六同余法解题

同余法解题

一、知识要点

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2??4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1、 同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质

（1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性）

（3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性）

（4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性）

（5）若A≡B(modM)，则An≡Bn (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。 1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，

2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，

3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。 例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，

4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。 二、精典例题

例1：有8只盒子，每只盒子内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17、23、33、36、38、42、49、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍，钢笔的

1支数是铅笔支数的，只有一只盒子里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？

3

例2、 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

例3、 249×388×234除以19，余数是几？

例4、 有一个1997位数，它的每个数位都是2，位是几？最后余数是几？

这个数除以13，商的第100

三、练习题

1. 求下列算式中的余数。

（1） （2）

（3） （4）

2. 6254与37的积除以7，余数是几？

3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？

4、300、262、205被同一个整数除，得到相同的余数，这个整数是几？

5、一个自然数被247除余 63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。

6、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值。

7、两个数除以11分别余9和10，这两个数的和除以11余几？

8、甲、乙、丙三个数之和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都商5余1，乙数是多少？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/976t.html