专题练习轴对称和中心对称

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全国2011年中考数学试题分类解析汇编（100套上）

专题43：轴对称和中心对称

一、选择题

1. （北京4分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是

A、等边三角形

B、平行四边形 C、梯形

D、矩形

【答案】D。

【考点】中心对称和轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。从而有A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B、是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确。故选D。 2.（天津3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是

【答案】A。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形的定义，直接得出结果。

3.（天津3分）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为

(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 【答案】C。

【考点】折叠对称，正方形的性质。

【分析】根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。故选C。 4.（重庆４分）下列图形中，是中心对称图形的是

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【答案】B。

【考点】中心对称图形。

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。据此判断；A、C、D、将图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕中心旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；故选B。

5.（重庆４分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是

A、1

B、2 C、3

D、4

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】①正确：因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；

②正确：因为EF=DE=错误！未找到引用源。CD=2，设BG=FG=错误！未找到引用源。，则CG=6

﹣错误！未找到引用源。．在直角△ECG中，由勾股定理得错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用

源。=3．所以BG=3=6﹣3=GC；

③正确；因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又

∠AGB=∠AGF

，

∠AGB+∠AGF=180°

﹣

∠FGC=∠GFC+∠GCF

，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

④错误：过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴

错误！未找到引用源。，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴错误！未找到引用源。，∴FH=错误！未找到引用源。。

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=错误！未找到引用源。。故选C。

6.（浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若

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DE=2，则正方形ABCD的边长是

A、3

B、4

C、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

D、错误！未找到引用源。

【答案】

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，切线的性质，勾股定理。 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，DE=2， EH=DH=错误！未找到引用源。=AE，所以AD=AE+DE=错误！未找

到引用源。。故选C。

7.（浙江义乌3分）下列图形中，中心对称图形有

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，结合各图的特点即可求解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形，中心对称图形有3个。 故选B。

8.（浙江省3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【答案】D。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。A.是轴对称图形不是中心对称图形，选项错误；B.是中心

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对称图形不是轴对称图形，选项错误；C. 是中心对称图形不是轴对称图形，选项错误；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确。故选D。

9.（浙江省3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21 【答案】B。

【考点】折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据勾股定理可求出AB=10，由折叠对称的性质，知BD=AD=5。由相似三角形的判定知△BDE∽△ACB，从而得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，得ED=错误！未找到引用源。。在Rt△EBD和Rt△EBC中，由勾股定理，得BE2=ED2＋BD2，BE2=BC2＋CE2，即ED2＋BD2= BC2＋CE，所以CE=（错误！未找到引用源。）＋5－6=错误！未找到引用源。，从而CE=错误！未找到引用源。。因此，S△BCE：S△BDE=错误！未找到引用源。·BC·CE：错误！未找到引用源。·BD·ED=6×错误！未找到引用源。：5×错误！未找到引用源。=14:25。故选B。 10.（辽宁沈阳4分）下列图形是中心对称图形的是

2

2

2

2

2

【答案】D。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的定义，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的只有D，而A、B、C都不是。故选D。

11.（吉林省3分）如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“错误！未找到引用源。”的图形，将纸片展开，得到的图形是

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【答案】D。

【考点】折叠，轴对称。

【分析】根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要B，D两项中选择；从剪去的如“错误！未找到引用源。”的图形方向看箭头朝外。故选D。 12.（黑龙江哈尔滨3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

(A) (B) (C) (D)

【答案】D。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，A项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误，C项既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本项错误，D项是中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确。故选D。

13.（黑龙江龙东五市3分）下列QQ标识图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A、①③⑤ B、③④⑤ C、②⑥ D、④⑤⑥

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【答案】D。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】中心对称图形是旋转180°后能够与原图形完全重合的图形；轴对称图形是两部分沿对称轴折叠后可重合的图形。从而得：

①此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； ②此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误； ③此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误； ④此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； ⑤此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； ⑥此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； 故答案为：④⑤⑥正确。故选D。

14.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【答案】B。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误。故选B。

15.（黑龙江牡丹江3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B。

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【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。根据轴对称图形与中心对称图形的概念得，第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第二个图形和第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个。故选B。

16.（广西桂林3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是

【答案】C。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断： A．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；D：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误。故选C。

17.（广西北海3分）下列四个图形中，是轴对称图形的有

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此所给图形中②③是轴对称图形。故选B。

18.（广西柳州3分）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是

A．三角形 【答案】D。

【考点】轴对称图形。

B．四边形

C．五边形

D．正六边形

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【分析】根据轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合的定义，只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部能够完全重合，是轴对称图形。故选D。

19.（广西玉林、防城港3分）下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有

A、4个

【答案】C。

【考点】轴对称和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此得：

第①个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 第②个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 第③个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 第④个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意。 所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有③④两个。故选C。

20.（湖南郴州3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

B、3个

C、2个

D、1个

【答案】C。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。A、不是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，本选项错误。故选C。 21.（湖南衡阳3分）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是

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【答案】D。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此：A、B、C都是中心对称图形；D不是中心对称图形。故选D。

22.（湖南益阳4分）小华将一张如图所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是 ．．

【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，分析各图形的特征求解： A、只是中心对称图形，不是轴对称图形，B、C、D都轴对称图形。故选A。 23.（湖南邵阳3分）下列图形不是轴对称图形的是 ．．．

【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。A．是轴对称图形；故此选项正确；B．是轴对称图形；故此选项正确；C．是中心对称图形，不是轴对称图形；故此选项错误；D．是轴对称图形；故此选项正确。故选C。

24.（湖南岳阳3分）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是

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A、上海自来水来自海上 C、清水池里池水清

B、有志者事竞成

D、蜜蜂酿蜂蜜

【答案】B。

【考点】生活中的对称现象。

【分析】根据四个选项的特点，分析出与其它三个不同的即为正确选项：A、上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；B、有志者事竞成，五字均不相同，所以不对称，故本选项正确；C、清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误； D、蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误。故选B。 25.（海南3分）正方形是轴对称图形，它的对称轴共有

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

【答案】D。

【考点】正方形的性质，轴对称图形。

【分析】正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，因此正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条。故选D。

26.（江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 ①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是

A、①②都对

B、①②都错 C、①对②错

D、①错②对

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，菱形的判定和性质。

【分析】∵平行四边形ABCD，∴∠B=∠D=∠AMN，∴MN∥BC。∵AM=DA，∴四边形AMND为菱形， ∴MN=AM。故选A。

27.（江苏南通3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A．

【答案】C。

B． C． D．

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【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。可知A是中心对称图形而不是轴对称图形；B也是中心对称图形而不是轴对称图形；C既是轴对称图形又是中心对称图形，它有四条对称轴，分别是连接三个小圆线段所在的水平和竖直直线，这水平和竖直直线之间的两条角平分线；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形。故选C。

28.（江苏淮安3分）下列交通标志是轴对称图形的是

【答案】D。

【考点】轴对称图形。

【分析】轴对称图形定义：轴对称图形是把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据这一定义可直接得出结果。故选D。

29. (江苏无锡3分) 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是 ．．．

【答案】D。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称的定义，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，得出A、B、C选项都关于正方形的某条对角线对称。故选D。

30.（山东菏泽3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A

A B C D

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与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为

A、6

B、3 C、2错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

D、错误！未

找到引用源。错误！未找到引用源。 【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，三角函数。

【分析】由已知易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中用三角函数解直角三角形求解．∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=错误！未找到引用源。。∴∠A=30°，∠CBA=60°。根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=错误！未找到引用源。∠CBA=30°。∴CE=BCtan30°=错误！未找到引用源。∴DE=2CE=2错误！未找到引用源。。故选C。

31.（山东潍坊3分）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形,其中不是轴对称图形的是． ．．

A. B. C. D.

【答案】D。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案：作出A、B、C的对称轴如图

故选D。

32．（山东济宁3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是

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A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm

【答案】 A。 【考点】折叠的性质。

【分析】根据折叠的性质，AE=CE=4，AD=CD，∴AC=8。

∴△ABD的周长=AB＋BD＋AD=AB＋BD＋CD=AB＋BC=△ABC的周长=AC=30－8=22。故选A。 33.（山东泰安3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为

A、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

B、错误！未找到引

用源。错误！未找到引用源。 C、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。 【分析】根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论：

∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC＝CO，∠ACE＝∠BCE。 又∵O是矩形ABCD的中心，AC＝2BC＝2×3＝6。

∴在Rt△ABC中，sin∠CAB＝错误！未找到引用源。。∴∠CAB＝300。∴∠ACB＝600，∠BCE

＝300。

∴在Rt△CBE中，CE＝错误！未找到引用源。。故选A。

34.（山东青岛3分）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

D、6

【答案】D。

【考点】轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，旋转前后的图形互相重合的图形叫做中心对称图形，只有D图形同时满足这两点。故选D。 35.（山东枣庄3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

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【答案】B。

【考点】轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，直接得出结果：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，故A选项错误；B．是中心对称图形也是轴对称图形，故B选项正确；C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故C选项错误；D．是中心对称图形但不是轴对称图形，故D选项错误。故选B。

36.（广东广州3分）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是

A、 B、 C、 D、

【答案】D。

【考点】轴对称的性质。

【分析】细观察图形特点，利用对称性与排除法求解：根据对称性可知，答案A，B都不是轴对称，可以排除；由第三个图可知，两个短边正对着对称轴AB，故排除C。故选D。 37.（广东河源3分）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.等边三角形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.菱形

【答案】D。

【考点】轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等边三角形和等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。故选D。 38.（广东湛江3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A、直角三角形 B、 正五边形 C、正方形 D、等腰梯形

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【答案】C。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形和轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合即是做轴对称图形，即可判断出：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误。故选C。

39．（河北省3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为

A、错误！未找到引用源。

B、2

C、3

D、4

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠EDA=∠EDA′=90°，AE=A′E，

∴△ACB∽△AED。 ∴错误！未找到引用源。。

又∵A′为CE的中点，∴AE=A′E=A′C。∴错误！未找到引用源。。∴ED=2。 故选B。 二、填空题

1．（重庆潼南4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是 ▲ cm． 【答案】5。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。因此可得出结论：

∵△BDE是△BDC翻折而成，∠C=90°，∴△BDE≌△BDC。∴DE⊥AB，DE=CD， ∵DC=5cm，∴DE=5cm。

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2.（浙江绍兴5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长 之比为 ▲

【答案】

：2。

【考点】剪纸问题，翻折变换（折叠问题）。

【分析】作OB⊥AD，根据已知可以画出图形，∵根据折叠方式可得：AB=AD，CD=CE，∠OAB=60°，AO等于正六边形的边长， ∴∠BOA=30°，∴2AB=AO，

错误！未找到引用源。 =tan60°=

，∴BO：AM= ：2。

2.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为错误！

未找到引用源。．在错误！未找到引用源。轴上取一点P，过点P作直线OA

的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′． （1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 ▲ ；

（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 ▲ ． 【答案】（4，0），4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4。

【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，

∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，

线段OB经轴对称变换后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。 ∵B（2，0），∴BO=BP′=2。∴点P的坐标是（4，0）。

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。 ∴OM=错误！未找到引用源。t，OO′=t。

过O′作O′N⊥错误！未找到引用源。轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=错误！未找到引用源。t，NO′=

错误！未找到引用源。t。∴O′（错误！未找到引用源。t，错误！未找到引用源。t）。

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同法可求B′的坐标是（错误！未找到引用源。），

设直线O′B′的解析式是错误！未找到引用源。，将O′、B′的坐标代入，得

?13t?tk?b??22，解得：错误！未找到引用源。。 ??t?2k?b?3t?23??2∴错误！未找到引用源。。

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=2错误！未找到引用源。，

∴A（2，2错误！未找到引用源。），代入反比例函数的解析式得：错误！未找到引用源。=4错误！

未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，代入上式整理得：（2错误！未找到引用源。t﹣8错误！未找到引用源。）

错误！未找到引用源。+（﹣错误！未找到引用源。t+6错误！未找到引用源。t）错误！未找到引用源。﹣

2

2

4错误！未找到引用源。=0，

△ =（﹣错误！未找到引用源。t+6错误！未找到引用源。t）﹣4（2错误！未找到引用源。t﹣8

错误！未找到引用源。）?（﹣4错误！未找到引用源。）≥0，

2

2

解得：t≤2错误！未找到引用源。或t≥﹣2错误！未找到引用源。。 ∵当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。

∴4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4。

3.（浙江台州5分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直 线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80o， 则∠CGE＝ ▲ ． 【答案】80°。

【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】由翻折可得∠B1=∠B=60°，∴∠A=∠B1=60°。

∵∠AFD=∠GFB1，∴△ADF∽△B1GF。∴∠ADF=∠B1GF， ∵∠CGE=∠FGB1，∴∠CGE=∠ADF=80°。

4.（广西贺州3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶 点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是_ ▲ ．

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【答案】60o。

【考点】折叠对称，锐角三角函数的应用，特殊角的三角函数，矩形的性质，平行的性质，平角定义，三角形内角和定理。

【分析】由折叠对称可知，DF＝BF＝4，∠BFE＝∠DFE。在Rt△CDF中，FC＝2, DF＝4，cos∠DFC＝错

误！未找到引用源。，

∴∠DFC＝60o。∴由平角定义得∠DFE＝60o。又由矩形得AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝60o。∴由三角形内角和定理可得∠DEF＝60o。

5.（广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四 边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_ ▲ cm2． 【答案】错误！未找到引用源。。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数。 【分析】如图，作BE⊥AD，DF⊥AB，垂足分别为点E、F，由于两长方形是等宽的，从而根据AAS知△ABE≌△ADF，得到AB＝AD＝6。由∠ABC＝60°，BE⊥AD，得∠ABE＝30°，因此BE＝AB·cos∠ABE＝错误！未找到引用源。,从而四边形ABCD的面积等于AD ·BE＝错误！未找到引用源。。

6.（广西钦州3分）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机 抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 _ ▲ ．

3【答案】。

4

【考点】中心对称图形，概率。

【分析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，所给图形①、②、④是中心对称图形。据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数4；②符合条件的情况数目3；二者的比值就是其发3

生的概率。故所求概率是。

4

7.（湖南永州3分）永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史，因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑，

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而申报为中国历史文化名村．如图是龙家大院的一个窗花图案，它具有很好的对称美，这个图案是由：①正六边形；②正三角形；③等腰梯形；④直角梯形等几何图形构成，在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ▲ (只填序号)． 【答案】①。

【考点】中心对称和轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此①六边形既是轴对称图形又是中心对称图形；②正三角形③等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形；④直角梯形既不是轴对称图形也不是中心对称图形。 8.（湖南衡阳3分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ▲ ． 【答案】7。

【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理。

【分析】根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，从而求出△ABE的周长：

∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=错误！未找到引用源。。 ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE，∴AE＋BE=BC=4。 ∴△ABE的周长=AB＋BC=3＋4=7。

9.（湖南怀化3分）如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A'B'C'关于直线错误！

未找到引用源。对称，则∠B= ▲

【答案】90°。

【考点】轴对称的性质，三角形内角和定理。

【分析】∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=60°，∵∠A=30°，∴∠B=180°－∠A－∠C=180°－30°－60°=90°。 10.（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在

BC

上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合， 则AC＝ ▲ cm．

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【答案】4。

【考点】矩形的性质，折叠对称的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，300角直角三角形的性质。 【分析】由矩形性质知，∠B＝90，又由折叠知∠BAC＝∠EAC。根据等腰三角形等边对等角的性质，由 AE＝CE得∠EAC＝∠ECA。而根据直角三角形两锐角互余的性质，可以得到∠ECA＝300。因此根据300 角直角三角形中，300角所对直角边是斜边一半的性质有，Rt?ABC中AC＝2AB＝4。 11.（山东滨州4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED的大小是 ▲ ． 【答案】62°。

【考点】翻折变换（折叠问题），平角定义。

【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数：∵∠CED′＝56°，∴∠DED′＝180°－∠56°＝124°。 又∵∠AED＝∠AED′，∴∠AED＝错误！未找到引用源。∠DED′＝62°。 三、解答题

1.（重庆江津4分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ▲ ．

【答案】（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）。

【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解方程。 【分析】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，垂足为F。

∵由折叠对称，知AB=AE，∠BAC=∠EAC， ∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高。 ∴EG=GB，EB=2EG，

∵△ABC∽△AGB，∴错误！未找到引用源。。 ∴错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。。

设E（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），则有：AF=

错误！未找到引用源。，BF=8－错误！未找到引用源。，EF=错误！未找到引用源。，BE=错误！未找到引用源。，AE=8。

0

由勾股定理，得AE2=AF2＋EF2，BE2=BF2＋EF2，两式相减，得AE2－BE2= AF2－BF2即：

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82－（错误！未找到引用源。）2=错误！未找到引用源。2－（8－错误！未找到引用源。）2，解得，错

误！未找到引用源。，代入AE=AF＋EF，可得错误！未找到引用源。。

2

2

2

3.（浙江宁波6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经 过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴 影．（注：所画的三个图不能重复）

【答案】解：

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可。 4.（辽宁大连11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线错误！未找到

引用源。＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线错误！未找到引用源。＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．

⑴点B关于直线错误！未找到引用源。＝t的对称点B′的坐标为________； ⑵求S与t的函数关系式．

【答案】解：（1）（2错误！未找到引用源。＋1，0）。

⑵①如图1，点B′在点C的左侧时，2错误！未找到引用源。＋1

＜4，解得，错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。。

当0＜错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。时，设点A

关于直线错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。的对称点A′，A′B′与AC交于点D ，过点D作DE⊥X轴，垂足为E。则PC＝4－错误！未找到引用源。，B′C＝4－（2错误！未找到引用源。＋1）＝3－2错误！

未找到引用源。。

设直线AC的解析式为错误！未找到引用源。，则由点A、B的坐标分别为（0，2）、（－1，0）

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可得

错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。。∴直线AC的解析式为错误！未找到引用

源。。

∴QP＝错误！未找到引用源。。

设点D 的坐标为（错误！未找到引用源。），则DE＝错误！未找到引用源。，E B′＝2错误！

未找到引用源。＋1－错误！未找到引用源。。

由对称性可知，∠ABO＝∠D B′E，又∵∠AOB＝∠D E B′，∴△ABO∽△D B′E。 ∴错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。。 ∴DE＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。。

错误！未找到引用源。

②当错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。＜4时，点B′在点C的右侧或与点C重合（如

图2），

由①得PC＝4－错误！未找到引用源。，QP＝错误！未找到引

用源。

错误！未找到引用源。

∴综合①②，S＝错误！未找到引用源。。

【考点】相似三角形的判定和性质，对称的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据点B和B′关于错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。对称，则设B′横坐标为错

误！未找到引用源。，根据B、B′的横坐标之和的一半为对称轴即可解答：设B′横坐标为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。＝2错误！未找到引用源。＋1。故B′点坐标为

（2错误！未找到引用源。＋1，0）。

（2）根据0＜错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。时和错误！未找到引用源。≤错误！未

找到引用源。＜4时图形的不同，分两种情况得出重合图形的面积表达式，即为S与错误！未找到引用源。

的表达式。

5．（辽宁丹东8分）每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形， 梯形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．

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（1）在平面直角坐标系中画出梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形错误！未找到引用源。； （2）点P是y轴上一个动点，请直接写出所有满足△POA是等腰三角形的动点P的坐标． 【答案】解：（1）如图：

（2）满足△P0A是等腰三角形的动点P的坐标为： P1（0，5），P2（0，－5）.P3（0， 错误！未找到引用

源。），P4（0，8）。

【考点】轴对称变换的作图，勾股定理,等腰三角形的性质。 【分析】（1）由梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形AB1C1D，即可在直角坐标系中画出梯形AB1C1D。

（2）分为OP＝OA，PA＝PO与OA＝AP三种情况去分析: ①当OP＝OA＝错误！未找到引用源。时，可得P1（0，5），P2

（0，－5）。

②当PA＝PO时，设点P（0，错误！未找到引用源。），∴错误！

未找到引用源。＝9＋（4－错误！未找到引用源。），

2

2

解得：错误！未找到引用源。，∴P3（0，错误！未找到引用源。）。 ③当OA＝AP时，设点P（0，b），∴9＋（4－b）2＝25， 解得：b=8或b=0（舍去）,∴P4（0，8）。

∴满足△P0A是等腰三角形的动点P的坐标为：（0，5），（0，－5），（0，错误！未找到引用源。），（0，8）。

6.（吉林省6分）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其 中三个格点为顶点一画出错误！未找到引用源。ABC,请你以选取的格点为顶点再

画出一个三角形，

且分别满足下列条件：

（1） 图①中所画的三角形与错误！未找到引用源。ABC组成的图形是轴对称

图形。

（2） 图②中所画的三角形与错误！未找到引用源。ABC组成的图形是中心对称图形。 （3） 图③中所画的三角形与错误！未找到引用源。ABC的面积相等，但不全等。

CAB

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CABABCABC

图① 图② 图③

【答案】解：（1）如图①；（2）如图②；（3）如图③。

图① 图② 图③

【考点】轴对称图形和中心对称图形，三角形等积问题。

【分析】（1）轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，故以AB所在直线为对称轴，可作如图①的图形，还可以作出如图④的图形。

（2）中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，故以AB的中点为对称中心，可

作如图②的图形（平行四边形）。

（3）只要所作三角形与△ABC等底等高即可，可作如图③的图形，还可以作出如图⑤⑥的图形。

图④ 图⑤ 图⑥

7.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

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(1)求∠DA1E的大小； (2)求△A1BE的面积．

【答案】解：（1）由翻折得Rt△ABE≌Rt△A1BE，

则在Rt△A1BE中，A1B=2，BC=1。

∴由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。。 又错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。。 （2）设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。

在Rt△A1DE中，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。 得错误！未找到引

用源。。

在Rt△A1BE中，错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，锐角三角函数，矩形的性质。

【分析】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E的度数；

（2）设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，在Rt△A′DE中，利用错误！未找到引用

源。可求出错误！未找到引用源。的值，在根据Rt△A′BE中，A1B=AB，利用三角形的面积公式即可求解。

8.（湖南张家界6分）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.

【答案】解： 画图如下（画法很多）：

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【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可。

9.（山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为错误！未找到引用源。轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？

(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 【答案】解：（1）作点B关于错误！未找到引用源。轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，－7）。

设直线AE的函数关系式为错误！未找到引用源。，则

错误！未找到引用源。，解得 错误！未找到引用源。 。 ∴当错误！未找到引用源。=0时， 错误！未找到引用源。=5。 所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。 （2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交错误！

未找到引用源。轴于点G，设点G的坐标为（错误！未找到引用源。，0）。

在Rt△AGD中，AG=AD＋DG=3＋(错误！未找到引用

源。－2)

2

2

2

2

2

在Rt△BCG中，BG2=BC2＋GC2=72＋(12－错误！未找到

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引用源。)2

∵AG=BG， ∴32＋(错误！未找到引用源。－2)2=72＋(12－错误！未找到引用源。)2 ， 解

得 错误！未找到引用源。=9。

所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。

【考点】对称的性质，两点之间距离的性质，点的坐标与方程的关系，待定系数法，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】（1）由两点之间线段最短的性质，利用对称的性质，作点B关于错误！未找到引用源。轴的对成点E，连接AE，则AE与错误！未找到引用源。轴的交点即为所求。根据点在直线上，点的的坐标满足方程的关系，设定直线AE：错误！未找到引用源。，由点A，E在直线上，则点A，E的坐标满足错误！未找到引用源。，从而得方程组，解之求得直线方程，再令错误！未找到引用源。=0，即可求得。

（2）要使到张村、李村的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，只

要作线段AB的垂直平分线GF，则垂直平分线GF与线段AB的交点即为所求。在Rt△AGD和Rt△BCG中，分别应用勾股定理，联立得到方程，解之即得。

10.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90o，∠C=30o．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8． （1）求∠BDF的度数； （2）求AB的长．

【答案】解：（1）∵BF=CF，∠C=30o，∴∠CBF=∠C=30o。 又∵?BEF是?BCF经折叠后得到的， ∴?BEF≌?BCF。∴∠EBF=∠CBF=30o。

又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60o，∴∠BDF=1800—∠DFB—∠EBF=90o。 ∴∠BDF的度数是 90o。 （2）在Rt?BDF中，∠DBF=30o，BF=8， ∴错误！未找到引用源。。

在Rt?ABD中，∠ABD=90—∠EBF—∠CBF=30o，错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。。 ∴AB的长是6。

【考点】折叠对称的性质，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数值。

0

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【分析】（1）要求∠BDF的度数，由三角形内角和定理只要求出∠DFB和∠DBF即可，而∠DFB和∠DBF都可以由已知的∠C和折叠对称以及三角形外角定理求得。 （2）由（1）的结论，解Rt?BDF和Rt?BD即可求得。 11.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.

（1）求证：AG=C′G；

（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长. 【答案】解：（1）证明：由对折和图形的对称性可知， CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°。

在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝C′D，∠A＝∠C′。 在△ABG和△C’DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ， ∴△ABG≌△C′DG（AAS）。 ∴AG＝C′G。

（2）如图2，设EM＝x，AG＝y，则有： C′G＝y，DG＝8－y， DM=错误！未找到引用源。AD=4 。 在Rt△C’DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6， ∴错误！未找到引用源。。

即：错误！未找到引用源。。 解得： 错误！未找到引用源。。∴C′G＝错误！未找到引用源。，DG＝错误！未找到引用源。。

又∵△DME∽△DC′G，∴错误！未找到引用源。， 即：错误！未找到引用源。， 解得：错误！

未找到引用源。。

即：EM＝错误！未找到引用源。。

∴所求的EM长为错误！未找到引用源。cm。

【考点】轴对称的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）要证AG=C′G，只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴对称性易证△ABG≌△C’DG。

（2）考虑Rt△DME和Rt△DC′G。△DC’G中DC′（=6）已知，DG=AD（=8）－AG，

而由（1）AG=C′G，从而应用勾股定理可求得C′G。而△DME中DM=DM=错误！未找到引用源。AD=4，从而由Rt△DME∽Rt△DC′G得到对应边的比相等可求EM的长。

12.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为错误！未找到引用源。．在错误！未找到引用源。轴上取一点P，过点

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P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．

（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 ▲ ；

（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 ▲ ． 【答案】（4，0），4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4。

【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，

∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，

线段OB经轴对称变换后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。 ∵B（2，0），∴BO=BP′=2。∴点P的坐标是（4，0）。

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。 ∴OM=错误！未找到引用源。t，OO′=t。

过O′作O′N⊥错误！未找到引用源。轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=错误！未找到引用源。t，NO′=

错误！未找到引用源。t。∴O′（错误！未找到引用源。t，错误！未找到引用源。t）。

同法可求B′的坐标是（错误！未找到引用源。），

设直线O′B′的解析式是错误！未找到引用源。，将O′、B′的坐标代入，得

?13t?tk?b??22，解得：错误！未找到引用源。。 ??t?2k?b?3t?23??2∴错误！未找到引用源。。

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=2错误！未找到引用源。，

∴A（2，2错误！未找到引用源。），代入反比例函数的解析式得：错误！未找到引用源。=4错误！

未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，代入上式整理得：（2错误！未找到引用源。t﹣8错误！未找到引用源。）

错误！未找到引用源。+（﹣错误！未找到引用源。t+6错误！未找到引用源。t）错误！未找到引用源。﹣

2

2

4错误！未找到引用源。=0，

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△ =（﹣错误！未找到引用源。t2+6错误！未找到引用源。t）2﹣4（2错误！未找到引用源。t﹣8

错误！未找到引用源。）?（﹣4错误！未找到引用源。）≥0，

解得：t≤2错误！未找到引用源。或t≥﹣2错误！未找到引用源。。 ∵当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。

∴4≤t≤2错误！未找到引用源。或﹣2错误！未找到引用源。≤t≤4。

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