合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版

合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习 题

2.1用单位脉冲序列?(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 2.1x(n)??(n?4)?2?(n?2)??(n?1)??(n)??(n?1)

?2?(n?2)?4?(n?3)?0.5?(n?4)?2?(n?6)

2.2 请画出下列离散信号的波形。

?1?（1）??u(n)

?2?（2）(?2)u(n) （3）2n?1nnu(n?1)

（4）u(n?1)?u(n?5)

答案略

2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）x(n)?Acos(（2）x(n)?e2.3 （1）

3??n?)，A是常数； 78。

1j(n??)82??0?14，所以周期为14。 3（2）

2??0?16?，是无理数，所以x(n)是非周期的。

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)?x(n?n0) （2）y(n)?x(n) （3）y(n)?x(n)sin(?n) （4）y(n)?ex(n)2

2.4 （1）由于T[x(n)]?x(n?n0)

T[x(n?m)]?x(n?m?n0)?y(n?m)

所以是时不变系统。

T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?ay1(n)?by2(n)

所以是线性系统。

（2）T[x(n?m)]?x(n?m)?y(n?m)，所以是时不变系统。

2T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]2?ay1(n)?by2(n)，所以是非线性系统。

（3）T[x(n?m)]?x(n?m)sin(?n)?y(n?m)，所以不是时不变系统。

T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]sin(?n)?ay1(n)?by2(n)，所以是线性系

统。

（4）T[ax1(n)?bx2(n)]?e系统。

[ax1(n)?bx2(n)]?eax1(n)ebx2(n)?ay1(n)?by2(n)，所以是非线性

T[x(n?m)]?ex(n?m)?y(n?m)，所以是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y(n)?x(n)?x(n?1) （2）y(n)?x(n?n0) （3）y(n)?e（4）y(n)?2.5

（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n?1)时间）的输入有关。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?|x(n)|?|x(n?1)|?2M，因此系统是稳定系统。

（2）当n0?0时，系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当

x(n)

n?n0k?n?n0?x(k)

n0?0时，系统是因果系统。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?M，因此系统是稳定系统。

（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|?M，则

|y(n)|?|ex(n)|?e|x(n)|?eM，因此系统是稳定系统。

（4）系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和x(n)的未来值有关。如果|x(n)|?M，

则，|y(n)|?n?n0k?n?n0?|x(k)|?|2n0?1|M因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。 （1）h(n)?2u(n) （2）h(n)?2u(?n) （3）h(n)??(n?2) （4）h(n)?nn1u(n) 2n2.6 （1）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。

由于

n????|h(n)|?2?0?21?22????

所以系统不稳定。

（2）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。

由于

n????|h(n)|?2?0?2?1?2?2???2

所以系统稳定。

（3）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。

由于

n????|h(n)|?1

?所以系统稳定。

（4）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。

由于

n????|h(n)|??111?????? 021222所以系统不稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出

y(n)。

2.7

y(n)?h(n)?x(n)?[2?(n)??(n?1)?0.5?(n?2)]?x(n)

?2x(n)?x(n?1)?0.5x(n?2)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)?R3(n)，x(n)?R3(n)

（2）h(n)?R4(n)，x(n)??(n)??(n?2) （3）h(n)?0.5u(n)，x(n)?R5(n) 2.8

（1）y(n)?x(n)?h(n)?R3(n)?R3(n)

n?[?(n)??(n?1)??(n?2)]?R3(n)?R3(n)?R3(n?1)?R3(n?2)?[?(n)??(n?1)??(n?2)]?[?(n?1)??(n?2)??(n?3)]?[?(n?2)??(n?3)??(n?4)]??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?2?(n?3)??(n?4)（2）y(n)?x(n)?h(n)?[?(n)??(n?2)]?R4(n)

?R4(n)?R4(n?2)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?[?(n?2)??(n?3)??(n?4)??(n?5)]??(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)n（3）y(n)?x(n)?h(n)?0.5u(n)?R5(n)

?0.5nu(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)]?0.5u(n)?0.5nn?1u(n?1)?0.5n?2u(n?2)?0.5n?3u(n?3)?0.5n?4u(n?4)

2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。 （1）Sa(100t) （2）Sa(100t)

（3）Sa(100t)?Sa(50t)

22.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。

（1）抽样函数对应于门函数：G?(t)?E?Sa(??/2)，其中?为门函数的宽度。 由傅立叶变换的对称性知：

E?Sa(t?/2)?2?G?(?)

由题可知，??200。因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。 因此，2?fs?100?2 即，fs?100?，Ts??100

（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。

通过上一题目可知，Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。

fs?200?100，Ts??200

（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。

fs??，Ts??100

2.10 设系统由下面差分方程描述：

y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22设系统是因果的，

（1）求该系统的单位脉冲响应。 （2）利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。

2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5

......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)

（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)

= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)

2.11有一理想抽样系统，抽样频率为?s?6?，经理想低通滤波器Ha(j?)还原，其中

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