概率与数理统计历年考研试题及解答（数一、数三、数四）

概率与数理统计历届真题

第一章 随机事件和概率

数学一：

1（87，2分） 设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 。

2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

3（88，2分）

设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于

。

19，则事件A27。

在一次试验中出现的概率为

4（88，2分）

在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件―两数之和小于

6‖的概率为 5 5（89，2分） 已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B | A）=0.8，则和事件A?B的概率P（A?B）= 。 6（89，2分） 是甲射中的概率为

7（90，2分）

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它 。 设随机事件A，B 及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那

。

么积事件AB的概率P（AB）=

8（91，3分）

随机地向半圆0

的面积成正比。则原点与该点的连线与x轴的夹角小于

9（92，3分）

?的概率为 。 411已知P（A）=P（B）=P（C）=,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，则事件A、B、C全不

416发生的概率为 。

10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

11（94，3分） 已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则P（B）= 。

12（96，3分） 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。

13（97，3分） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。

14（98，3分） 设A、B是两个随机事件，且00, P(B | A)=P(B | A)，则必有 （A）P（A | B）= P(A|B) （C）P（AB）= P(A)P（B）

（B）P（A | B）≠P(A|B) （D）P（AB）≠P(A) P（B）

1

15（99，3分） 设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）<

1，且已知2P(A?B?C)?9，则P（A）= 16 。

16（00，3分） 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为的概率相等，则P（A）=

。

1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生917（06，4分） 设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).

（B）P(A?B)?P(B).

（D）P(A?B)?P(B).

数学三：

1（87，2分） 若二事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则 （A）A和B不相容（互斥）。 （B）AB是不可能事件。 （C）AB未必是不可能事件。 （C）P（A）=0或P（B）=0

[ ] 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求

（1） 先取出的零件是一等品的概率p;

（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。

3（88，2分）

设P（A）=0.4, P(A?B)?0.7，那么

（1）若A与B互不相容，则P（B）= ； （2）若A与B相互独立，则P（B）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A，B，C满足等式A?C?B?C，则A=B

（ ）。 5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（89，3分）

以A表示事件―甲种产品畅销，乙种产品滞销‖，则其对立事件A为：

（A）―甲种产品滞销，乙种产品畅销‖。 （B）―甲、乙两种产品均畅销‖。 （C）―甲种产品滞销‖。

（D）―甲种产品滞销或乙种产品畅销‖。

[ ]

7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为 。

8（90，3分）

80，则该射手的命中率为 81设A、B为二随机事件，且B?A，则下列式子正确的是

（B）P(AB)?P(A)

（D）P(B?A)?P(B)?P(A)

2

（A）P(A?B)?P(A) （C）P(B|A)?P(B)

[

9（90，4分） 从0，1，2，…，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A1={三个数字中不含0和5}； A2={三个数字中不含0或5}。

10（91，3分） 设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：

（A）A与B不相容。

（B）A与B相容。 （D）P(A?B)?P(A)

]

（C）P(AB)?P(A)P(B)。

11（92，3分） 将C，C，E，E，I，N。S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为 。

12（92，3分） 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 （A）P(C)?P(A)?P(B)?1 （C）P(C)?P(AB)

（B）P(C)?P(A)?P(B)?1 （D）P(C)?P(A?B)

[

]

13（93，3分） 设两事件A与B满足P(B|A)?1，则 （A）A是必然事件。 （C）A?B。

（B）P(B|A)?0。 （D）A?B。

14（94，3分） 设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则事件A和B

（A）互不相容。 （B）互相对立。 （C）不独立。 （D）独立。 [ ]

15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

16（96，3分） 已知0?P(B)?1,

且P[A1?A2)|B]?P(A1|B)?P(A2|B)，则下列选项成立的是

（A）P[(A1?A2)|B]?P(A1?B)?P(A2|B) （B）P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B) （C）P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B) （D）P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)

2 [ ]

17（96，6分） 考虑一元二次方程x?Bx?C?0,其中B、C分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。

18（98，9分） 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

3

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

19（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件―电炉断电‖，而T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于

（A）{T(1)?t0} （C）{T(3)?t0}

（B）{T(2)?t0} （D）{T(4)?t0}

[

]

20（03，4分） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，

A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

（A）A1,A2,A3相互独立。 （C）A1,A2,A3两两独立。 数学四：

1（87，2分） 对于任意二事件A和B，有P（A-B）= （A）P（A）-P（B）。 （B）P（A）-P（B）+P（AB）。 （C）P（A）-P（AB）。

（D）P（A）+P（B）-P（AB）。[

]

（B）A2,A3,A4相互独立。 （D）A2,A3,A4两两独立。

2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：

（1） 先取出的零件是一等品的概率p；

（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 3（88，2分） 设P（A）=0.4, P(A?B)=0.7，那么

（1）若A与B互不相容，则P（B）= ； （2）若A与B相互独立，则P（B）= 。 4（88，2分）（是非题） 若事件A，B，C满足等式A?C=B?C，则A=B。（

）

5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1） 顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（89，3分）

以A表示事件―甲种产品畅销，乙种产品滞销‖，则其对立事件A为：

（A）―甲种产品滞销，乙种产品畅销‖。 （B）―甲、乙两种产品均畅销‖。 （C）―甲种产品滞销‖。

（D）―甲种产品滞销或乙种产品畅销‖。

7（90，4分） 从略，1，2，…，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率： A1={三个数字中不含0和5}； A2={三个数字中含0但不含5}。 8（91，3分）

设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（AB）=

4

。

9（91，3分）

设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：

（B）A与B相容。

[ ]

（A）A与B不相容。

（C）P（AB）=P（A）P（B） （D）P（A-B）=P（A）

10（92，3分） 设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=则A，B，C至少出现一个的概率为 。

11（92，3分） 设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则 （A）P（C）=P（AB）。 （B）P（C）=P（A?B）

11，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，48（C）P（C）≤P（A）+P（B）-1。 （D）P（C）≥P（A）+P（B）-1。 [ ]

12（93，3分） 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

13（94，3分） 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。

14（94，3分） 设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，P（A | B）+P（A| B）=1，则事件A和B

（A）互不相容。 （B）互相对立。

（C）不独立。 （D）独立。 [ ]

15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

（1） 全部能出厂的概率α;

（2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

16（96，3分） 设A，B为随机事件且A?B，P（B）＞0，则下列选项必然成立的是 （A）P（A）＜P（A | B）。 （B）P（A）≤P（A | B）。 （C）P（A）＞P（A | B）。 （D）P（A）≥P（A | B）。 [ ] 17（97，3分） 设A，B是任意两个随机事件，则 P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}= 。

18（98，3分） 设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。

19（98，3分） 设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1。则在下列给定的四对事件中不相．

互独立的是

（A）A?B与C。

（B）AC与C。 （D）AB与C。

[

]

（C）A?B与C。

20（00，3分） 设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是 （A）A与BC独立。 （B）AB与A?C独立。 （C）AB与AC独立。 （D）A?B与A?C独立。 [ ]

21（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件―电炉断电‖，设T（1）≤T（2）≤T（3）≤T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件

（A）{T（1）≥t0}. （B）{T（2）≥t0}. （C）{T（3）≥t0}. （D）{T（4）≥t0}. [ ]

5

22（01，3分） 对于任意二事件A和B，与A?B=B不等价的是 ．．．（A）A?B。

（B）B?A. （D）AB?Φ。

[

]

（C）AB?Φ。

23（02，8分） 设A，B是任意二事件，其中0＜P（A）＜1。证明： P（B | A）=P（B | A）是A与B独立的充分必要条件。

24（03，4分） 对行任意二事件A和B， （A） 若AB≠Φ，则A，B一定独立。 （B） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。 （C） 若AB=Φ，则A，B一定独立。 （D） 若AB=Φ，则A，B一定不独立。

25（06，4分）设A,B为两个随机事件，且P(B)?0，P(A|B)?1则有（ ） （A）P(A?B)?P(A) （C）P(A?B)?P(A)

（B）P(A?B)?P(B) （C）P(A?B)?P(B)

考研数学概率与统计历年真题答案

第一章

数学一：

5320117311; 3. 4. 5.0.7 6. 7.0.3 8. ? 1205332542?3132129. 10. 11. 1-p 12. 13. 14.(C) 15. 16. 17. (C) 8675431.

1?(1?p)n; (1?p)n?np(1?p)n?1

2.

数学二： 1. (C) 2.11.

2; 0.486 3.0.3; 0.5 54. 非 5. 0.943; 0.848 6. (D) 7.

(D)

2714 8.(A) 9. ; 10. (D) 315151 12. 1260(B) 13. (D) 14.

n?2nn?115. 0.94n; Cn?0.94n?2?0.062; 1?Cn?0.94n?Cn?0.94n?1?0.06 16.

(B) 17.

191; 361818.

2920; 19. (C) 20. (C) 9061277; 8. 0.6 ; 0.486 3. 0.3; 0.5 4. 非 5. 0.943; 0.848 6. (D) 7.

5153051210. 11. (D) 12. 13. 14. (D)

853数学四： 1. (C) 2. 9. (D)

n?2nn?115. 0.94; Cn?0.94n?2?0.062; 1?Cn?0.94n?Cn?0.94n?1?0.06

16. (B) 17.0 18.

1; 5 19. (B) 20.(A) 21.(C) 22.(D) 23. (B) 24. (B) 25. (C) 26

第二章 随机变量及其分布

数学一：

1（88，2分）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。已知

?(x)??x12???e?u22则X落在区间（9.95, 10.05）内的概率为 du,?(2.5)?0.9938， 。

2（88，6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?13，求随机变量Y=1-X的概率密度函数2?(1?x)fY(y)。

3（89，2分） 。

4（90，2分） = 。

设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y?X在（0，4）内的概率分布密度fY(y)?设随机变量X的概率密度为

2设随机变量?在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程x2??x?1?0有实根的概率是 已知随机变量X的概率密度函数f(x)?1?|x|e，???x???，则X的概率分布函数F（x）25（93，3分） 。 6（95，6分）

?e?xfX(x)???0,Xx?0 x?0求随机变量Y?e的概率密度fY(y)。

7（02，3分）

设随机变量X服从正态分布N(?,?2)(??0)，且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为。

21，则?? 2

8（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于

(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? . [ ]

2

29（06，4分） 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且

P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},

（A）?1??2. （C）?1??2.

7

（B）?1??2. （D）?1??2.

数学三：

1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。

2（87，4分） 已知随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.2，P{X=2}=0.3, P{X=3}=0.5试写出其分布函数F(x). 3（88，6分） 4（89，3分）

设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y?e设随机变量X的分布函数为

2X

的概率密度f(y)。

??0,若x?0???F(x)??Asinx,若0?x?

2???1,若x??2?则A=

，P{|X|??6}= 。

5（89，8分） 设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值

大于3的概率。

6（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

[附表]：

x?(x)00.5000.50.6921.00.8411.50.9332.00.9772.50.9943.00.999 表中?(x)是标准正态分布函数。

7（91，3分） 设随机变量X的分布函数为

若x??1?0,??0.4,若-1?x?1F(x)?P(X?x)??

0.8,若1?x?3??若x?3?1,则X的概率分布为 。

8（91，5分） 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。 9（92，7分） 设测量误差X~N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。 [附表]：

?e??10.36820.13530.05040.01850.00760.00270.001? ?10（93，8分） 设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布。 （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

8

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。 11（94，3分） 设随机变量X的概率密度为

?2x,0?x?1 f(x)??0,其他?以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X?}出现的次数，则P{Y?2}? 12 。

12（95，3分） 设随机变量X~N（μ，σ2），则随着σ的增大，概率P(|X??|??)

（A）单调增大。 （C）保持不变。

（B）单调减小。 （D）增减不定。

13（97，7分） 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X??1)?11,P(X?1)?。在事件{-1

14（00，3分） 设随机变量X的概率密度为

?1?3,??f(x)??2,?9???0,若x?[0,1]若x?[3,6] 其他2,则k的取值范围是 3 。

若k使得P{X?k}?15（03，13分） 设随机变量X的概率密度为

?1?32,?3xf(x)???0,??

若x?[1,8]

其他F(x)是X的分布函数.求随机变量Y?F(X)的分布函数.

16（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α, 若

P{|X|?x}?α, 则x等于

(A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ ]

22217（06，4分） 设随机变量X服从正态分布N?1,?1,随机变量Y服从正态分布N?2,?2,且

????P?X??1?1??P?Y??2?1?,则必有 ( )

9

(A)(B) (C) (D)

?1??2 ?1??2

?1??2 ?1??2

数学四：

1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。（ ）

2（88，6分） 设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度f(y). 3（89，3分） 设随机变量X的分布函数为

??若x?00,???F(x)?Asinx,若0?x?

2?1,??若x??2?则A=

，P{|X|＜

?＝ 6 。

4（89，8分） 布密度为

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分

x?1?600e,若x?0?f(x)=?600

若x?0?0,?试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。

5（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

x00.51.01.52.02.53.0?(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999 表中Φ（x）是标准正态分布函数。 6（91，7分） 在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求

（1） 该电子元件损坏的概率α；

（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。

x0.100.200.400.600.801.001.201.40?(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919 表中Φ（x）是标准正态分布函数。

7（92，7分） 设测量误差X～N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

?e??1234567? 0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001?10

8（93，8分） 设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λ的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。 9（94，7分） 设随机变量X的概率密度为

f(x)=??2x,0?x?1

其他?0,现对X进行n次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Vn的概率分布。

10（95，3分） 设随机变量X～N（μ，σ2），则随着σ的增大，概率P﹝|X-μ|＜σ﹞ （A）单调增大。 （B）单调减小。 （C）保持不变。 （D）增减不定。 11（95，7分） 设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布。 12（96，3分） 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi=

1(i=1，2，3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则P（X=2）= i?1 。

13（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若

P{X≥1}=

5，则P{Y≥1}= 9 。

14（97，8分） 设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=

11，p{X=1}=，在事件{-1

（1） X的分布函数F(x)?p{X?x};

（2） X取负值的概率。

15（99，3分） 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数 （A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点

16（03，13分） 设随机变量X的概率密度为

?1?32,若x?[1,8] f(x)??3x?其他?0,F（x）是X的分布函数，求随机变量Y=F（X）的分布函数。

17（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α, 若

P{|X|?x}?α, 则x等于

(A) uα. (B) u1?α . (C) u221?α2. (D) u1?α. [ ]

2218（06，4分）设随机变量X服从正态分布N(u1,?1)，随机变量Y服从正态分布N(u2,?2)，且

P{|X?u1|?13)?P{|Y?u2|?1)，则必有（ ）

（A）?1??2

（B）?1??2

（C）u1?u2

11

（D）u1?u2

第二章 参考答案

数学一： 3(1?y2)1. 0.9876

3.

45 ?1y?1?2当0?y?45.

?4?

??0其他?7. 4 9. (A) 数学三：

1. 是 ??1e2?y?e43.

?2y?

4. 1;

1??0其他2 ?x?1137.

p0.40.40.29. 0.962; 0.871

11.

964 12. (C) 13.

14. [1, 3]

16. (C) 17. (A)

2.

?[1?(1?y)6]

y?R

??1x2e当x?0 4.

??

???1?1?x2e当x?0??1y2当y?1

6.

??

??0其他? 8. (C) ??0x?1 2.

??0.21?x?2?0.52?x?3

??13?x 5. 2027 6. 0.682

x0123

8.

p11112488t)???1?e??t10. F(t?0?0t?0; Q?e?8? ?x??1F(x)??0?5(x?1)?1?1?x?1 ?11618?x?1?y?0

15. ?0?y0?y?1 ??1y?112

数学四：

1. 是 2.

?1?2y???0??e2?y?e4

其他3. 1;

1 2

4. 1-e-1

6. 0.064; 0.009

5. 0.682

7. 0.96; 0.87

?1?e??t?8. F(t)???0?t?0; Q?e?8?

t?09.

kp(Vn?k)?Cn?0.01k?0.99n?k

(k?0.1,?,n)

12.

10. (C)

111 13. 243

?0?5114. F(x)??(x?1)?18?16?115. (D)

x??1?1?x?1 x?1

?0?16. ?y?1?y?00?y?1 ; 1 y?117. (C) 18. (A)

13

第三章 二维随机变量及其分布数学一：

1（87，6分） 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为

?1,0?x?1 fX(x)???0,其他?e?y,fY(y)???0,y?0 y?0求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。

2（91，6分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?2e?(x?2y)f(x,y)???0,求随机变量Z=X+2Y的分布函数。

3（92，6分）

x?0,y?0

其他设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布N(?,?2)，Y服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y

的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中?(x)?e?2???1x?t22(dt)。

X0121 则随机

4（94，3分） 设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为

p变量Z=max{X，Y}的分布律为 。

5（95，3分） 设X和Y为两个随机变量，且

12P{X?0,Y?0}?34,P{X?0}?P{Y?0}? 77

。

则P{max(X,Y)?0}?

6（98，3分）设平面区域D由曲线y?1及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域Dx上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。 7（99，3分） 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则

1 21（C）P{X?Y?0}?

2（A）P{X?Y?0}?

1 21（D）P{X?Y?1}?

2（B）P{X?Y?1}? 8（99，8分） 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y X x1 x2 y1 1/8 1/6 y2 1/8 y3 P{X?xi}?p?j 1 p{Y?yj}?p?j 9（02，3分）

设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度

14

分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则

（A）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度； （B）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度； （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数； （D）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 10（03，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

[

]

?6x,0?x?y?1 f(x,y)??其他?0则P{X?Y?1}=

。

11（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y

X 0

1

0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 （A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1 （D）a=0.3, b=0.2 （D）a=0.1, b=0.4 [ ]

13（05，9分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??0,其他? 求：（I）（X，Y）的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X－Y的概率密度fZ(z).

14（06，4分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P?max{X,Y}?1?= .

?1?2,?1?x?0??1215（06，9分）随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函

?4?0,其他??数.

15

(Ⅰ)求Y的概率密度fY?y? (Ⅱ)F?? 数学三：

1（90，3分）

设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为

?1?,4? 2??mP{X?m}?1121

mP{Y?m}?1121 1212

则下列式子正确的是：

（A）X?Y

（B）P{X?Y}?0 （D）P{X?Y}?1

（C）P{X?Y}?1 22（90，5分） 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为：

?1?e0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y)F(x,y)??0,?若x?,y?0

其他（1） 问X和Y是否独立？

（2） 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。

3（92，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?e?y,0?x?y f(x,y)??其他?0,（1） 求X的概率密度fX(x); 求P{X?Y?1}。

4（94，8分）

设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立且同分布，

P(Xi?0)?0.6,P(Xi?1)?0.4(i?1,2,3,4)。

求行列式

X?的概率分布。

5（95，8分）

X1X3X2X4

已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为

?4xy,f(x,y)???0,若0?x?1,0?y?1其他16

求（X，Y）的联合分布函数。 =

6（97，3分）

设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P（X=-1—）=P（Y=-1）=

1，P（X=1）=P（Y=1）21，则下列各式成立的是 21 （A）P(X?Y)?

21 （C）P(X?Y?0)?

47（98，3分）

（B）P(X?Y)?1 （D）P(XY?1)?1 4 [ ]

设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)?a1F1(x)?bF2(x)是某一随

机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

32,b?? 5513（C）a?,b?

22（A）a?

22,b? 3313（D）a?,b??

22（B）a?8（99，3分）

???1设随机变量Xi~???1??4012?1??(i?1,2), ?1?4??且满足P{X1X2?0}?1,则P{X1?X2}等于

（A）0

（B）

1 4 （C）

1 2 （D）1 [ ]

9（01，8分）

设随机变量X和Y的联合分布是正方形G?{(x,y:1?x?3,2?y?3}上的均匀分布。试求随

机变量U?|X?Y|的概率密度p(u)。

10（03，13分） 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

?1?X~??0.3?

Y X 0 0 1

1

a 0.1

2??? 0.7??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

11（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

0.4 b

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则a =_____________, b =_____________. 13（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

17

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??0,其他.?

求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度fZ(z); （III）P?Y?

??11?X??. 22?14（06，4分） 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布,则

P?max?X,Y??1??_________

数学四：

1（90，6分） 甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表

示甲和乙的命中次数，试求（X，Y）的联合概率分布。

2（93，3分） 设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N（μ，42），Y～N（μ，52），记p1=P{X≤μ-4}， p2=P{Y≥μ+5}，则

（A） 对任何实数μ，都有p1=p2。 （B） 对任何实数μ，都有p1=＜p2。 （C） 只对μ的个别值，才有p1=p2。 对任何实数μ都有p1=＞p2。

3（96，7分） 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。

4（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若P{X≥0}=

5，则P{Y≥1}= 9 。

5（98，3分）

设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量

的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

32,b?? 5513（C）a??,b?

22（A）a?

22,b? 3313（D）a?,b??

22

（B）a?6（99，9分） 设二维随机变量（X，Y）在矩形G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的

矩形面积S的概率密度f(s)。

7（99，8分） 已知随机变量X1和X2的概率分布

???10X1~???11?42?而且P{ X1X2 =0}=1。

（1） 求X1和X2的联合分布：

??1??0?,X~??2?1??1??4??2?1?? ?1??2?18

（2） 问X1和X2是否独立？为什么？ 8（02，3分）

设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分

布函数分别为F1(x)和F2(x)。则

（A）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度。 （B）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 （D）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度。

9（04，13分） 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X?x(0?x?1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率P{X?Y?1}．

10（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= . 11（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y X 0 0 1

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4 C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 12（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

1

a 0.1

0.4 b

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??0,其他.?

求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度fX(x),fY(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度fZ(z); （III）P?Y?

??11?X??. 22?]的均匀分布，则 13（06，4分） 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[1,3上P{max(x,y)?1}? 19

14（06，13分） 设二维随机变量（X,Y）的概率分布为

Y X -1 0 1

其中a,b,c为常数，且x的数学期望EX??0.2，P{x?0,y?0}?0.5，记Z?X?Y 求：（1）a,b,c的值 （2）Z的概率分布 （3）P{X?Z}

第三章 参考答案

数学一：

-1 0 0 b 0.1 1 0.2 0.2 c a 0.1 0 1.

??0??1fZ(Z)??(1?e?z)?2?1(e2?1)e?Z??2Z?00?Z?2 Z?2Z?0

?1?e?Z?Ze?Z?2. FZ(Z)???0?3.

Z?01Z?u??Z?u??[?()??()] 2???Z4. 0141

p5. 8. 346.

5 71 4 7. (B)

Y X Y1 1 241 81 610.

Y2 1 83 81 21 4Y3 pi 1 43 41 X1 X2 p?j 9. (D)

1 121 41 320

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