2016年北京高考数学（理科）真题试卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1. 已知集合A?xx?2，B???1，0，1，2，3?，则A??B?

（A）?0，1? （B）?0，1，2? （C）??1，0，1? （D）??1，0，1，2?

?2x?y≤0，?2. 若x，y满足?x?y≤3， 则2x?y的最大值为

?x≥0，?（A）0 （C）4

（B）3 （D）5

开始输入ak=0，b=aa=-11+a否k=k+13. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为 （A）1 （C）3

（B）2 （D）4

a=b是输出k4．设a,b是向量，则“a?b”是“a?b?a?b”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

结束（D）既不充分也不必要条件

5．已知x，y?R，且x?y?0，则

（A）

11??0 xyxy （B）sinx?siny?0

?1??1?（C）??????0

?2??2? （D）lnx?lny?0

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

11侧(左)视图1（A）

6（C）

1（B）

3（D）1

正(主)视图111 2俯视图

π???π?7． 将函数y?sin?2x??图象上的点P?，t?向左平移s?s?0?个单位长度得到点P?．若

3???4?P? 位于函数y?sin2x的图象上，则

（A）t?（C）t?1π，s的最小值为

621π，s的最小值为

32

（B）t?（D）t?3π，s的最小值为 263π，s的最小值为 238．袋中装有偶数个数，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球

（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设a?R．若复数(1?i)(a?i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a? 10．在(1?2x)6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）

．

11．在极坐标系中，直线?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于A，B两点，则AB?

．

．

12．已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和．若a1?6，a3?a5?0，则S6? x2y213．双曲线2?2?1(a?0，b?0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，

ab点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a? ?x3?3x，x≤a，14．设函数f(x)??

?2x，x?a.? ．

①若a?0，则f(x)的最大值为 ；

．

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）

在△ABC中，a2?c2?b2?2ac． （Ⅰ） 求∠B的大小；

（Ⅱ） 求2cosA?cosC的最大值．

16．（本小题13分）

A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获

得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 9 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 10.5 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出

的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，

8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为?1，

表格中数据的平均数记为?0，试判断?0和?1的大小．（结论不要求证明）

17．（本小题14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

PPA⊥PD，PA?PD,AB⊥AD，AB?1，AD?2，AC?CD?5．

（Ⅰ） 求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使BM∥平面PCD，若存在，求

DABCAM的值，若不存AP

在，说明理由． 18．（本小题13分）

，f(2处))的切线方程为 设函数f(x)?xea?x?bx．曲线y?f(x)在点(2y?(e?1)x?4．

（Ⅰ）求a, b的值 （Ⅱ）求f(x)的单调区间.

19．（本小题14分）

3x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为．A(a，0)，B(0，b)，

2abO(0，0),△AOB 的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：AN?BM为定值．

20. （本小题13分）

…，aN?N≥2?，如果对小于n?2≤n≤N?的每个正整数k都有设数列A:a1，a2，ak?an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G?A?是数列A的所有“G时刻”组成的

集合．

（Ⅰ）对数列A:?2，2，?1，1，3．写出G?A?的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A存在an使得an?a1，则G?A???； （Ⅲ）证明：若数列A满足an?an?1≤1（n?2,3,N），则G?A?的元素个数不小于aN?a1.

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