研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二

1．化下列矩阵为Smith标准型：

1 （1）

1 2 2

; 2 2

00

00

（2）

0( 1)2 2

0

2

2

00

0 ; 0 0

3 2 2 32 1 2 2 3 （3） 4 2 3 53 2 2 3 4 ;

2 4 2 1

301 2 4 3 60 22 (4) 06 2 0 . 10 100 00 3 31 2 2

解：（1）对矩阵作初等变换

1 1 2

2

1 2 1 2 2

0 0 c c r r

1 2 2 00 ( 1) 2 2

1

3

3

1

10

c2 c1 0 c3 c1

00 10

c3 c2 0 r1 ( 1)

( 1) 00

1

；

( 1)

0 ， ( 1)

则该矩阵为Smith标准型为

（2）矩阵的各阶行列式因子为

D4( ) 4( 1)4,D3( ) 2( 1)2,D2( ) ( 1),D1( ) 1,

从而不变因子为

d1( ) 1,d2( )

D2( )D( )D( )

( 1),d3( ) 3 ( 1),d4( ) 4 2( 1)2

D1( )D2( )D3( )

故该矩阵的Smith标准型为

000 1 0 ( 1) 00 ； 0 0 ( 1)0 22 000 ( 1)

（3）对矩阵作初等变换

3 2 2 32 1 2 2 3 c c 3 2 22 1 2 2

2 c13 c32 2 224 3 53 2 3 4 4 33 2 2 22 4 2 2 2 1 1 4 7 2 6 3 2 2 4 50

r2 r12

1 102

r1 ( 2)r3

2 2 21 4 7 2 6 3 2 2 4 50 c1 ( 2 2)c32

1 10c2 ( 2)c3

001 3 2 1 3 2 2 4 50 c1 ( 1)c2

0 10

001

3 2 100 00 1 2 r1 r3r1 ( 5)r2 0 1 0 10 0r1 ( 1) c1 c3

2 001 0( 1)( 1) 0

故该矩阵的Smith标准型为

1

1 ;

2

( 1)( 1)

(4)对矩阵作初等变换

301 001 2 0

4 0 3 60 22 00 22 c1 2c5

c2 3c3

0 06 2 0 0 2 0 10 100 10 100 00 00 3 31 2 2 3 31 2 2

001 001 0 0

0 0 00 22 00 0c1 3c2 r2 2r1 c3 2c2c3 c1 0 00 2 0 0 2 0

10 100 10000 000 01 01 000 0010 0 10 0 0 22 r2 r1000 c4 2c3 c1 c4 c5 c4c2 c5 0 000 00

10000 00 01 000 00

在最后的形式中，可求得行列式因子

00

00

0

00 00

10 01

D5( ) 3( 1)2,D4( ) ( 1),D3( ) D2( ) D1( ) 1,

于是不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( )

故该矩阵的Smith标准形为

D( )D4( )

( 1),d5( ) 5 2( 1)D3( )D4( )

1

0 0 0 0

0010010000

00 . 00

( 1)0

2

0 ( 1)

00

2.求下列 矩阵的不变因子：

0 2 1

；

2 1（1）0

0 2 0

（2）

0 0 0（3）

0 5

1

000

10

0 1 ；

04

0 10 ； 1

3 2

01 2 0

0 1 20 . （4） 1 200 2000

解：（1）该 矩阵的右上角的2阶子式为1，故

D1( ) D2( ) 1,

而

D3( ) ( 2)3，

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) 1,d3( ) ( 2)2;

（2）当 0时，由于

D4( ) ( )4,D3( ) ( )2，D2( ) D1( ) 1，

故不变因子为

d1( ) d2( ) 1，d3( ) ( )2,d4( ) ( )2

当 0时，由于

D4( ) [( )2 2]，

且该 矩阵中右上角的3阶子式为

2 ( ),且( 2 ( ),D4( )) 1，

则D3( ) 1，故D2( ) D1( ) 1，所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) [( )2 2];

（3）该 矩阵的右上角的3阶子式为 1，故

D1( ) D2( ) D3( ) 1,

而

D4( ) 4 2 3 3 2 4 5，

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1, d4( ) 4 2 3 3 2 4 5;

（4）该 矩阵的行列式因子为

D1( ) D2( ) D3( ) 1,D4( ) ( 2)4,

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) ( 2)4.

3．求下列 矩阵的初等因子：

3 2 3 1（1） 3 ； 232

2 32 2 3 2 2 2 1 2 2 1 （2） 3 . 22

2 2 12 2

解：(1)该 矩阵的行列式因子为

D1( ) 1,D2( ) ( 1)( 1)2，

故初等因子为 1,( 1)；

(2) 该 矩阵的行列式因子为

2

D1( ) 1,D2( ) ( 1)( 1)2，

故不变因子为

d1( ) 1,d2( ) ( 1)( 1),

因此，初等因子为 1, 1, 1.

4．求下列矩阵的Jordan标准形：

5 2 7 3 3 131616 4

； （2） 2 21 ；

2（1） 5 7 6；（3） 2 5

4 103 6 8 7 1 11

11 1 033 1

（4） 3 33 ；（5） 186 ；（6） 0 2 22 2 14 10

0 0

解：（1）设该矩阵为A，则

100

E A 010 ，

00( 1)2

( 3)

故A的初等因子为

( 1)2( 3)，

则A的Jordan标准形为

300 011 ； 01 0

（2）设该矩阵为A，则

10

0 E A 010 ，

00( 1)3

故A的初等因子为

( 1)3，

从而A的Jordan标准形为

110 011 ； 01 0

234

123 012

. 001

（3）设该矩阵为A，则

0 10

,

E A 010

2

00( 1)( 1)

故A的初等因子为

1, i, i,

从而A的Jordan标准形为

100 0 i0 ; 00i

（4）设该矩阵为A，则

10 E A 0

00

故A的初等因子为

0

0 , 2

, 2，

从而A的Jordan标准形为

000

001 ; 000

（5）设该矩阵为A，则

0 10

,

E A 010

2

00 ( 1)

故A的初等因子为

,( 1)2，

从而A的Jordan标准形为

000 0 11 ; 00 1

（6）设该矩阵为A，则

3 4 1 2 0 1 2 3 ， E A 00 1 2 000 1

该 矩阵的各阶行列式因子为

D1( ) D2( ) D3( ) 1,D4( ) ( 1)4，

则不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) ( 1)4，

故初等因子为

( 1)4，

则A的Jordan标准形为

1 0 0 0

5．设矩阵

100 110 . 011

001

142

，

A 0 3 4

043

求A.

解：矩阵A的特征多项式为

5

fA( ) I A ( 1)( 5)2，

故A的特征值为 1 1, 2 3 5.

属于特征值 1 1的特征向量为 1 (1,0,0),

属于 2 3 5的特征向量为 2 (2,1,2), 3 (1, 2,1). 设

T

T

T

121 100

, 050 ,

P [ 1, 2, 3] 01 2

021 005

则A P P.,故

1

14 54

A5 P 5P 1 0 3 54

04 54

6.设矩阵

3 54 1

4 54 . 3 54

2 1 1 ，

A 2 1 2

112

求A的Jordan标准形J，并求相似变换矩阵P，使得PAP J.

解:(1) 求A的Jordan标准形J.

1

11 100 2

0 1 ,

I A 2 120

2

1 2 0( 1) 1 0

故其初等因子为

1,( 1)2，

故A的Jordan标准形

100

.

J 011

001

(2)求相似变换矩阵P.

考虑方程组

111 x1

x 0,

222(I A)X 0,即 2

x 3 1 1 1

解之,得

1 0

X1 0 ,X2 1 .

1 1

其通解为

k1

k1X1 k2X2= k2 ,

k k 12

其中k1,k2为任意常数.

考虑方程组

111 x1 k1 222 x k , 2 2

x k k 3 1 1 1 12

k1 111k1 111

222 000 2k k ,

k212

1 1 1k1 k2 0002k1 k2

故当2k1 k2 0时,方程组有解.

取k1 1,k2 2,解此方程组,得

0

X3 0 .

1

则相似变换矩阵

100

.

P [X1,X2,X3] 010

1 11

7.设矩阵

102

，

A 0 11

010

试计算2A 3A A A 4I. 解: 矩阵A的特征多项式为

8

5

4

2

fA( ) I A 3 2 1,

由于

2 8 3 5 4 2 4 ( 3 2 1)f( ) (24 20 37 10),

其中f( ) 2 4 5 9 14. 且

5

3

2

A3 2A I O,

故

348 26

.

095 612A8 3A5 A4 A2 4I=24A2 37A 10I 0 6134

8.证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵A可以表示为A的多项式. 证明:设矩阵A的特征多项式为

1

fA( ) I A n a1 n 1 a2 n 2 an 1 an,

则

An a1An 1 a2An 2 an 1A anI O,

即

A(An 1 a1An 2 a2An 3 an 1I) anI,

因为A可逆,故an ( 1)A 0,则

n

A 1

9.设矩阵

1n 1

(A a1An 2 a2An 3 an 1I) an

2 1 A ，

13

试计算(A 5A 6A 6A 8I).

解: 矩阵A的特征多项式为

4

3

2

1

fA( ) I A 2 5 7,

则

A2 2A 7I O,

而

4 5 3 6 2 6 8 ( 2 5 7)( 2 1) 1,

故

1

1 1 1 21

(A4 5A3 6A2 6A 8I) 1 (A I) 1 . 12 113

10.已知3阶矩阵A的三个特征值为1，－1，2，试将A表示为A的二次式. 解: 矩阵A的特征多项式为

2n

fA( ) I A ( 1)( 1)( 2),

则设

2n f( )g( ) a 2 b c,

由f(1) 0,f( 1) 0,f(2) 0,得

a b c 1,

a b c 1, 4a 2b c 22n.

解之，得

11

a (22n 1),b 0,c (22n 4),

33

因此

11

A2n aA2 bA cI (22n 1)A2 (22n 4)I.

33

11.求下列矩阵的最小多项式：

31 1 4 22

（2） 57 5 ； （1）020；

111 67 4

（3）n阶单位阵In；（4）n阶方阵A，其元素均为1；

a0

a1

（5）B

a2 a3

a1a0a3 a2

a2 a3a0a1

a3 a2 . a1 a0

31 1 解:(1) 设A 020,则 111

1 100 3 1

0 2 ,

I A 0 200

2

1 1 0( 2) 1 0

故该矩阵的最小多项式为( 2).

2

4 22 (2) 设A 57 5,则 67 4

I A ( 2)( 2 5 11),

故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为( 2)( 5 11)

(3) n阶单位阵In的最小多项式为m( ) 1. (4) 因为

2

I A n 1( n),

又A nA,即A nA O,故该矩阵的最小多项式为 ( n).

(5)因为

2222

I B [ 2 2a0 (a0 a12 a2 a3)],

22222

而m( ) 2a0 (a0 a1 a2 a3)是 I B的因子,经检验知m( )是矩

22

阵B的最小多项式.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/971i.html