2012高考真题分类汇编
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2012高考真题分类汇编:函数与方程
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理7】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的
(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件
【答案】D
【解析】因为f(x)为偶函数,所以当f(x)在[0,1]上是增函数,则f(x)在[?1,0]上则为减函数,又函数f(x)的周期是4,所以在区间[3,4]也为减函数.若f(x)在区间[3,4]为减函数,根据函数的周期可知f(x)在[?1,0]上则为减函数,又函数f(x)为偶函数,根据对称性可知,f(x)在[0,1]上是增函数,综上可知,“f(x)在[0,1]上是增函数”是“f(x)为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件,选D.
2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。 3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中,不满足:f(2x)?2f(x)的是( )
(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x??
(D)f(x)??x
【答案】C
【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。
【解析】f(x)?kx与f(x)?kx均满足:f(2x)?2f(x)得:A,B,D满足条件. 4.【2012高考真题天津理4】函数f(x)?2?x?2在区间(0,1)内的零点个数是
x3
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B
【解析】因为函数f(x)?2x?x3?2的导数为f'(x)?2xln2?3x2?0,所以函数
f(x)?2?x?2单调递增,又f(0)?1?2??1?0,f(1)?2?1?2?1?0,所以根据根
x3的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1个,选B.
?125.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ,y=log52,z?e,则
(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x 【答案】D
【解析】x?ln??1,y?log选D.
6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数f(x)?1ln(x?1)?x2?1log255?12,z?e?12?111,?所以y?z?x,?1,2ee;则y?f(x)的图像大致为( )
【答案】B
【解析】排除法,因为f(2)?1ln2?2?0,排除A.f(?
121ln12?121lne2)???0,排除C,D,
选B.
7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A. y?x?1 B. y??x2 C. y?【答案】D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数;B是奇函数且是减?x2,x?0函数;C是奇函数且在(??,0),(0,??)上是减函数;D中函数可化为y??易知是奇2??x,x?01x D. y?x|x|
函数且是增函数.故选D. 8.
【
2012
高
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题
重
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10
】
设
平
面
点
集
?1?22A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)?(y?1)?1,则A?B所表示的平面图形
x????的面积为 (A)
34? (B)? (C)
5347? (D)
?2
【答案】D
?y?x?0?y?x?0??【解析】由(y?x)(y?)?0可知?或者?,在同一坐标系中做出平面区域11x?y??0?y??0xx??1如图:,由图象可知A?B的区域为阴影部分,根据对称性可知,两
?2部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为,选D.
x9.【2012高考真题山东理3】设a?0且a?1,则“函数f(x)?a在R上是减函数 ”,是“函
数g(x)?(2?a)x在R上是增函数”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A
x3【解析】若函数f(x)?a在R上为减函数,则有0?a?1。函数g(x)?(2?a)x为增函数,
3x3则有2?a?0,所以a?2,所以“函数f(x)?a在R上为减函数”是“函数g(x)?(2?a)x
为增函数”的充分不必要条件,选A.
?x2?9,x?3?10.【2012高考真题四川理3】函数f(x)??x?3在x?3处的极限是( )
?ln(x?2),x?3?A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0
【答案】A.
?x2?9?x?3,x?3,x?3?【解析】f(x)??x?3即为f(x)??,故其在x?3处的极限不存在,
ln(x?2),x?3??ln(x?2),x?3?选A.
11.【2012高考真题四川理5】函数y?a?x1a(a?0,a?1)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】当a?1时单调递增,?因为y?a?x1a?0,故A不正确;
1a恒不过点(1,1),所以B不正确;
1a?0,故C不正确 ;D正确.
当0?a?1时单调递减,?12.【2012高考真题山东理8】定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x).当?3?x??1时,
2f(x)??(x?2),当?1?x?3时,f(x)?x。则f(1)?f(2)?f(3)????f(2012)?
(A)335 (B)338 (C)1678 (D)2012 【答案】B
【解析】由f(x?6)?f(x),可知函数的周期为6,所以f(?3)?f(3)??1,f(?2)?f(4)?0,
f(?1)?f(5)??1,f(0)?f(6)?0,f(1)?1,f(2)?2,所以在一个周期内有f(1)?f(2)???f(6)?1?2?1?0?1?0?1f(1)?f(2)???f(2)?f(1)?0f(2)?3?11?3,
?33?32所
,选5B. 35以
13.【2012高考真题山东理9】函数y?cos6x2?2x?x的图像大致为
【答案】D
【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令y?0得cos6x?0,所以
6x??2?k?,x??12?k6?,函数零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为(?12,0),
又函数y?2x?2?x为增函数,当0?x?y?cos6x2?2x?x?12时,y?2x?2?x?0,cos6x?0,所以函数
?0,排除B,选D.
1x,g(x)?ax?bx(a,b?R,a?0),若y?f(x)214.【2012高考真题山东理12】设函数f(x)?的图象与y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0 B. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0 C. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0 D. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0 【答案】B
【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a?0时,要想满足条件,则有如图
,做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(?x1,?y1),由图象知
?x1?x2,?y1?y2,即x1?x2?0,y1?y2?0,同理当a?0时,则有x1?x2?0,y1?y2?0,
故答案选B.
另法:F(x)?x3?bx2?1,则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点x1,x2.
由F?(x)?0得x?0或x?23F(b)?0由此得b?32323b.这样,必须且只须F(0)?0或F(b)?0,因为F(0)?1,故必有
323b?322.不妨设x1?x2,则x2?1232.所以F(x)?(x?x1)(x?32)2,比较
1x1?1x2?x1?x2x1x2?0系数得?x134?1,故x1??答案为B.
2.x1?x2?1232?0,由此知y1?y2?,故
15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)(x?R)满足f(?x)=f(x),f(x)=f(2?x),且当x?[0,1]时,f(x)=x.又函数g(x)=|xcos(?x)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[?3
13,]上的零点个数为 22(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B
【解析】因为当x?[0,1]时,f(x)=x. 所以当x?[1,2]时,(2-x)?[0,1],f(x)=f(2?x)=(2?x), 当x?[0,]时,g(x)=xcos(?x);当x?[,]时,g(x)= ?xcos(?x),注意到函数f(x)、 g(x)都
222121133
3
是偶函数,且f(0)= g(0), f(1)= g(1),g()?g()?0,作出函数f(x)、 g(x)的大致图象,函数
23h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间[?个零点,故选B
1113,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点,共有62222【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。 16.【2012高考真题江西理2】下列函数中,与函数y?1sinxlnxx13x定义域相同的函数为
A.y? B. y? C.y=xex D. y?sinxx
【答案】D
【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。 【解析】函数
y?13x的定义域为{xx?0}。y?lnxx1sinx的定义域为
sinxx{xsixn?0}?{xx?k?,k?Z},y?的定义域为{xx?0},函数y?的定义域为
{xx?0},所以定义域相同的是D,选D.
?x2?1,x?117.【2012高考真题江西理3】若函数f(x)??,则f(f(10)=
lgx,x?1?A.lg101 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。
【解析】f(10)?lg10?1,所以f(f(10))?f(1)?12?1?2,选B.
18.【2012高考真题江西理10】如右图,已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y?V(x)的图像大致为
【答案】A
【解析】(定性法)当0?x?速度越来越快;当
1212时,随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递减的
?x?1时,随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递减的速度
越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A图象符合.故选A.
【点评】对于函数图象的识别问题,若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.
19.【2012高考真题湖南理8】已知两条直线l1 :y=m 和l2: y=
82m?1l1与函数y?log2x(m>0),
的图像从左至右相交于点A,B ,l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,A.162 B.82 C.84 D.44 【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=
82m?1ba的最小值为
(m>0),y?log2x图像如下图,
82m?1m由log2x= m,得x1?2?m,x2?2m,log2x= ,得x3?28?82m?18,x4?22m?1.
依照题意得a?2?m?2?82m?18,b?2?2m2m?1,ba2?2?2?m2m?18?2b?82m?1?22m2m?1?2m?82m?1.
?m?82m?1?m?12?4m?12?12?4?12?312,?()min?82. ay?log2xCDy?82m?1A1By?mOx
【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=
82m?1(m>0),y?log2x图像,结合图像可解得.
20.【2012高考真题湖北理9】函数f(x)?xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为
A.4 C.6 【答案】C
2【解析】f(x)?0,则x?0或cosx?0,x?k??2B.5
D.7
?2,k?Z,又x??0,4?,k?0,1,2,3,4
所以共有6个解.选C.
21.【2012高考真题广东理4】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln(x+2) B.y=-x?1 C.y=(
12)x D.y=x+
1x
【答案】A
【解析】函数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数y=-x?1在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=(
12)x在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+
1x在区间(0,+∞)上为先减
后增函数.故选A.
?1,x为有理数22.【2012高考真题福建理7】设函数D(x)??,则下列结论错误的是
0,x为无理数?A.D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数D.
D(x)不是单调函数 【答案】C.
【解析】根据解析式易知A和D正确;若x是无理数,则?x和x?1也是无理数,若x是有理数,则?x和x?1也是有理数,所以D(?x)?D(x),D(x?1)?D(x),从而可知B正确,C错误.故选C.
23.【2012高考真题福建理10】函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有
则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,
现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f(x2)在[1,3]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D.
【解析】若函数f(x)在x?3时是孤立的点,如图
f(x)??x具有性质p,而函数f(x)??x22,则①可以排除;函数
不具有性质p,所以②可以排除;设
12[f(x1)?f(2)],
x1?x22?2,x1,x2?[1,3],则f(2)?12[f(x1)?f(x2)]?
即f(x1)?f(2)?1,又f(x1)?1,所以f(x1)?1,因此③正确;
f(x1?x2?x3?x44)?12[f(x1?x22)?f(x3?x42)]?14[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]
所以④正确.故选D.
二、填空题
2??a?ab,a?b24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b,定义运算“﹡”:a?b??,
2??b?ab,a?b设f(x)?(2x?1)?(x?1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_________________. 【答案】(1?163,0).
【命题立意】本题属于新概念型题目,考查了根据条件确定分段函数解析式的能力,以及数形结
合的思想和基本推理与计算能力,难度较大.
?(2x?1)2?(2x?1)(x?1),2x?1?x?1?【解析】由新定义得f(x)??22x?1?2x?1?(x?1)?(2x?1)(x?1),?2x2?x,x?0,所以?2??x?x,x?0可以画出草图,若方程f(x)?m有三个根,则0?m?14,且当x?0时方
22程可化为?x?x?m?0,易知x2x3?m;当x?0时方程可化为2x?x?m?0,可解得
x1?1?1?8m4,所以x1x2x3?m?1?1?8m41?163,又易知当m?14时m?1?1?8m4有最小值,
所以
14?1?43?m?1?1?8m4?0,即
?x1x2x3?0.
|x?a|25.【2012高考真题上海理7】已知函数f(x)?e函数,则a的取值范围是 。 【答案】(??,1]
(a为常数)。若f(x)在区间[1,??)上是增
t【解析】令t?x?a,则t?x?a在区间[a,??)上单调递增,而y?e为增函数,所以要是函
数f(x)?ex?a在[1,??)单调递增,则有a?1,所以a的取值范围是(??,1]。
26.【2012高考真题上海理9】已知y?f(x)?x2是奇函数,且f(1)?1,若g(x)?f(x)?2,则g(?1)? 。 【答案】-1
【解析】因为y?f(x)?x2为奇函数,所以f(?x)?x2??f(x)?x2,所以
2f(?x)??f(x)?2x,g(1)?f(1)?2?3,
所以g(?1)?f(?1)?2??f(1)?2?2??f(1)??1。 27.【2012高考江苏5】(5分)函数f(x)?【答案】?0, 6?。
?1?2log6x的定义域为 ▲ .
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
?x>0?x>0?x>0?????0 28.【2012高考真题北京理14】已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3),g(x)?2x?2,若同时满足条件: ①?x?R,f(x)?0或g(x)?0; ②?x?(??,?4), f(x)g(x)?0。 则m的取值范围是_______。 【答案】m?(?4,?2) x【解析】根据g(x)?2?2?0,可解得x?1。由于题目中第一个条件的限制?x?R,f(x)?0或g(x)?0成立的限制,导致(x)在x?1时必须是f(x)?0的。当m?0时,f(x)?0不能做到f(x)在x?1时f(x)?0,所以舍掉。因此,f(x)作为二次函数开口只能向下,故m?0, 1?m??x1?2m?1?且此时两个根为x1?2m,x2??m?3。为保证此条件成立,需要???2, ?x2??m?3?1?m??4?和大前提m?0取交集结果为?4?m?0;又由于条件2:要求x?(??,?4),f(x)g(x)?0的限制,可分析得出在x?(??,?4)时,f(x)恒负,因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可 能,即?4应该比x1,x2两根中小的那个大,当m?(?1,0)时,?m?3??4,解得,交集为空,舍。当m??1时,两个根同为?2??4,舍。当m?(?4,?1)时,2m??4,解得m??2,综上所述m?(?4,?2). x?1x?1229.【2012高考真题天津理14】已知函数y?点,则实数k的取值范围是_________. 【答案】0?k?1或1?k?4 【解析】函数y?x?1x?12的图象与函数y?kx?2的图象恰有两个交 ?(x?1)(x?1)x?1,当x?1时,y?x?1x?12当x?1时,?x?1?x?1, y?x?1??x?1,?1?x?1,综上函数y???x?1??x?1?x?1,x??12x?1?x?1,x?1????x?1,?1?x?1,做出x?1?x?1,x??1?2函数的图象(蓝线),要使函数y与y?kx?2有两个不同的交点,则直线y?kx?2必须在四边形 区域ABCD内(和直线y?x?1平行的直线除外,如图经过B(1,2),k?1?k?4。 2?(?2)1?0,则此时当直线 ?4,综上实数的取值范围是0?k?4且k?1,即0?k?1或 30.【2012高考江苏10】(5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[?1,1]上, ?ax?1,?1≤x?0,??1??3?f(x)??bx?2其中a,b?R.若f???f??, ,0≤x≤1,?2??2???x?1则a?3b的值为 ▲ . 【答案】?10。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数,∴f??1??f?1?,即?a?1=?3??2???1?2?1?1??3?a?1,f???f??, 2?2??2?b?22①。 又∵f???f???=? ∴?12a?1=b?43②。 联立①②,解得,a=2. b=?4。∴a?3b=?10。 三、解答题 31.【2012高考真题江西理22】 (本小题满分14分) 若函数h(x)满足 (1)h(0)=1,h(1)=0; (2)对任意a??0,1?,有h(h(a))=a; (3)在(0,1)上单调递减。 则称h(x)为补函数。已知函数 (1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论; (2)若存在m??0,1?,使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记 时h(x) 的中介元为xn,且 ,若对任意的n?N?,都有Sn< 12,求?的取值范围; (3)当?=0,x??0,1?时,函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求P的取值范围。 【答案】 【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义,函数与不等式的综合应用以及分类讨论,数形结合的数学思想. 高考中,导数解答题一般有以下几种考查方向:一、导数的几何意义,求函数的单调区间;二、用导数研究函数的极值,最值;三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查. 32.【2012高考真题上海理20】(6+8=14分)已知函数f(x)?lg(x?1). (1)若0?f(1?2x)?f(x)?1,求x的取值范围; (2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0?x?1时,有g(x)?f(x),求函数y?g(x)(x?[1,2])的反函数. 【答案】 【点 评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合思想,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题. 33.【2012高考真题上海理21】(6+8=14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y?1249x;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置 2的横坐标为7t. (1)当t?0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?【答案】 34.【2012高考真题陕西理21】 (本小题满分14分) n设函数fn(x)?x?bx?c(n?N?,b,c?R) (1)设n?2,b?1,?1?c??1,证明:fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点; ?2?(2)设n?2,若对任意x1,x2?[?1,1],有|f2(x1)?f2(x2)|?4,求b的取值范围; (3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在? 【答案】 ?1?,1?内的零点,判断数列x2,x3,?,xn?的增减性。 ?2? 35.【2012高考江苏17】(14分)如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y?kx?120(1?k)x(k?0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的 22横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过 多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. 【答案】解:(1)在y?kx?120(1?k)x(k?0)中,令y?0,得kx?22120(1?k)x=0。 22 由实际意义和题设条件知x>0,k>0。 ∴x=20k1?k2=201k?k?202=10,当且仅当k=1时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 (2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0,使ka?立, 即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根。 由?=??20a??4a2?a2?64??0得a?6。 2120(1?k)a=3.2成 22 此时,k=20a???20a?2?4a22?a2?64?2a。 >0(不考虑另一根) ∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】(1)求炮的最大射程即求y?kx?不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 36.【2012高考真题湖南理20】(本小题满分13分) 某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; 120(1?k)x(k?0)与x轴的横坐标,求出后应用基本 22 (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【答案】解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 T1(x)?2?30006x?1000x,T2(x)?2000kx,T3(x)?1500200?(1?k)x, 期中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为f(x)?max?T1(x),T2(x),T3(x)?,其定义域为 ?200??x0?x?,x?N??.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到 1?k??T2(x)?2kT1(x),于是 (1)当k?2时,T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T1(x),T3(x)??max???1000x?,??, 200?3x?1500200?3x1500由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 x?400991000x时f(x)取得最小值,解得 .由于 ?45,而f(44)?T1(44)?25011,f(45)?T3(45)?30013,f(44)?f(45). 2501144?400故当x?44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)?. (2)当k?2时,T1(x)?T2(x), 由于k为正整数,故k?3,此时 T(x)?37550?x,?(x)?max?T1(x),T(x)?易知T(x)为增函数,则 f(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)? ?1000375???(x)?max?,?. x50?x??由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 1000x?37550?x时?(x)取得最小值,解得x?40011.由于 36?40011?37,而?(36)?T1(36)?2509?25011,?(37)?T(37)?37513?25011, 此时完成订单任务的最短时间大于 25011. (3)当k?2时,T1(x)?T2(x), 由于k为正整数,故k?1,此时 750??2000f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知, x100?x??当 2000x?750100?x时f(x)取得最小值,解得x?250980011.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为,大于 25011. 综上所述,当k?2时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为44,88,68. 【解析】【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想. 36?40011?37,而?(36)?T1(36)?2509?25011,?(37)?T(37)?37513?25011, 此时完成订单任务的最短时间大于 25011. (3)当k?2时,T1(x)?T2(x), 由于k为正整数,故k?1,此时 750??2000f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知, x100?x??当 2000x?750100?x时f(x)取得最小值,解得x?250980011.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为,大于 25011. 综上所述,当k?2时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为44,88,68. 【解析】【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.
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