直线与圆锥曲线位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的几种常见题型

（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:

设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:

（4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】

1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。

x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆

164_________。

4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.

5、等轴双曲线C：x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。

6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。 7、已知圆M：(x?cos?)2?(y?sin?)2?1，直线l：y?kx，下列四个命题：

A、对任意实数k与?，直线l和圆M相切 B、对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点

C、对任意实数?，必存在对实数k，使得直线l和圆M相切 D、对任意实数k，必存在实数?，使得直线l和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题）

【例题分析】

例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程;

(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;

(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.

1

例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

?????????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

例3、已知点E、F的坐标分别是??2,0?、?2,0?，直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为?（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；

（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为?1,?，试求?MAB面积

的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB。

1。 4?1??2?x2y2例4、设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点

ab3)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (1)设椭圆C上的点(3,2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存

在，并记为kPM,KPN 试探究kPM

2

?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

x2y2例5、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为A,B，且四边形

abF1AF2B是边长为2的正方形。

（1）求椭圆方程；

（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：

OM?OP为定值；

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

??解：

例6、 设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.

（1）若?是关于t的一元二次方程t?2t?m?0（m?R）的一个虚根，且|?|?2，求实数m的值；

（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数

?23y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）

2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于求实数x0的取值范围.

3

23，3

【课后练习】

x221.若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,

a????????则OP?FP的取值范围为__________________。

2.若直线y=x+b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是________________。

?x2y23.设椭圆方程为2?2?1?a?0,b?0?，且a?2b．过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆

3ab交于两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2??

12，求椭圆的方程． 7x2y24、已知F1,F2为椭圆C:2?2?1,?a?b?0?的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线

abMF2交椭圆于M，设MF2?d .

（1）证明：d,b,a 成等比数列； （2）若M的坐标为

?2,1，求椭圆C的方程；

?????????（3）[文科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA?OB?0，求直线l的方

程．

[理科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得

????????????OP?OA?OB，求直线l的方程．

4

5．设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x2上，l是AB的垂直平分线， （1）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。 解：

6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a,?4)(a?0)到焦点F的距离为5。 （1）求抛物线的方程与实数a的值；

（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。 解：

7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为0,22. (I).求椭圆E 的标准方程

1

(II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= — 平分，求直线l的倾斜角

2α的取值范围。 解：

5

??

8．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(p,0)作直线与抛物线y2?2px(p?0)相交于A,B两点，设动点A(x1,y1)、B(x2,y2)。 (1)求证：y1y2为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求?ADB面积的最小值；

(3)是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。

9. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之

x2?y2?1。 为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：4（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；

（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)（如右图），求xE?xF的值；

O N M P F E x x2y2（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为2?2?1(a?b?0)，MN是任意一条垂直于

abx轴

的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线

x2y2?2?1(a?0,b?0)中相类似的结论，并证明你的结论。 2ab

6

复习专题二

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容，除在客观题中考查外，解答题对解析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是：

1．掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称等）的基本方法。 2．能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型

（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定；

（2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法 （4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】

1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。2x?y?1?0 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。 充分不必要

条件

x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆

164_________。x?4y?5?0

4、直线y?x?3与抛物线y?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.48

5、等轴双曲线C：x?y?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。???,0???1,???

6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。4 7、已知圆M：(x?cos?)?(y?sin?)?1，直线l：y?kx，下列四个命题：

A、对任意实数k与?，直线l和圆M相切 B、对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点

C、对任意实数?，必存在对实数k，使得直线l和圆M相切 D、对任意实数k，必存在实数?，使得直线l和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题）

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y?2x?1截得的弦长为15，求抛物线方程。

7

22222:设弦端点

y2?12x,y2??4x

【例题分析】

例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程;

(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;

(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.

[解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-

pp,于是4+=5, ∴p=2. 22 ∴抛物线方程为y2=4x.

(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则FA的方程为y= ∴N的坐标(

43;MN⊥FA, ∴kMN=-, 344384(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, 345584,). 55(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m≠4时, 直线AK的方程为y=

4(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 4?m圆心M(0,2)到直线AK的距离d=∴当m>1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.

2m?816?(m?4)2,令d>2,解得m>1

例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

?????????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1.

[来源:学科网]

8

∴ W: x?y2?1 (y?0). …

2(2) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得x?(kx?2)2?1.

2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①

2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2.

222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?2222)?(,??) 22????????（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),

由①得x1?x2??42k2. ②

1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③ ????? 因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).………

????????????? 所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).

将②③代入上式，解得k?2. 2????????????? 所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线.

例3、已知点E、F的坐标分别是??2,0?、?2,0?，直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为?（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；

（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为?1,?，试求?MAB面积

的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB。 解：（1）设P?x,y?为轨迹上的动点，由题意

1。 4?1??2?yy1????x2?4y2?4 x?2x?24x2x22?y?1，?点P的轨迹在椭圆C:?y2?1上；------------4’ 即44（2）解法一：（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，AB?2，此时S?MAB?1----------6’ （Ⅱ）当直线AB不垂直于x轴时，设该直线方程为y?kx，代入椭圆中 得：A、B两点的坐标为：????24k2?1,???， 24k?1?2k 9

则AB?41?k21?4k2---------------------------------------------------8’

k? 又点M到直线AB的距离d?122，------------------------9’

1?k ?S?MAB2k?11-----------------------------------10’ ?AB?d?221?4k4k2?4k?14k ??1?224k?14k?1 ?S?MAB 由

14kk????1，得，等号成立时 S?2?MAB24k2?11 综上，S?MAB的最大值是2，此时kAB??----------------12’

2解法二：?S?MAB?S?OMA?S?OMB，由椭圆的对称性可知A、B两点到直线OM的距离相等，设距离为

d，

于是S?OMA?S?OMB，即S?MAB?2S?OMA?OM?d?5?d， 2 ?当d取道最大值时，S?MAB最大，--------------------------------------------7’ 设直线OM:y? ?d?1x?x?2y?0，椭圆上的点A?x,y?， 22x?2y5x2?4xy?4y24?4xy4?d????1?xy?----------9’

555x2x22?y?xy?xy?1,1??y2??xy?xy??1 ?1?44 ??1?xy?1，当且仅当xy??1时，dmax?28210 ?dmax?55 ??S?MAB??OM?dmax? 而xy??1当且仅当

5210??2， 25x1??y时取得，?此时kAB??------------------ 22x2y2例4、设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点

ab3)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (1)设椭圆C上的点(3,2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程

10

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

232)3(3)2)在椭圆上，2?[解]：（1）由于点(3,?1 ------1分 22ab2a=4, ------2分

(x2y2?1椭圆C的方程为 ?43--------3分

焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分 （2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)--------6分

x2y2?1把K的坐标代入椭圆?43(2x?1)2(2y)2??1中得

43-----8分

12y2线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)??1----------10分

324（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M(x0,y0)N(?x0,?y0),p(x,y) ----11分

x02y02x2y2M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?1，2?2?1------12分

ababkPM?y?y0x?x0KPN?y?y0-------------------13分

x?x0kPMy?y0y?y0y2?y02b2???KPN==?2-----------15分

x?x0x?x0x2?x02a故：kPM?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，-----16分

x2y2例5、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为A,B，且四边

ab形F1AF2B是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程；

（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：OM?OP为定值；

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

x2y2??1。 解：（1）a?2,b?c,a?b?c，?b?2，?椭圆方程为422222????????????????????????4分

11

（2）C(?2,0),D(2,0)，设M(2,y0),P(x1,y1)，则OP?(x1,y1),OM?(2,y0)。 直线CM：

??y1x?2y?y0，即y?0x?y0，???????????6分 ?424y0代入椭圆x2?2y2?4得

2y01212(1?)x2?y0x?y0?4?0。?????????????????8分

822228y04(y0?8)2(y0?8)，。 ?y??x1(?2)?,?x??11222y0?8y0?8y0?822(y0?8)8y0?OP?(?2,2)，??????????????????10分

y0?8y0?8?2224(y0?8)8y04y0?32。 ?OP?OM??2?2?2?4（定值）

y0?8y0?8y0?8??（3）设存在Q(m,0)满足条件，则MQ?DP。

24y08yMQ?(m?2,?y0)，DP?(?2,20)，??????????14分

y0?8y0?8??224y08y0则由MQ?DP?0得 ?2(m?2)?2?0，从而得m?0。

y0?8y0?8???存在Q(0,0)满足条件。??????????????????????16分

例6、设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.

（1）若?是关于t的一元二次方程t?2t?m?0（m?R）的一个虚根，且|?|?2，求实数m的值； （2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数

?23y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）

2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于求实数x0的取值范围.

解：（1）?是方程的一个虚根，则?是方程的另一个虚根，????????????????????2分

则????m?|?|2?4，所以m?4???????????????????????????2分 （2）方法1：①当n为奇数时，??3???3?2a，常数a?(,3)），

23，332x2y2?1；???????????????????????2分 轨迹C1为双曲线，其方程为2?2a9?a

12

②当n为偶数时，??3???3?4a，常数a?(,3)），

32x2y2?1；???????????????????????2分 轨迹C2为椭圆，其方程为2?4a4a2?92?4??1??4a4?45a2?99?0?4a24a2?92依题意得方程组?解得a?3， ??42?a?15a?36?0?4?2?1?a29?a2?3因为?a?3，所以a?3，

2x2y2x2y2??1，??1.???????????????2分 此时轨迹为C1与C2的方程分别是：

36123?|??3|?|??3|?4a?|??3|?3a方法2：依题意得? ????????????????????2分 ??|??3|?|??3|?2a|??3|?a??轨迹为C1与C2都经过点D(2,2)，且点D(2,2)对应的复数??2?2i，

代入上式得a?3，??????????????????????????????????????2分

x2y2??1； 即|??3|?|??3|?23对应的轨迹C1是双曲线，方程为

36x2y2??1.???????????????2分 |??3|?|??3|?43对应的轨迹C2是椭圆，方程为

123x2y2??1，设点A的坐标为?x,y?， （3）由（2）知，轨迹C2：

12312x 4334122，x?[?23,23]???????????????2分 ?x2?2x0x?x0?3?(x?x0)2?3?x04433334124当0?x0?23即0?x0?时，|AB|2min?3?x0??0?x0?5

23333323834?x0?当x0?23即x0?时，|AB|min?|x0?23|?，????????????2分

233383综上 0?x0?5或x0?.????????????????????????????????2分

3则|AB|2?(x?x0)2?y2?(x?x0)2?3?

【课后练习】

x221.若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,

a????????则OP?FP的取值范围为__________________。[3?23,??)

2.若直线y=x+b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是________________。?1?22,3?

???x2y23.设椭圆方程为2?2?1?a?0,b?0?，且a?2b．过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆

3ab

13

12x2交于两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2??，求椭圆的方程．?y2?1

72x2y24．已知F1,F2为椭圆C:2?2?1,?a?b?0?的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线

abMF2交椭圆于M，设MF2?d .

（1）证明：d,b,a 成等比数列； （2）若M的坐标为

?2,1，求椭圆C的方程；

?????????（3）[文科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA?OB?0，求直线l的方

程．

[理科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得

????????????OP?OA?OB，求直线l的方程．

(1)证明：由条件知M点的坐标为?c,y0?，其中y0?d，

c2d2c2b2?2?2?1,d?b?1?2?， ?? 3分 abaa?db?，即d,b,a成等比数列． ?? 4分 ba?b2?a?1(2)由条件知c?2,d?1，??2 ?? 6分 2a?b?2??x2y2?a?2?1 ?? 8分 ???椭圆方程为?42??b?2（3）[文科]设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

????????当l?x轴时，A(?2,?1)、B(?2,1)，所以OA?OB?0． ?? 9分

设直线l的方程为y?k(x?2)，

代入椭圆方程得(1?2k2)x2?42k2x?4k2?4?0．????? 11分

?42k2x?x2??,?2?11?2k????????????????? 13分 所以?2?x?x?4k?412??1?2k2

14

????????由OA?OB?0得x1?x2?y1?y2?0

x1?x2?k2(x1?2)(x2?2)?(1?k2)x1?x2?2k2(x1?x2)?2k2?0

(1?k2)(4k2?4)42k2?2k2代入得??2k2?0，解得k??2． 221?2k1?2k所以直线l的方程为y??2(x?2)． ?? 16分 [理科]设点P（x,y），A(x1,y1)、B(x2,y2)，由 OP?OA?OB，得?当l?x轴时，A(?2,?1)、B(?2,1)，

此时P(?22,0)不在椭圆上． ?? 9分 设直线l的方程为y?k(x?2)，代入椭圆方程得

?????????????x?x1?x2

?y?y1?y2(1?2k2)x2?42k2x?4k2?4?0． ?? 11分

?42k2,?x?x1?x2??2?1?2k所以? ? 13分

2?y?y?y?k(x?x?22)?k(?42k?22)?22k1212?1?2k21?2k2?132k48k22k?把点P（x,y）代入椭圆方程得，解得， ??1222224(1?2k)2(1?2k)所以直线l的方程为y??2(x?2)． ?? 16分 25．设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x2上，l是AB的垂直平分线， （1）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1?0,y2?0,依题意y1,y2不同时为0，

2∴上述条件等价于y1?y2?x12?x2【 ?(x1?x2)(x1?x2)?0;‘

∵x1?x2， ∴上述条件等价于 x1?x2?0.

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即当且仅当x1?x2?0时，l经过抛物线的焦点F.

（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y?2x?b；过点A、B的直线方程可写为y??2所以x1,x2满足方程2x?1x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 241?8m?0, 4

A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式??即m??1. 32设AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则 x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m. 28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???. 1641616323232即得l在y轴上截距的取值范围为（9,??）.

6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a,?4)(a?0)到焦点F的距离为5。 （1）求抛物线的方程与实数a的值；

（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。

解：（1）由抛物线的性质知，M到抛物线准线的距离为5，抛物线开口向下，所以其准线方程为y?1 所求抛物线方程为x2??4y

a2?16，又a?0，所以a?4 4分

（2）F(0,?1),M(4,?4)，若直线l斜率存在，设l:y?kx?1 5分 点M(4,?4)到直线l距离为4，所以|4k?3|k?12?4 7分

解得 k?77x?1 8分 ，则l:y?24247x?1或x?0。 10分 24当直线l斜率不存在时，x?0也满足题意 9分 所以所求直线l方程为：y?（3）设P(x,y)(0?x?4)，由F(0,?1),M(4,?4)，则

16

S?FPM?10?11 12分 24?41xy111|3x?4y?4|?|?x2?3x?4| 2213225| 14分 ＝|?(x?)?22432539因为0?x?4，所以当x?时，△FPM面积最大值为。此时P(,?)。16分

22168 ＝

7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为0,22. (I).求椭圆E 的标准方程

1

(II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= — 平分，求直线l的倾斜角

2

α的取值范围。

??x2y2解 （1） 根据题意可设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，c为半焦距，c?a2?b2 aby2c22a2922?1 ，?a?3,c?22,b?1?x??e??,?9a3c4（2）由题意知，直线的倾斜角不可能为0和

?，?设直线方程为y?kx?m(k?0) 2?y?kx?m?(k2?9)x2?2kmx?m2?9?0，??4k2m2?4(k2?m)(m2?9)?0 ?2y2?1?x?9?即k?m?9?0（1）， 设M(x1,y1),N(x2,y2)，x1?x2?22?2km1MNx??，线段被直线平分 ?k2?921?2km1k2?9??2??，即m?（2） 2k?922k（2）代入（1）解得k?3，即k?3或k??3，

2? 倾斜角的取值范围是{?|?3????2或

?2???2?} 328．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(p,0)作直线与抛物线y?2px(p?0)相交于A,B两点，设动点A(x1,y1)、B(x2,y2)。 (1)求证：y1y2为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求?ADB面积的最小值；

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(3)是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。

解：（1）当直线AB垂直于x轴时，y1?2p,y2??2p，因此y1y2??2p2（定

值）；…………………………………………………………………………………….2分

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y?k(x?p)，

由??y?k(x?p)222得ky?2py?2pk?0,?yy??2p. 122?y?2px因此有y1y2??2p2为定值。…………………………………………………….5分 （2）D(?p,0),?DC?2p.S?ADB?当直线AB垂直于x轴时，S?ADB?1DC?|y1?y2|。…………………….6分 21?2p?22p?22p2；……………….7分 22p,因此当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知 y1?y2?k4p2|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??8p2?22p， 2k2?S?ADB?22p2。……………………………………………………………10分

综上，?ADB面积的最小值为22p2。………………………………………11分 （3）设存在直线l:x?a满足条件。AC中点E(2x1?py1,)，……………12分 22AC?(x1?p)2?y1，因此以AC为直径的圆的半径r?11122AC?(x1?p)2?y1?x1?p2，………………………………….13分 222AC中点E到直线x?a的距离d?|x1?p?a|，…………………………...14分 2?所截弦长为： 2r2?d2?2x?p122(x1?p2)?(1?a)2?x1?p2?(x1?p?2a)2 42??2x1(p?2a)?4pa?4a2，…………………………………………..…16分

x?

p。…………………………………………………………………………….….18分 218

9.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲

x2?y2?1。 线的垂轴弦。已知椭圆C：4（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦求MN的长度；

（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点，求xE?xF的值； E(xE,0)和点F(xF,0)（如右图）

（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为

M P O N F E x MN，

MNx2y2??1(a?b?0)，MN是任意一条垂直于a2b2x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为

x2y2定值？（不需要证明）；请你给出双曲线2?2?1(a?0,b?0)中相类似的结论，并证明你的结论。

ab（1）由条件可知右焦点的坐标为(3,0) ……………. 1分

1x2x?3代入椭圆C的方程?y2?1，得y?? ……. 3分

24所以MN?1 ……………. 4分

（2）设P(x0,y0),M(0,1),N(0,?1), 则lMP:y?1?y0?1?x ……………. 6分 x0?x0……………. 7分 y0?1 令y?0,则xE?x0?x02 同理可得：xF?，?xE?xF?2…………….8分

y0?1y0?1x02x222?y?1上，?y0?1? ?M,P在椭圆C：， 44?x02?x02??4……………. 10分 则xE?xF?1x022(?x0)(1?)?144x2y2 （3）点P是椭圆C：2?2?1(a?b?0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，

ab直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xE?xF?a2。……… 12分

19

x2y2点P是双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，

ab直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xE?xF?a2。……………. 14分

证明如下：设M(m,n),N(m,?n),P(x0,y0) 则 lMP:y?n?y0?n(x?m) x0?mmy0?nx0

y0?n 令y?0,则xE?my0?nx0m2y02?n2x02 同理可得：xF?，?xE?xF?

y0?ny02?n222x2y222m22x0 ?M,P在双曲线C：2?2?1上，?n?b(2?1),y0?b(2?1)，

aaab2x022mmb(2?1)?b(2?1)x02b2(x02?m2)2aa??a 则xE?xF?…. 18分 222xbm(x02?m2)b2(02?1)?b2(2?1)2aaa22

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