2014初三 判别式与韦达定理

姐妹情深----判别式与韦达定理

【知识要点】

一、一元二次方程判别式

1．一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式 b2 4ac， 利用它可以判断一元二次方程的根的情况，即： ① 0 方程有两个不相等的实数根； ② 0 方程有两个相等的实数根； ③ 0 方程没有实数根．

二、一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）

bc

1．如果 x1,x2是方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根，则x1 x2 .x1x2 .

aa

特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，如 x1,x2是方程x2 bx c 0的两个根时，则

x1 x2 b，x1x2 c.

三、一元二次方程根与系数的关系的应用

1．利用根与系数的关系求有关根的代数表达式的值，如求x1 x2,

2

2

11

,(x1 x2)2,x1 x2及相关x1x2

变形式。

2．已知两根或它们之间的关系构造一元二次方程

以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x x1 x2 x x1x2 0．一般地，如果

b

x x 2 1a

有两个数x1,x2满足 那么x1,x2必定是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实

xx c12 a

数根．（韦达定理的逆定理）

3．一元二次方程判别式与韦达定理的综合应用

【经典例题】

【例1】设t是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的1个实数根，则判别式 b2 4ac与平方式

(2at b)2的大小关系是（ ）

（A）> > （B） （C） < （D）不能确定

【例2】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．

【例3】设一元二次方程2x2 7x 1 0两根x1,x2不解方程求下列各式的值： （1）

【例4】 已知方程x2 3x 2 0不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是：（1）已知方程各根的倒数；（2）已知方程各根的平方；（3）比已知方程的一根大1，一个小1．

x2x111

; （2）( 2)( 2); （3

x1x2x1x2

【例5】.设实数s、t分别满足19s2 99s 1 0，t2 99t 19 0并且st 1.求

st 4s 1

的值。 t

【例6】已知x、

y是正整数，并且xy x y 23，x2y xy2 120，则x2 y2 ．

22

【例7】已知实数a、b满足a ab b 1，且t ab a2 b2，求t的取值范围．

【例8】已知关于x

的一元二次方程5x2 5q 0 p 0 有两个相等的实数根． 求证：（1）方程x2 px q 0有两个不相等的实数根；

（2）设方程x2 px q 0有两个实数根是x1,x2，若x1 x2，则

x12 ． x23

【课堂练习】

1．若关于x的一元二次方程(m 2)2x2 (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )

A．m B．m C．m

34

3433

且m 2 D．m 且m 2

44

2．已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，那么关于x的方程a(x2 1) 2cx b(x2 1) 0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

3．如果关于x的方程(m 2)x2 2(m 1)x m 0只有一个实数根，那么方程mx2 (m 2)x (4 m) 0的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根

4．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a 3，b和c是 关于x

2

的方程x mx 2

1

m 0的两个实数根，求△ABC的周长． 2

5．已知方程x2 6x 1 0的两根为 、 .试求：

（1） ； （2） 3 3 （3）

1

1

6．以方程8x2 2x a 0的二根之和与积为两根。作一新方程为4x2 6x b 0，求a、b的值。

7．如果方程x2 px q 0的根是另一根的3倍，求p、q之间的关系.

8．已知a、b、c是三角形三条边的长，求证：方程b2x2 b2 c2 a2 x c2 =0没有实数根．

9．是否存在常数k，使关于x的方程9x2 (4k 7)x 6k2 0的两个实数根x1,x2满足

x13

=，如果x22

存在，试求出所有满足条件的k值；如果不存在，请说明理由.

【课后作业】

2

1．已知关于x的方程x (k 2)x 2k 0，

(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

2．已知方程x2 2x 5 0，不解方程，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使得它的根分别是：（1）已知方程两根的倒数；（2）已知方程两根的立方．

3．关于x的一元二次方程(2m-1)x2-4mx＋m＋3＝0的两个实数根绝对值相等，求m的值．

2

a 9 0及9b2 2001b 5 0，求4．若ab 1，且有5a 2001

a

的值 b

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