第三章 空间力系-重心形心

§3-5 物体的重心和形心引入： 重力：由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。 方向：总是竖直向下。

第三章 空间力系

当我们用两轮手推车推重物时，只有重物的重心正好与车轮轴线在

同一铅垂面内时，才能比较省力。 起重机用起重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的上方，才能使起 吊过程中保持物体的平衡稳定。

机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引 起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关

系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工 程技术人员所必备的知识之一。

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重心和形心的概念重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。 对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。 形心 物体几何形状的中心点称为形心。

均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上

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1)重心坐标的一般计算公式如图所示,设物体重力作用点的坐标为G(xc,yc,zc), 得物体的重心坐标公式为xC

yC

zC

G x G x G G G y G y G G G z G z G Gi i i i i i i i i i i i i i

i

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2)物体均质时重心坐标的计算公式 对于均质物体，若用ρ表示其密度，△V表示微体积，则得

物体的重心坐标公式为

xC

x V i

i

V

V

xdVV

yC

y V i

i

V

V

ydVV

zC

z V i

i

V

V

zdVV

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3)物体均质薄板时重心坐标的计算公式(即平面图形 的形心)xc

A x ; A

记Sy=∑xi△Ai= xcA,则Sy称为图形对y 轴的静矩 Sx=∑yi△Ai= ∑yi△Ai= ycA,Sx称为图 形对x轴的静矩 结论 ： 若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩 必为零；反之，若图形对某轴的静矩为零， 则该轴必通过图形的形心。

yc

A y ; A

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二、重心的求法：1、简单几何形状物体的重心(对称法) 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出， 该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中 心上。 简单形状均质物体的重心就是

它的几何形状的形心。

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2、实验法 如物体的形状复杂或质量分布不均匀， A

其重心常由实验来确定。<1>悬挂法 对于形状复杂的薄平板，求 形心位置时，可将板悬挂于任一点A,根据

B

二力平衡公理，板的重力与绳的张力必在同一直线上，故形心一定在铅垂的挂绳延 长线AB上；重复施用上述方法，将板挂于 A

D点，可得DE线。显而易见，平板的重心即为AB和DE的交线C。 C B E第三章 空间力系

D

<2>称重法 称出物体的重量G 固定物体，一端支于固 定点A,另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离l 读出磅秤上的读数FB

G

FB h l G

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3、组合法：(分割法或负面积法)一般针对均质平板物体而言 <1>分割法： 若物体可以划分为形状简单的几个部分，每个部分的面积 和重心位置都属已知，则整个物体的重心易于求得。

Ai xi xC Ai

Ai yi yC Ai

<2>负面积法： 方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。

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例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图， 求：该截面的形心位置。

解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，取Oxy直角坐标系，如图x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , A1 3.0 cm2

A1

A2

A3

x2 0.5 cm ,x3 1.5 cm ,xC

y2 3.0 cm ,y3 0.5 cm ,

A2 4.0 cm2

A3 3.0 cm2

A x Ai

i i

3 ( 1.5) 4 0.5 3 1.5 0.2 cm 3 4 3i

yC

A y A

3 (4.5) 4 3 3 0.5 2.7 cm 3 4 3

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例2 试求图示平面图形的形心位置(单位：mm)。

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解：该题可用两种方法求解

(1)分割法如图所示将该图形分解成两个矩形I和II, 它们的形心位置分别为C 1(xl,yl)、 C2 (x2,y2)。其面积分别为A1和A2。得 x1=10mm , y1=10mm , A1=20 × 44=880mm2 x2=20mm , y2=8mm , A2=16 × 40=640mm2

则有：

xC yC

x A A x A x 14.21mm A A A y A A y A y 25.37mm A A Ai i 1 1 2 2 2 i 1 i i 1 1 2 2 i 1 2

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(2)负面积法将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩 形II。它们的形心位置分别为C 1(xl,yl)、 C2 (x2,y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知， x1=20mm , y1=30mm , A1=40 × 60=2400mm2

x2=30mm , y2=38mm , A2=20 × 44=880mm2则有：

xCyC

yA Ai i

x A Ai ii

i

A1 x1 A2 x2 14.21mm A1 A2 A1 y1 A2 y2 25.37mm A1 A2

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