椭圆离心率求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率e 1，抛物线的离心率e 1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e

c

来解决。 a

x2

例1：已知双曲线2 y2 1（a 0）的一条准线与抛物线y2 6x的准线重合，则该双曲线的离心

a

率为（ ）

32 B. C. D.

2223

3a2c2 132

解：抛物线y 6x的准线是x ，即双曲线的右准线x ，则2c2 3c 2 0，

2cc2

A.

解得c 2，a

，e

c2，故选D

a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324

解：由F1 1,0 、F2 3,0 知 2c 3 1，∴c 1，又∵椭圆过原点，∴a c 1，a c 3，∴a 2，

c1

c 1，所以离心率e .故选C.

a2

A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

36

B. C. D 2

222

c3

，因此选C a2

解：由题设a 2，2c 6，则c 3，e

x2y2

变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2 2 1（a b 0）的左准线上，过点P且方向为 2, 5 的

ab

光线，经直线y 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

1132

B C D 3232

5

x 3 ，关于y 2的反射光线（对称关系）为5x 2y 5 0，2

解：由题意知，入射光线为y 1

a2

c3 3

则 c解得a 3，c 1，则e ，故选A

a3 5c 5 0

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2

例2：已知F1、F2是双曲线2 2 1（a 0,b 0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab

若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

1

D. 1 2

c

解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为 ，由焦半径公式

2

PF1 exp a，

A. 4 2 B.

1 C.

2

c c c c 即c a，得 2 2 0，解得 a 2 a a c

e 1 （1 舍去），故选D

a

x2y2

变式练习1：设双曲线2 2 1（0 a b）的半焦距为c，直线L过 a,0 ， 0,b 两点.已知原点到

ab

直线的距离为

c，则双曲线的离心率为( ) 4

A. 2 B. 3 C. 2 D.

23

3

解：由已知，直线L的方程为bx ay ab 0，由点到直线的距离公式，得

aba2 b2

4

2

3c， 4

22224

又c a b, ∴4ab 3c,两边平方，得16ac a 3c，整理得3e 16e 16 0，

222

4c2a2 b2b222

1 2e 4，∴e 2，故选A 得e 4或e ，又0 a b ，∴e 2 ，∴22

3aaa

2

2

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2， F1MF2 1200，则双曲线的离心率为（ ）

A

3 B

6 C D 233

解：如图所示，不妨设M 0,b ，F1 c,0 ，F2 c,0 ，则

MF1 MF2 c2 b2，又F1F2 2c，

在 F1MF2中， 由余弦定理，得cos F1MF2

MF1 MF2 F1F2

2MF1 MF2

222

,

b2 c211c2 b2 c2 b2 4c2

即 ，∴，

2222

2b c22c b

3 a216222

e 3a 2c∵b c a，∴2，∴，∴，∴，故选B e 2

2222c a

2

2

2

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：e

c2c2c2c1

2 1 a2aPF1 PF222c 2c2 1

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2

例4：设椭圆2 2 1（a 0,b 0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1

ab

且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵AD l1于D，∴AD为F1到准线l1的距离，根据椭

1

ABAF11 圆的第二定义，e

ADAD2

变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的

离心率为（ ） A

2 B

AF2AD

122

C D

224

解：e

222

12

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围 例5：设 0,

，则二次曲线x2cot y2tan 1的离心率的取值范围为（ ） 4

12 2 1 ,2 A. B. , C. D. 2, 2222

2

2

另：由xcot ytan 1， 0,

22

，得a tan ，b cot , 4

c2tan cot

1 cot2 ∴c a b tan cot ,∴e 2

tan a

2

2

2

2

∵ 0,

22

，∴cot 1,∴e 2，∴e 2，故选D 4

例6：如图，已知梯形ABCD中，AB 2CD，点E分有向线段AC所成的比为 ，双曲线过C、D、

E三点，且以A、B为焦点．当

23

时，求双曲线离心率e的取值范围。 34

解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy，则CD y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线

的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A c,0 ，C ,h ，E x0,y0 ，其中c

c

2

1

AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 2

c

由定比分点坐标公式得x0

c

22

2 c，y h，设双曲线的方程为x y 1，则离

1 21 1 a2b2

cc2h2

1① 心率e ，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得

a4a2b2

c2

将点E的坐标代入双曲线方程得

4a2

h2 2

2 1② 1 b 1

22

ce2h2h2e2

1，∴2 1③ 再将e ①、②得

a4b24b

e2

4

h2 2

2 1④ 1 b 1

22

e2

4 4 1 2 ，∴ 1 23，由题设2 3得： 将③式代入④式，整理得

34e 24233

1 2 ，解得7 e ，所以双曲线的离心率的取值范围为3e 24

,

配套练习

x2y2

1. 设双曲线2 2 1（a 0,b 0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y2 4x的准线重合，

ab

则此双曲线的方程为（ ）

x2y2

A. 1

1224x2y2B. 1

4896x22y2C. 1

33

x2y2

D. 1

36

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A．

1

3

B．

3 3

C．

1 2

D．

2

4x2y2

3．已知双曲线2 2 1的一条渐近线方程为y x，则双曲线的离心率为（ ）

3ab

A

5435

B C D 3324

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

A

2 B

122

C D

224

1

，则该双曲线的离心2

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为率为（ ） A

2

B 2 C 2

2 D 22

x2y2

6．如图，F1和F2分别是双曲线2 2 1（a 0,b 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1

ab

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A

3

B

5 C

5

2

D

3 1

x2y2

7. 设F1、F2分别是椭圆2 2 1（a b 0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c（c为

ab

半焦距）的点，且F1F2 F2P，则椭圆的离心率是（ ）

A

1 1

B C

22 12

D 22

x2y2

8．设F1、F2分别是双曲线2 2 1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 F1AF2 900，且

ab

AF1 3AF2，则双曲线离心率为（ ）

A

5

2

B

2

C

2

D

x2y20

9．已知双曲线2 2 1（a 0,b 0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的

ab

右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A 1,2 B 1,2 C 2, D 2,

x2y2

10．椭圆2 2 1（a b 0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若

ab

MN 2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

1 A． 0,

2

2 B．0, 2

1

C． ,1

2

2

,1 D． 2

a2c

1可得a bc 3.故选D 答案：1.

由 ca

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ a

2b，椭圆的离心率e

cD。

ab4c5

3.双曲线焦点在x轴,

由渐近线方程可得 ,可得e ,故选A

a3a33

x2y22b2a22

c 1，据此求出e＝4.不妨设椭圆方程为2 2 1（a b 0）

，则有 acab2

x2y22b2a21

c ，据此解得e＝2，选C 5.不妨设双曲线方程为2 2 1（a 0，b 0）

，则有ac2abx2r2

6.解析：如图，F1和F2分别是双曲线2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

abOF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，

|AF2|=3c，∴

2a 1)c，双曲线的离心率为1 ，选D。

a2a2c2

,c）7.由已知P（，所以2c ( c)2 (c)2化简得a2 2c2 0 e ca2．cx2y2

8.设F1，F2分别是双曲线2 2 1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，

ab

2c ，∴ 离心

率设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a |AF1| |AF2|

2，e

，选B。 x2y2

9.双曲线2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只

ab

有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

bb，∴ ≥，离心率aa

c2a2 b2

≥4，∴ e≥2，选C e=2

aa2

2

x2y2a2

210.椭圆2 2 1(a b 0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN| ，

abca22

，选D |F1F2| 2c，MN≤ F1F2，则 2c，该椭圆离心率e≥

c2

椭圆离心率e 的求法

x2y2

1.椭圆方程C:2 2 1 a b 0 的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾

ab

斜角为60°， 2,求椭圆的离心率？（焦半径公式PF1 a ex1，PF2 a ex2的应用左加右减，弦长公式d kx1 x2,k为直线的斜率）

2

c

a

x2y2

2.椭圆方程C:2 2 1 a b 0 的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足

abb2

线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的范围？（焦准距的应用）

c

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于a,c的二元二次方程ma nac pc 0解法）

4.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴上的一个端点，线段BF的延长线交C于D,且BF 2FD,则C的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）

2

2

x2y2

5.过椭圆C:2 2 1 a b 0 的左焦点F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF x轴，直线AB交y

ab

轴于点P，若 2，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）

x2y2

6.过椭圆C:2 2 1 a b 0 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若

ab

F1PF2 60 ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积S b2tan

2

( F1PF2)）

2

2

2

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质a b c的应用） 8.椭圆x2 4y2 1的离心率为?（椭圆基本性质a b c的应用）

2

2

2

x2y2

9.椭圆C:2 2 1 a b 0 的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点为M,N，若MN 2F1F2，

ab

则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质a b c的应用）

2

2

2

x2y2

10.设F1,F2分别是椭圆C:2 2 1 a b 0 的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的

abb2

中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线

c

段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）

11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？

2b2a2（通径，焦准距）

ca

x2y2

12.已知椭圆C:2 2 1 a b 0 的左右焦点分别为F1,F2，若椭圆上存在点P使

ababcac

2R，第，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理

sinAsinBsinCsinPF1F2sinPF2F1

一定义PF1 PF2 2a）

13.在平面直角坐标系中，A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为？

（直线方程交点坐标）

14.在 ABC中，AB BC,cosB

2

2

2

7

.若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为？（余18

弦定理a b c 2bccosA，第一定义）

2b2

15.已知正方形ABCD，则以A,B为焦点，且过两点C,D的椭圆的离心率为？（通径）

a

a2

16.已知椭圆的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M。若过点P c,0 作圆M的两条切线相互垂

直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）

M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取17.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，满足MF1 MF2 0的点

值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90°）

18.过椭圆左焦点F且倾斜角为60 的直线交椭圆于A,B两点，若FA 半径公式，弦长公式 kx1 x2）

19.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？

20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？

21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为B1,B2，左右焦点分别为F1,F2，长轴右端点为A，若

2

3

FB，则椭圆的离心率为?（焦2

F2 F2 F2B2 ，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）

x2y2

22.若以椭圆C:2 2 1 a b 0 的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两

ab

a2

点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距）

c

x2y2

23.已知点A 0,b ，B为椭圆C:2 2 1 a b 0 的左准线与x轴的交点，若线段的中点C在椭圆

ab

上，则该椭圆的离心率为？

2x2y2

24.若斜率为的直线l与椭圆C:2 2 1 a b 0 有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的

ab22b2

射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径）

a

25.已知A,B两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若 0，则椭圆C的离心率为？（两直线垂直，有k1 k2 1）

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