初高中衔接教材教案(4)因式分解

分 解 因 式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

我们还能够通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学能够自己去证明．

说明：前面有*的供选用

1．提取公因式法与分组分解法、公式法

例1 分解因式：

（1）2（y －x ）2+3（x －y ）

（2）mn （m －n ）－m （n －m ）2

222232232

92442456()(1)x y xy

a a

b b a b

x x y xy y a b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）

2．十字相乘法

例2 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）2262x xy y +-

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，能够直接将图1．2－1中的－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4

两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．

（3）由图1．2－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --

*例3 因式分解：（双十字相乘法） 22

2222(1)282143

(2)31092(3)422473x xy y x y x xy y x y x xy y x y +-++---++-+-++-

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法） 若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．

解： （1）令221x x +-=0

，则解得11x =-

21x =-，

∴221x x +-

=(1(1x x ????----????

=(11x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0

，则解得1(2x y =-+

，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-

=[2(1][2(1]x y x y +-+．

练 习

1．选择题： －1 1 x y

图1．2－5

（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

（2）若212

x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213

m （D ）2116m 2．填空：

（1）

221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；

(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 3．分解因式：

（1）5（x －y ）3+10（y －x ）

2 ()()22

222c ab a b c +-+（）·

()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322

a a -（）

（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；

（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；

()()4224

22292033710510596a a b b x x x x -+-+--（）（）

*（11）2235294x xy y x y +-++-．

*（12）222456x xy y x y +--+-．

4．在实数范围内因式分解：

（1）253x x -+ ； （2）23x --；

（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．

5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

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