第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛解析（四年级组）

第十四届“小机灵杯”数学竞赛

初赛解析（四年级组）

时间：60 分钟总分：120 分

（第1题~第5题，每题6分.）

?20★19? 1.我们规定a★b?a?a?b?b，那么3★2?4★3?5★4? 【答案】396

【考点】定义新运算 【分析】

原式??3?3?2?2???4?4?3?3???5?5?4?4??

??20??20 ?19?19???20?20?19?19

.

?

?3?3?2?2?4?4?3?3?5?5?4?4? ?20?20?2?2 ?400 ?4 ?396

2.将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的.(得数用分数表示)

2

【答案】 3

【考点】图形分割 【分析】

6 2

如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 ，即 .

9 3

3.小明去超市买牛奶.若买每盒6元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒9元的酸奶，钱

也正好用完，但比鲜奶少买6 盒.小明共带了元. 【答案】108元

【考点】列方程解应用题 【分析】

设小明能买酸奶x 盒，则能买鲜奶?x ?6?盒；由题意可列得方程：6?x?6??9x，解得x?12；

所以小明共带了9?12?108元.

4.用一根长1米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法.其中长方形面积的最大值是平方厘米. 【答案】25种，625平方厘米

【考点】长方形的周长，最值问题 【分析】

1 米?100 厘米，即为长方形的周长, 因此长方形的长?宽?100?2?50厘米； 不同围法有：50?49?1?48?2?47?3? ?25?25，共25种；由于长与宽的和一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大，因此长方形面积的最大值是25?25?625平方厘米.

5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2

的铺法）.当正方形地面周围铺了80 块白瓷砖是，黑瓷砖需要块.

图1

【答案】361块 【考点】方阵问题 【分析】

图2 铺有80块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有?80?4??4?19块；因此黑瓷砖需要19 ?19 ?361块.

（第6题~第10题，每题8分.）

6.在下列每个2?2的方格中，4个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知 ◆? .

2 1 6 9

【答案】◆?5

3 4 2 8

6 4 4 8

5 ◆ 2 6

【考点】找规律填数 【分析】

观察发现：在表1中：2?9??1?6??3；在表2中：3?8??4?2??3；在表3中：6?8??4?4??3；所以在表4中，应该有5?6??◆?2??3，求得◆?5.

7.学生们手中有1、2、3三种数字卡片，每种数卡都有很多张.老师请每位学生取出两张或三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的，那么这些学生至少有人. 【答案】73 人 【考点】抽屉原理 【分析】

学生可能排成的不同两位数有3?3?9个，可能排成的不同三位数有3?3?3?27个，因此学生可能排成的不同的数一共有9 ?27 ?36 个；如果要保证其中至少有三名学生排出的数完全相同，那么这些学生至少有2?36?1?73人.

8.已知2014?迎?2015?新?2016?年，且迎?新?年?504，那么迎?新?新?年

? .

【答案】128

【考点】分解质因数 【分析】

根据2014?迎?2015?新?2016?年可知：迎?新?1?年?2；

由504?23?32?7可得，只有504?9?8?7满足条件，即迎?9，新?8，年?7；迎?新?新?年?9?8?8?7?72?56?128.

9.一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于50.如果我们将右图 的正方体先从左往右翻转97次，再从前往后翻转98次，这时这个正方体底面的数是 前面的数是，右面的数是.（翻转一次表示翻转一个面）

，

11 15 13 【答案】底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11 【考点】周期问题 【分析】 根据题意，初始时左面的数是50?13?37，后面的数是50?15?35，底面的数是50?11?39； 对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转4 次就会回到初始方向； 由于97?4?24 1 ，98?4?24 2 ，

所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转1次，再从前往后翻转2次；先从左往右翻转1次后，正方体的六个面分别为：

左面的数39，右面的数11，前面的数15，后面的数35，顶面的数37，底面的数13； 再从前往后翻转2 次后，正方体的六个面分别为：

左面的数39，右面的数11，前面的数35，后面的数15，顶面的数13，底面的数37； 所以按要求操作后，这个正方体底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11.

10.学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买15 个，如果只买篮球正好能买12个.现在用这些钱买来排球与篮球共14 只，买来的排球与篮球相差只. 【答案】6 只

【考点】鸡兔同笼 【分析】

由于?15,12??60，因此可以假设这笔钱是60，

那么一只排球的价格是60 ?15 ? 4 ，一只篮球的价格是60 ?12 ? 5 ；现在用这些钱买来的14只球中篮球有?60?4?14???5?4??4只，排球有14?4?10只，所以买来的排球与篮球相差10 ? 4 ? 6只.

（第11题~第15题，每题10分.）

11.小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从A、B两地相向而行，相遇后小明又经过了18分钟到达了B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的倍，小4明爸爸从相遇地点步行到A地还需要分钟. 【答案】288分钟 【考点】行程问题 【分析】

4S 小明 ？min S 18min 小明爸爸

如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的4 倍且二人运动时间相同，因此小明的路程应该是爸爸的4倍（图中的4S与S）；

而相遇后小明又经过18 分钟前进了S 的路程才到达了B 地；因为小明的速度是爸爸的4倍，所以爸爸步行S的路程需要18?4?72分钟；又因为爸爸从相遇地点步行到A 地还需要再走4S 的路程，所以小明爸爸从相遇地点步行到A地还需要72?4?288分钟.

12.如图所示，两个正方形的周长相差12 厘米，面积相差69平方厘米，大、小两个正方形的面积分别是平方厘米，平方厘米.

【答案】169 平方厘米，100平方厘米

【考点】正方形的周长与面积，平方差公式 【分析】

设大正方形的边长是a厘米，小正方形的边长是b厘米，由题意得：

b?3 ? ?a??a?b?3 ，整理得，即为?；???4 a?4b ?12

a?b?23 ?b ?69?a?b??a?b??69

2 2 ???? ? a

?

?a ?13 解得??，所以大正方形面积是132?169平方厘米，小正方形面积是102?100平方厘米.

?b ?10 13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的.两人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了4盒且余下6 元，而乙用完了所带的钱.如果甲用元原来3倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买31盒，而且仍余下6元.那么铁盒装的糖果售价为每盒元，纸盒装的糖果售价为每盒元. 【答案】12 元，10元

【考点】约数与倍数，列方程解应用题 【分析】

甲用原有的钱去买铁盒余下6元，那么用3倍的钱去买铁盒理论上应余下6?3?18元，

然而仍余下6 元，说明18 ? 6 ?12 元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为12 的约数； 有根据余下6元可知铁盒的单价必定大于6元，所以铁盒的单价只能是每盒12元；设乙买了x 盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程: 3??12?x?4??6???12?x?31??6，解得x?21；

所以两人原有的钱数为12??21?4??6?210元，纸盒的单价是每盒210?21?10元.

个小正方形组成的形放入右边的14.如下图所示，将一个由3L格子中，共有几种放法.（图形可旋转）L

【答案】48 种

【考点】对应法计数 【分析】

首先，右图中共有9个 ，每个田字格中L形有4种放法，分别为：

，共4?9?36种；

其次，还有一些L形不包含于图中的某个田字格，例如下图中的L形1号：

1 观察发现这些L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角，

而这样的凹拐角共有12 个（如图所示）,因此不包含于图中的某个田字格的L 形也有12 种；综上所述，图中的L形共有36?12?48种放法.

15.一棵生命力极强的树苗，第一周在树干上长出2条树枝（如图1），第二周在原先长出

，第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长 的每条树枝上又长出2 条新的树枝（如图2 2）

出条新2枝（如图3）这棵树苗按此规律生长，到第十周新的树枝长出来后，共有

条树枝.

图1 图2 图3

【答案】2046 条

【考点】等比数列求和 【分析】

第一周树上新长出1?2条树枝，共有2条树枝；

第二周树上新长出2?2?22条树枝，共有2?22条树枝；

第三周树上新长出22?2?23条树枝，共有2?22?23条树枝；依次类推 第十周树上新长出210条树枝，共有2?22 ?23??条树枝； 因为2 ? 22 ? 23? ?210 ??211 ? 2 ? 2046，

?210

所以第十周新的树枝长出来后共有2046 条树枝.

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