《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计

第一部份 习题

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设P(A)?0.1,P(A?B)?0.3，且A与B互不相容，则P(B)? 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A，B为两事件，P(A)?0.7,P(AB)?0.3，则P(A?B)? 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A，B为两事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)? 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，A??X?Y?10? B??X?Y?，则P(B|A)? 。

11、设A,B是两事件，则A,B的差事件为 。

12、设A,B,C构成一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)? ，P(AB)? 。 13、设A与B为互不相容的两事件，P(B)?0,则P(A|B)? 。

14、设A与B为相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 。 15、设A,B是两事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,则P(AB)? 。

概率论与数理统计 第1页（共57页）

16、设A,B是两个相互独立的事件，P(A)?0.2,P(B)?0.4,则P(A?B)? 。 17、设A,B是两事件，如果A?B，且P(A)?0.7,P(B)?0.2，则P(A|B)? 。 18、设P(A)?111,P(B)?,P(A?B)?，则P(A?B)? 。 34219、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。从中随机取一件，结果不是

三等品，则为一等品的概率为

20、将n个球随机地放入n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。

二、选择题

1、设P(AB)?0，则下列成立的是( )

① A和B不相容 ② A和B独立 ③ P(A)?0orP(B)?0 ④ P(A?B)?P(A) 2、设A,B,C是三个两两不相容的事件，且P(A)?P(B)?P(C)?a，则 a的最大值为

( )

① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4

3、设A和B为2个随机事件，且有P(C|AB)?1，则下列结论正确的是( ) ① P(C)?P(A)?P(B)?1 ② P(C)?P(A)?P(B)?1 ③ P(C)?P(AB) ④ P(C)?P(A?B) 4、下列命题不成立的是 ( )

① A?B?AB?B ② A?B?A?B ③ (AB)(AB)?? ④ A?B?B?A

5、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则有 （ ）

①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)?1?P(A) ④P(A|B)?P(B) 6、设A,B为两个对立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则不成立的是 （ ） ①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)＝0 ④P(AB)?1 7、设A,B为事件，P(A?B)?P(A)?P(B)?0，则有 （ ）

概率论与数理统计 第2页（共57页）

① A和B不相容 ② A和B独立 ③ A和B相互对立 ④ P(A?B)?P(A) 8、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则P(A?B)为（ ） ①P(A)?P(B) ②1?P(A)P(B) ③1?P(A)P(B) ④1?P(AB)

9、设A,B为两事件，且P(A)?0.3，则当下面条件（ ）成立时，有P(B)?0.7 ①A与B独立 ②A与B互不相容 ③A与B对立 ④A不包含B 10、设A,B为两事件，则(A?B)(A?B)表示（ ）

①必然事件 ②不可能事件 ③A与B恰有一个发生 ④A与B不同时发生 11、每次试验失败的概率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1233①3(1?p) ②(1?p) ③1?p ④C3(1?p)p

12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ）

12C3C733727213①C() ②()() ③C3()() ④ 31010101010C101313、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A|B)?0.8，则下列结论成立的是（ ） ①

A与B独立

②

A与B互不相容

③ B?A ④ P(A?B)?P(A)?P(B) 14、设A,B,C为三事件，正确的是（ ）

① P(AB)?1?P(AB) ② P(A?B)?P(A)?P(B)?1 ③ P(ABC)?1?P(ABC) ④ P(A?B)?P(BA) 15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p，则p为（ ） ① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36

16、已知A,B两事件的概率都是1/2, 则下列结论成立的是（ ） ① P(A?B)?1 ② P(AB)?1 ③ P(AB)?P(AB) ④P(AB)?1

2 概率论与数理统计 第3页（共57页）

17、A,B,C为相互独立事件，0?P(C)?1，则下列4对事件中不相互独立的是（ ） ① A?B与C ② A?B与C ③ AB与C ④AC与C 18、对于两事件A,B，与A?B?B不等价的是（ ） ① AB?? ② AB?? ③ A?B ④ B?A

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,B，则下列结论正确的是（ ） ①A与B互不相容 ②A与B相容 ③P(AB)?P(A)P(B) ④P(A?B)?P(A)

三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。

6、某人买了A,B,C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为

0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定

赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

10、一批产品的次品率为0.1，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。

概率论与数理统计 第4页（共57页）

12、设A,B是两个事件，用文字表示下列事件：A?B,A?B,AB,AB。

13、从1~100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率

16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。 18、 设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求

（1）取到的球为黑色球的概率；

（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5个，Ⅱ型的有7个，Ⅲ型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。

20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密码能译出的概率是多少。

22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。

23、设每次试验事件A发生的概率相同，已知3次试验中A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。

24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。

25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。 26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。

27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。

概率论与数理统计 第5页（共57页）

28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率。

29、某种动物由出生到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现在20岁的动物活到25岁的概率为多少？

30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发），欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？

31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B，C损坏的概率分别为 0.2 ，0.3 ，0.3，求电路发生间断的概率。 32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概率。 33、假设目标在射程之内的概率为0.7，这时射击的命中率为0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。

34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。

35、 甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果有3人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。

36、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手3发子弹得到不小于29环的概率。

38、甲、乙2名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。 39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率。

40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。

41、特色医院接待患者的比例为K型50%，L型30%，M型20%，对应治愈率为0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，问他属于L型的概率？

42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5、乘轮船迟到的概率为0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？

43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大？ 44、一副扑克（52张），从中任取13张，求至少有一张“A”的概率？

45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为0.6，孩子得病下母亲得病的概率为 0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？

概率论与数理统计 第6页（共57页）

47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为?，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0.4；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求?的最低值。

48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8，求 （1）三台设备均不需要看管的概率； （2）至少有一台设备需要看管的概率； （3）三台设备均需要看管的概率。

四、证明题

1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件A?“第一次掷得偶数点”，B?“第二次掷得奇

数点”，C?“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A，B，C两两独立，但A，B，C不相互独立。 2、 设每次试验A发生的概率p,(0?p?1)，An?“n次独立重复试验中至少出现一次

A”证明LimP(An)?1

n???3、设X~b(n,p)，证明EX?np,DX?np(1?p) 4、证明，如果P(A|B)?P(A)，则P(B|A)?P(B)

5、当P(A)?a,P(B)?b时，证明：P(A|B)?6、证明：P(A)?0，则P(B|A)?1?a?b?1 bP(B) P(A)7、设A,B,C三事件相互独立，则A?B,AB与C相互独立。 8、设Ai?A，i?1,2,3，则P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?2 9、已知A1,A2同时发生，则A发生，证明P(A)?P(A1)?P(A2)?1

10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。 11、设A，B为两事件，证明 P(B?A)?P(B)?P(AB)

12、证明如果A与B独立，则A与B独立、A与B独立、A与B独立 13、如果P(A)?0，证明A与B独立的充分必要条件是P(B|A)?P(B)

概率论与数理统计 第7页（共57页）

第二章 随机变量及其分布

一、填空题

1、设随机变量X的分布律为P(X?k)?a?kk!(k?0,1,2?),??0，则a? 。

2、设随机变量X服从参数为1/3的0—1分布，则X的分布函数为= 。 3、设随机变量X~N(1,4),P(X?a)?1，则a? 。

24、设随机变量X的分布律为P(X?k)?a(k?1,2?N),??0，则a? 。 N25、设随机变量X服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量Y?X的密度函数为 。 6、随机变量X的密度函数为f(x)?ke?(x?1)28 (???x???)，则k? 。

7、随机变量X的密度函数为X~N(1,4),则Y?2X?1~ 。 8、若P(X?x2)?1??,P(X?x1)??,x1?x2，则P(x1?X?x2)? 。 9、设离散型随机变量X的分布函数为

?0x??1?a?1?x?2? F(x)??2

?a1?x?2?3?a?bx?2?1且P(X?2)?，则a? ，b? 。

2x??2x?0?10、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??ke 则

x?0??0k? ，P(1?X?2)? ，P(X?2)? 。

11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品 不放回，直到把2个次品都找到为止，设X为需要进行测试的次数，则P(X?3)? 。 12、设F(x)为离散型随机变量的分布函数为，若P(a?X?b)?F(b)?F(a)，

概率论与数理统计 第8页（共57页）

则P(X?b)? 。

13、一颗均匀骰子重复掷10次，设X表示点3出现的次数，则X的分布律P(X?k)? 。 14、设X为连续型随机变量，且P(X?0.29)?0.75，Y?1?X，且P(Y?k)?0.25， 则k? 。

15、设随机变量X服从POISSON分布，且P(X?1)?P(X?2)，则P(X?1)? 。 16、连续型随机变量X为f(x)?16?e?(x2?4x?4)2??c，

?f(x)dx??f(x)dx，则c? 。c??17、设F1(x),F2(x)为分布函数，a1?0,a2?0，a1F1(x)?a2F2(x)为分布函数，则

a1?a2? 。

x?0?0?218、若连续型随机变量的分布函数F(x)??Ax0?x?6，则A? 。

?1x?6?19、设随机变量X的概率密度f(x)?21?|x|e，则X的分布函数为 。 220、若随机变量X~N(1,0.5)，则2X的密度函数f(x)? 。

二、选择题

1、若函数f(x)是一随机变量X的密度函数，则（ ）

①f(x)的定义域为[0,1] ②f(x)值域为[0,1] ③f(x)非负 ④f(x)在R连续 2、如果F(x)是（ ），则F(x)一定不可以为某一随机变量的分布函数。 ①非负函数 ②连续函数 ③有界函数 ④单调减少函数 3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（ ）

1

e?1e?111(k?0,1,2,?) ②(k?1,2,?) ③k(k?0,1,2,?) ④k(k??1,?2,?) ①k!k!224、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（ ）

概率论与数理统计 第9页（共57页）

3??sinx??x?①f(x)?? 20?其他3??－sinx??x? ② h(x)?? 2

0?其他3?3??cosx??x??1?cosx??x?③g(x)?? 2 ④ u(x)??2

?0?0其他其他5、设随机变量X~N(0,1)，?(x)为其分布函数，P(X?x)??，则x?（ ）。

?1① ?(1??) ② ?(1??1?) ③ ??1(?) ④ ??1()

22k?6、设离散型随机变量X的分布律为P(X?k)?b?(k?1,2,?)，则?＝（ ）。 ①

??0的实数 ② b?1 ③ 1b?1 ④ 1b?1

27、设随机变量X~N(?,?)，则?增大时，P(|X??|??)是（ ） ① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定

8、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，则有（ ） ①F(?a)?1?F(a)②F(?a)?1?F(a)③F(?a)?F(a)④F(?a)?2F(a)?1 29、设F1(x),F2(x)为分布函数，a1F1(x)?a2F2(x)为分布函数，则下列成立的是（ ）

32231313,a2?? ②a1??,a2? ③a1??,a2?④a1?,a2?? 555522221??cosxx?G10、要使f(x)??2 是密度函数，则G为（ ）

x?G??0① a1?① ??,? ② ?0,? ③ ?,?? ④ ??,2??

?22??2??2?11、设随机变量的分布密度为f(x)???????????1,则Y?2X的密度函数为（ ）

?(1?x2)①

121 ② ③ ④

?(1?x2)?(4?x2)?(1?4x2)1 12?(1?x)412、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度f(x)，则（ ）

概率论与数理统计 第10页（共57页）

对于任意正数a有 P(|X|?a)?2F(a)?1

7、设f(x),g(x)是两个随机变量的密度函数，证明：对于任意正数?(0???1)， 有?f(x)?(1??)g(x)是某一随机变量的密度函数。

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

x?y?0?01、因为二元函数F(x,y)?? 不满足 ，所以F(x,y)不是某一个

x?y?01?二维随机变量的联合分布函数。

2、设二维随机变量的联合分布律为 X Y 1 2 1 2 3 1/16 3/8 1/16 1/12 1/6 1/4 则P(Y?1|X?2)? 。

3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为

0?x?1y?0?e?y?1 fX(x)?? ，fY(y)??

其他y?000?? 则(X,Y)的联合分布密度函数为 。 4、设二维随机变量的联合分布律为 X Y 1 2 1 2 3 1/6 1/9 1/18 1/3 a b 若X和Y独立，则a= ,b= 。

概率论与数理统计 第16页（共57页）

5、设X1~N(1,2),X2~N(0,3),X3~N(2,1)，且三个随机变量相互独立，则

P(0?2X1?3X2?X3?6)? 。

6、若随机变量X~b(2,p),Y~b(4,p)，且P(X?1)?5，则P(Y?1)? 。 9?ce?(x?y)x?0,y?0 7、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)?? 则c? 。

其他?08、设(X,Y)区域D上服从均匀分布，其中D是由x轴，y轴及直线y?2x?1所围成的区域，则P(X??,Y?181)? 。 234，P(X?0)?P(Y?0)?， 779、设X和Y是两个随机变量，且P(X?0,Y?0)?则P?max(X,Y)?0?? 。

10、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且P(X?0)?P(X?1)?1，则随机变量 2Z?max?X,Y?的分布律为 。

11、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且P(X?0)?P(X?1)?1，则随机变量 2Z?min?X,Y?的分布律为 。

12、设平面区域D由曲线y?1及直线y?0,x?1,x?e2，(X,Y)区域D上服从均x匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x?2处的值为 。

13、设相互独立的X和Y具有同一分布，且X~N(0,)，则Z?X?Y~ 。

12二、选择题

ax(1、设随机变量X,Y相互独立，分布函数为FX(x),FY(y)，则mX,Y)的分布函数为( )

① max{FX(x),FY(x)} ② min{FX(x),FY(x)} ③ FX(x)?FY(x) ④ 1??1?FX(x)??1?FY(x)?

概率论与数理统计 第17页（共57页）

2、设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,2),Y~N(1,4)，则下列各式成立的是( )

11 ② P(X?Y?0)? 2211 ③ P(X?Y?1)? ④ P(X?Y?1)?

22 ① P(X?Y?0)?3、设随机变量X，则X?Y的密度函数为（ ） Y~N(0,1)，Y相互独立，X~N(0,1)，

1?e ①2?x2?y221?e ②2?x2?y24 ③

12?e?x24 ④

12?e?x24

4、设随机变量X,Y相互独立且同分布，P(X??1)?P(X?1)?0.5，则下列结论正确的是 ( )

①P(X?Y)?0.5 ②P(X?Y)?1 ③P(X?Y?0)?211 ④P(X?Y?0)? 4425、设随机变量X,Y相互独立，且X~N(?1,?),Y~N(?2,?)，则X?Y为( ) ① N(?1??2,?1??2) ② N(?1??2,?1??2) ③ N(?1??2,?1??2) ④ N(?1??2,?1??2)

22??1?x?y?16、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)?? 则X与Y为（ ）

?其他?022222222①独立同分布 ②独立不同分布 ③不独立同分布 ④不独立也不同分布 7、设随机变量X,Y相互独立，且均服从（0,1）均匀分布，则下列中服从均匀分布的是（ ） ① (X,Y) ② X?Y ③ X ④ X?Y 8、随机变量X,Y相互独立同分布，则X?Y和X?Y（ ） ① 不独立 ② 独立 ③ 不相关 ④ 相关 9、设(X,Y)的联合分布律为

Y 0 1 1/4 b a 1/4 2X 0 1 概率论与数理统计 第18页（共57页）

已知事件?X?0?与事件?X?Y?1?相互独立，则a,b值为（ ） ① a?11311111,b? ② a?,b?③a?,b? ④a?,b? 63883644三、计算题

1、设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y)?

求：(1)系数A； (2) P{(X，Y)∈D}，其中D为由直线y=x ,x=1，及x轴围成的三角形区域。

2、设随机变量X，Y相互独立，且X，Y的分布律如下表： X P A(1?x2)(1?y2)(???x???,???y???)

－3 1/4 －2 1/4 －1 2/4

Y P 1 2/5 2 1/5 3 1/5 求：(1) (X，Y)的联合分布律；(2) Z＝2X＋Y的分布律；(3) U＝X－Y的分布律。

3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，已知甲、乙到达该处的时间分别为随机变量X和Y，且甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均匀分布在7时至10时之间。已知(X，Y)的联合概率密度为：

?1?f(x,y)??6??06?x?8,7?y?10其他 求先到一人等候对方不超过10分钟的概率。

4、设随机变量X和Y相互独立，且X~U(1,2),Y~U(1,3)，求方程有两个不相等的实根的概率。方程：t?2Xt?Y?0

5、一口袋中有4个球，标有1，2，3，4。从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个球，

以X和Y表示第一、二次取得的球的数字，求X、Y的联合分布。

6、设随机变量X和Y相互独立，X~N(?,?)，Y~U(??,?)，求X?Y的分布。 7、随机变量X和Y的联合分布函数为F(x,y)?求边缘分布函数和边缘密度函数。

221??????arctanx?arctany???? 2?2??2????x2?xy0?x?1,0?y?18、设二维随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)?? 3其他?0求（1）联合分布函数；

概率论与数理统计 第19页（共57页）

（2）边缘密度函数； （3）P(X?Y?1)

9、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y表示甲和乙的命中次数，求X和Y的联合分布。 10、已知随机变量X和Y的分布律为

??101??01? X~?111? Y~?11?且P(XY?0)?1求

???424???22??（1）X和Y的联合分布；（2）X和Y是否独立。

11、一电子仪器由两部件构成，以X和Y表示两部件的寿命，已知X和Y的联合分布函数为

?1?e?0.5y?e?0.5x?e?0.5(x?y)x?0,y?0 F(x,y)??其他0?（1）X和Y是否独立；（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。

12、设随机变量X和Y独立，其概率密度分别为

??e?yy?0?10?x?1fX(x)??，fY(y)?? 求Z?2X?Y的分布密度。

0其他y?0??0??3x0?x?1,0?y?x13、设随机变量X和Y独立联合密度为f(x,y)??

0其他?求P(Y?11|X?) 84?4.8y(2?x)0?x?1,0?y?x14、设X和Y独立联合密度为f(x,y)??

0其他?求边缘密度。

?cx2yx2?y?115、设X和Y独立联合密度为f(x,y)?? 求（1）c

其他?0（2）边缘密度。（3）条件分布

216、设X和Y独立，且服从N(0.?)，求Z?X2?Y2的概率密度。

概率论与数理统计 第20页（共57页）

职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的样本均值和方差为：x1?22.2,x2?28.5;s1?16.63,s2?18.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求总体平均值差的置信度为95%的区间估计。

24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为样本，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 26、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为样本，测得其平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）

27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个样本，样本容量分别为32和40，测得

22x1?50kg,x2?44kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别

??0.05,z0.025?1.96

28、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，样本标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，样本标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？

??0.05,t0.05(16)?1.7459

29、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？ ??0.05 30、某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ ??0.05 31、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 ??0.05,t0.05(15)?1.7531

32、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少

概率论与数理统计 第36页（共57页）

有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 销售量 5425 6319 6827 7743 8365 8916 户数 (万户) 189 193 197 202 206 209 要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；

（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；

(3)计算判定系数R

(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (??0.05)，并对结果作简要分析。 33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下： 温度 得率 2A1 86 85 83 A2 86 88 87 A3 90 88 92 A4 84 83 88 检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。

34、测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英

父亲身高x 60 62 64 66 67 68 70 72 74 儿子身高y 63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.8 68.3 70.1 70 (1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程

(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？t0.025(8)?2.306 （3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测

35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取样本，得到如下数据：（??0.05,F0.05(3,16)?3.24）

方式1 77 86 80 88 84 方式2 95 92 82 91 89 方式3 72 77 68 82 75 方式4 80 84 79 70 82 概率论与数理统计 第37页（共57页）

计算F统计量，并以??0.05的显著水平作出统计决策。

四、证明题

1、设X1,X2,?,Xn(n?2)来自正态总体X，总体X的数学期望?及方差?均存在，

2?1,??2,??3,??4均是总体X的数学期望求证：??的无偏估计。其中

?1?X1,??2?(X1?Xn) ??3? ?1?4?X (X1?2X2?3X3),?6122、假设随机变量X服从分布F(n,n)时，求证：P(X?1)?P?X?1??0.5

3、设X1,X2,?,Xn(n?2)来自正态总体X，总体X的方差?存在，S为样本方差，求证：S为?的无偏估计。

4、假设总体X的数学期望?和方差?均存在，X1,X2,?,Xn22

222

来自总体X，求证：X1n与W都是总体期望?的无偏估计，且DX?DW。其中X??Xi，

ni?1W??aiXi,(?ai?1)

i?1i?1nn

5、已知T~t(n)，证明T

k6、设总体X的k阶矩?k?E(Xi)存在，X1,X2,?,Xn2~F(1,n)

来自总体X,证明样本k阶矩

1nkAk??Xi为总体的k阶矩?k?E(Xik)的无偏估计。

ni?1

1x?1??x?01?e7、设总体X的密度函数为f(x)??? 试证X是?的无偏估计，而不是

x?0X??0 概率论与数理统计 第38页（共57页）

1的无偏估计。 ???2X,???8、设总体X~U(0,?)，证明?12计 （X1,X2,?,Xn

nmax(X1,X2,?,Xn)均是?的无偏估n?1来自总体X的样本）

第二部份 参考答案

第一章 概率论的基本概念

一、填空题

21C4C22231、ABC?ABC?ABC 2、0.2 3、 4、C5?0.7?0.3 5、0.3 6、0.6 3C698761???? 10、1/3 11、A?B 12、0.2, 0 13、0 109876n!14、0.12 15、0.54 16、0.52 17、1 18、11/12 19、2/3 20、1?n

n二、选择题

7、3/8 8、0.7 9、

1、④ 2、③ 3、② 4、② 5、③ 6、③ 7、④ 8、② 9、③ 10、③ 11、③ 12、④ 13、① 14、④ 15、③ 16、③ 17、④ 18、① 19、④

三、计算题

3041C95?C95C53223120.8?C?0.2?0.81、 2、 3、 ??330543C1004、Bi(i?1,2,3)分别表示甲、乙、丙生产的零件，A表示优质品，用Bayes公式求 P(Bi|A)分别为0.4319 , 0.3606 ,0.2014，故可认为是甲机器生产的零件 6、P(A?B?C)?1?0.97?0.99?0.98＝0.058906

7、A＝“答对”，B＝“平时没练习过”，用Bayes公式求P(B|A)，答案为 12/69 8、2/3,2/3,2/3 9、Ai?“第i次取得电影票”，P(A1|A2)，答案为1/2 10、0 11、A=“两个均为红色”，B＝“两个均为白色”，（1）P(A)?P(B)

概率论与数理统计 第39页（共57页）

2C32C2（2）1－P(B) P(A)?2,P(B)?2 12、（1）（3）至少有一个不发生，（2）（4）

C5C5两个都不发生 13、(1)1/2 (2)33/100 （3）16/100

14、Ai?“第i次取得合格品“，即求P(A1A2A3A4A5)＝

9594939291???? 1009998979615、Ai?“第i次打开门”，用乘法公式（1）P(A1A2A3)（2）P(A1A2A3A4A5) 16、A=“有一个为黑色”，B＝“另一个也为黑色”即求P(B|A)?P(AB)答案为1/8 P(A)17、A=“丢失的为黑色”，B＝“第二次的均为白色，用Bayes公式求P(A|B)，答案为，5/13 18、 (1)用全概率公式求77/225，（2）用Bayes公式求105/154

19、用独立性，103/300 20、1/2 21、0.8992 22、5/15 23、1/3 24、0.059

4A97C9525、1?5 26、9/16 27、1/2 28、7 29、0.5 30、6 31、0.272 32、0.2857

9C10033、0.6636 34、(1)0.27 (2)0.15 35、0.458 A表示“飞机被击落”，Bi?“击中飞机，全概率公式求P(A) 36、0.784 37、三局两胜制甲胜的概率0.648，五局三胜i次”

C85制甲胜的概,0.682 38、9 39、0.3117 40、4/9

C123525,P(A)?1?P(B) 41、A＝“出现双6”，B?“不出现双6”，P(B)?253613C4842、1?13?0.696 43、用乘法公式P(ABC)?0.18

C5244、Ai?“第i次拨号接通”，则求P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)，答：3/10，3/5 45、B0,B1,B2表示有0,1，2支部队按时赶到，A表示“取胜”，先求P(Bi)，用全概率公式表示P(A)，用P(A)?0.9，解??0.915 46、（1）0.512 （2）0.488 （3）0.08

概率论与数理统计 第40页（共57页）

一、填空题

第二章 随机变量及其分布

x?0?0?1y?(0,1)????0?x?1 3、1 4、1 5、f(y)??2y1、e 2、 F(x)??2 3y?(0,1)?1?0x?1??6、

122? 7、N(1,16) 8、??? 9、a?b?1,a?b?2115?a??a?,b? 3266?1?110、k?,P(1?X?2)?e2?e，P(X?2)?0

2111、设Ai?“第i次取次品”?X?3??A1A2A3?A1A2A3，用乘法公式求

1k510?k?2 14、0.71 15、1?e 16、2 17、1 18、1/36

66?1x1x?0?2e1?2(x?2)219、F(x)?? 20、f(x)? e1?xx?02??1?e?212、0 13、C10()()k

二、选择题

1、③ 2、④ 3、① 4、② 5、① 6、③ 7、③ 8、① 9、① 10、① 11、② 12、① 13、② 14、③

三、计算题

1、X表示取得好灯泡的个数， X P X的分布函数为：

P{X≥2}＝P{X=2}+P{X=3}＝14/15 x?1?0?1?151?x?2

FX(x)?? 82?x?3?15?1x?3 ? 概率论与数理统计

1 1/15 2 7/15 3 7/15 第41页（共57页）

2、X的分布律如下表 X 1 2 3 … k P 5/8 15/64 45/512 … (3/8)k-15/8 ∴P{1

X2 0 1 4 6/30 7/30 17/30 ??0?6x??2?1130?2?x??1F(x)???30 ?1?x?0?17?300?x?1 1?x?2?19?30?1x?2P(X?1)?1?(1?p)4?59解出p ??6、P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,3,? 7、P(Y??1)??P(X?4m?3)m?1Y －1 0 1 2/15 5/15 8/15

8、 A?12,B?1?,f(x)?1?(1?x2)

?9、A?11?10?x??1?,3,F(x)??[arcSinx???2]?1?x?1 10、0.206

?1x?1?0yy?0?111、F??Y(y)????20?y?4 f?0?y?4Y(y)??4y1y?4??0其他 ?12、(1)0.54618 (2) 0.9065345 13、(1) 5/6 (2) 4/5

概率论与数理统计 第42页（共57页）

… … 5、

2??1?3?233?a?y?b3y14、fy(y)??b?a9?66 a?10,b?11

?其他0?15、(1) 37/16 (2) 22/29 16、(1) 1/4 (2)4/9 17、（1）e （2）2e18、（1） 1/3 (2) 1/3 19、m?5

20、设进入商店的顾客购买该种物品人数为Y，求Y的分布律

?2?2

P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k?? 其中进入某一商店的顾客人数X~?(?)，答案：Y~?(?p)

21、X表示任意一页书上印刷错误个数，Y表示随机地取5页书印刷错误个数不超过2个的页数，此题所求为Y~b(5,p),p?P(X?2),P(Y?5)?0.66 22、(1) X ~ P(2)，(1)所求为P{X>3}=0.143

(2) 设须增加设备至x个方可满足需要。有：P{X≤x}≥0.9 x＝4 (3) 最可能数是1只到2只

23、设X表示任一时刻关机的电脑台数，所求是P{X>2}=0.609

任一时刻开机的电脑台数Y ~ B(12, 3/4)。 故最有可能同时开机台数是k=12×3/4＋3/4＝9

24、设X为同时使用的车床数，所求为P{7.5X>55}=0.000078 25、X表示电子管的寿命

p?P(X?1000)，Y表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数，Y~b(5,p)

A表示电子设备正常工作P(A)??P(A|Y?k)P(Y?k)?0.201

k?0526、(1) 0.3384 ,0.5952 (2) 129.74 27、(1)0.0228 (2) 81.1635 28、用右连续（1）a?0,b?1,c??1,d?1 （2）P(|X|?ee)＝1?ln2

2229、解：(1) 1?LimF(x)?1?A?1，0?LimF(x)?A?B?B??1

x???x?0?1?e?xx?0?? F(x)?? (2) P(?1?X?1)=F(1)?F(?1)?1?e

x?0?0 概率论与数理统计 第43页（共57页）

?0x?02?x30、FX(x)??0?x?2,4?x?2?1x??0?x?2 fX(x)??2其他??0?1?11?y?2?231、先求分布函数FY(y)?P(X?1?y)，fY(y)??y?1

其他?0?32、 Y ??2 1 ?0? 0.9 0.1 FY(y)??0.9?1???2y?222?y?1 2y?13211 ???109812033、Ai?“第i次取得次品”，用乘法公式求，P(X?3)?P(A1A2A3)? X 34、 X的分布律 －1 0 1 2 X

Y的分布律 Y

0 2/4 3/4 1/6 3/6 2/6 2/6 1/6 1/6 2/6 3 4 5 6 7 8 9 10 1/120 3/120 6/120 10/120 15/120 21/120 28/120 36/120 y?0?0?12?60?y?4 FY(y)??

42?y?3?644?1y?34?35、??31.2,P(T?210)?0.055 36、P(X?a)?0.05 答案：4098.7

概率论与数理统计 第44页（共57页）

2??37、2/5 38、fY(y)???1?y2?0?y?(0,1)y?(0,1)

?1?e?yy?0y?0y?39、（1）fY(y)??2y（2）fY(y)??（3）fY(y)?ey?e

y?0?0y?0?0?

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1、F(1,1)?F(1,?1)?F(?1,1)?F(?1,?1)?0 2、9/13

?e?y0?x?1,y?03、 f(x,y)??

其他?04、＋a?b?13211121,P(X?2,Y?1)?1,(?a)???a?,b?

993399925、2X1?3X2?X3~N(0,6),?(1)??(0)?0.3413

6、P(X?1)?552?1?P(X?0)?1?q2??q?，P(Y?1)?1－q4 993

7、1 8、1/3 9、5/7 12、1/4 13、N(0,1) 10、 11

Z?max?X,Y? 0 1 Z?min?X,Y? 0 1 1/4 3/4 3/4 1/4 二、选择题

1、③ 2、③ 3、③ 4、① 5、④ 6、③ 7、① 8、③ 9、②

三、计算题

1、（1）A?11?2 (2) P{(X,Y)?D}???Df(x,y)dxdy??dx?011 ?dy?2(1?x2)(1?y2)320x 概率论与数理统计 第45页（共57页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/976a.html