仅当43x =，83

y =时取等． 故答案为：94

【点睛】

本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则

解析：5【解析】

由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=,

得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2

S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-,

即有41612ab S =-, 由22422a b ab +??≤ ???,即有16128S -≤,解得23S ≥,

当且仅当a=2b =2时,取得等号,

当a =2,b=1,S 取得最小值23

,

易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,

则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题

21．（1）13

-（2）3

【解析】

【分析】

（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.

（2）由（1）知sin 3

C =，根据ABC ?的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.

【详解】

（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，

由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，

所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，

所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，

所以()sin 3cos 10+=A C ，

因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3

=-C .

（2）由（1）知sin 3C =

，因为ABC ?，

所以1sin 24

?ABC S ab C ==，解得94ab = ，

因为c =ABC ?中，

由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，

所以()29a b +=，

所以3a b +=.

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题

22．（Ⅰ）3n n a =；（Ⅱ）()1121334n n S n +??=-?+?

?. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；

（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n n b n =?，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.

【详解】

（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，

()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L

12323233n n L -=?+?++?+

()1233311n n -=?+++++L

()1123112n +??=?-+????

13n +=

∵13a =，即关系式也成立，

∴数列{}n a 的通项公式3n n a =.

（Ⅱ）由3n n n b na n ==?，

得231323333n n S n =?+?+?++?L ，

而()23413132333133n n n S n n +=?+?+?++-?+?L ，

两式相减，可得

()231233333n n n S n +-=++++-?L

()

111133322n n S n ++??=---????? ∴()1121334n n S n +??=

-?+?

?. 【点睛】 数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

23．（Ⅰ）

6π

；（Ⅱ）2+. 【解析】

分析：（1

2sin cos B B A =．

（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．

cos 2sin cos cos A C B A C A =

()2sin cos A C B A +=

2sin cos B B A =

又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠

，于是cos A =

又A 为三角形内角，所以6A π

=．

（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-

得：22422b c bc =+-≥，

所以(42bc ≤+

，所以1sin 22

S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．

24．（1）见解析（2）1242n n n S -+=-

【解析】

【分析】

（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；

（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ???

???的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ．

【详解】

（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，

所以()1222n n b b ++=+，即1222

n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，

所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．

（2）由（1）得，1232n n b -+=?，

11

332322n n n n n n b --==+?， 所以02111222

n n n n n S ---=+++L 02

22222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --??=-=-

+++ ???L 11111221212

n n n --???- ???=-+- 1242

n n -+=-

． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题.

25．（1）3(1)12n a n n =+-?=+；（2）2101

【解析】

（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．

由已知得()()1114{3615

a d a d a d +=+++=， 解得13{1

a d ==． 所以()112n a a n d n =+-=+．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．

所以()()()()

231012310212223210b b b b +++???+=++++++???++ ()

()2310222212310=+++???+++++???+ ()()10

21211010122

-+?=+- ()112255=-+

112532101=+=．

考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．

26．（Ⅰ）5950（Ⅱ）a

【解析】

【分析】

【详解】 222221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222

B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-? 3sin 5A =

,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+?-?= （2）133sin ,2,sin 25

bc A b A ===

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