广东省佛山一中2013届高三第二次段考数学（文）试题

佛山一中2013届高三第二次段考

数学（文）试题

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．函数y?A．????1?2x的定义域为集合A，函数y?ln?2x?1?的定义域为集合B，则A?B?( )

11??11,? B．??,22??22?? ?nC．???,???1?? 2?D．

?1? ,????2??

2．已知数列?an?的通项公式是an???1?

3．函数y?sin2x?3cos2x在

?n?1?，则a1?a2?a3???a10?( )

A．?55 B．?5 C．5 D．57

????上的最大值（ ）

?6,3???32 A．1 B．2 C．3 D．

?x?04．若不等式组??x?3y?4所表示的平面区域

?3x?y?4?被直线y?kx?43分为面积相等的两部分，则k的值是

3743（ ） A． B． C．

73D．

34

5. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输 出的B 等于（ ）

A．63 B．31 C．15 D．7

6．设a，b为正实数，则“a?b”是“a?1a?b?1b”

成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知f1?x??sinx?cosx，fn?1?x?是fn?x?的导函数， 即f2?x??f1??x?，f3?x??f2??x?，?，

fn?1?x??fn??x?，n?N*，则f2011?x??( )

A．sinx?cosx B．sinx?cosx C．?sinx?cosx D．?sinx?cosx

·1·

8. 设双曲线

xa22?yb22x+1相切，则该双曲线的离心率?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y =

2

等于( )A．3 B．2 C．5 D．6 ????3????1????2????9．点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1内一点，且满足AP?AB?AD?AA1，则点

423P到棱AB的距离为( )

A．

56 B．

34 C．134 D．14512

10．如果函数f?x??x?a?x?22?a?0?没有零点，则a的取值范围为( )

A．?0,1? B．?0,1???2,?? C．?0,1??(2,??) D．0,??2??2,???

?

二、填空题：（每小题5分，共20分）

???11．若tan????=3，则tana的值为 ．

?4?

12．若关于x的不等式m?x?1??x?x的解集为?x1?x?2?，则实数m的值为 ．

2

13．已知空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD， CD⊥AB，且AB＝2，BC＝5，

CD＝7，则AD＝ ．

14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1?12，2?6，3?4三种，其中3?4是这三种分解中，

两数差的绝对值最小的，我们称3?4为12的最佳分解．当p?q?p?q且p,q?N*?是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f?n??f?7??17pq，例如f?12??47349.关于函数f?n?有下列叙述： ①.其中正确的序号为 （填

，②f?24??38，③f?28??，④f?144??16入所有正确的序号）．

三、解答题（共80分） 15．（本小题满分12分）

如图1，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方

向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东?的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin?的值．

·2·

?北 C

西 ? B

60

?A

东

南

16．（本小题满分12分）

雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示。 男 女 文科 2 5 理科 10 3

（Ⅰ）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女

生的概率；

（Ⅱ）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？

参考公式和数据：K?2n(ad?bc)2(a?c)(b?d)(a?b)(c?d)

p(K2?k) 0.15 2.07 0.10 2.71 0.05 3.84 0.025 5.02 0.010 6.64 0.005 7.88 0.001 10.83 k

17．（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E?ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其

AB?AC，正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA?平面ABC，AB?AC，AE?2．

（1）求证：AC?BD；

（2）求三棱锥E?BCD的体积．

·3·

18. （本小题满分14分）

3?a?an?1?n??4已知数列{an}，{bn}满足a1?2，b1?1，且??b?1a?nn?1??41434bn?1?1（n≥2），

bn?1?1数列{cn}满足cn?an?bn （1）求c1和c2的值，

（2）求证：数列 {cn}为等差数列，并求出数列{cn}的通项公式 （3）设数列{cn}的前n和为Sn，求证：

19．（本小题满分14分）

1S1?1S2?1S3???1Sn?1

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?e?ax，g(x)?elnx.（其中e为自然对数的底数）， （Ⅰ）设曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线x?(e?1)y?1垂直，求a的值； （Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f(x)?0恒成立，试确定实数a的取值范围；

（Ⅲ）当a??1时，是否存在实数x0??1,e?，使曲线C：y?g(x)?f(x)在点x?x0

处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.

·4·

xx2012学年度上学期高三级第二次段考文科数学答题

座位号：

一、选择题（每小题5分，共50分）：答案请涂在答题卡上

试室号：

二、填空题（每小题5分，共20分）

11． ； 12． ； 装 ： 名 姓 订 ： 级 班 线 ：号考

13． ；

三、解答题（共80分） 15．(本题满分12分)

16．(本题满分12分)

． ． ·5·

14

17．（本小题满分14分）

18. （本小题满分14分）

·6·

19． (本题满分14分)

20．(本题满分14分)

7··

2012学年度上学期高三级第二次段考文科数学答案

二、填空题（每小题5分，共20分） 11．三、解答题（共80分） 15．（本小题满分12分）

解：（1）依题意，?BAC?120?，AB?12，AC?10?2?20，?BCA??．???2分

在△ABC中，由余弦定理，得

222BC?AB?AC?2AB?AC?cos?BAC ????????4分

?122?202?2?12?20?cos120??784．

解得BC?28．?????????????????????6分 所以渔船甲的速度为

BC2答：渔船甲的速度为14海里/小时．?????????????7分

?14海里/小时．

12 12. 2 13. 4 14. ① ③

北 C

西 ? B

60

?A 东

（2）方法1：在△ABC中，因为AB?12，?BAC?120?，BC?28，

?BCA??，

由正弦定理，得

ABsin??南

?BCsin120?．?????????9分

即sin??ABsin120BC12??32?33． 2814答：sin?的值为

3314．???????????????12分

方法2：在△ABC中，因为AB?12，AC?20，BC?28，?BCA??，

由余弦定理，得cos??22AC?BC?AB2AC?BC2222．????9分

即cos??20?28?122?20?28?1314．

2因为?为锐角，所以sin??答:sin?的值为33141?cos??33?13?1???． ?1414??2．??????????12分

16．(本题满分12分)

解：（Ⅰ）设样本中两名男生分别为a,b,5名女生分别为c,d,e,f,g，则基本事件空间为； （abc）(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg) (aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bdg) (bef) (beg) (bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg)

共35种， ??????????????????????3分 其中，既有男又有女的事件为前25种，?????????????????4分

·8·

故P（“抽出的3人中既有男生也有女生”）＝（Ⅱ）k?20??50?6?22535＝

57。??????????6分

7?13?12?8＝4．43 ??????????????????9分

?3．841， ??????????????????10分

对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关。 ???????12分

17．（本小题满分14分）

（1）证明：因为EA?平面ABC，AC?平面ABC，所以EA?AC，即ED?AC．

又因为AC?AB，AB?ED?A，所以AC?平面EBD．

因为BD?平面EBD，所以AC?BD．???????????4分

（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB?AC，所以BC为圆O的直径．

设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

1?2rh?r?2?10,??2????????????????6分 ?C ?2rh?1?2r?2?12.??2A1

O ?r?2,解得? B ?h?2.E A

所以BC?4，AB?AC?22．????????????8分 D1

以下给出求三棱锥E?BCD体积的两种方法：

方法1：由（1）知，AC?平面EBD，所以VE?BCD?VC?EBD?S?EBD?CA．??10分 3因为EA?平面ABC，AB?平面ABC，所以EA?AB，即ED?AB．

1D

其中ED?EA?DA?2?2?4，因为AB?AC，AB?AC?22， 所以S?EBD?122116所以VE?BCD??42?22?．?????????????14分

33方法2：因为EA?平面ABC，

?ED?AB?1?4?22?42．???????????13分

所以VE?BCD?VE?ABC?VD?ABC?13S?ABC?EA?13S?ABC?DA?13S?ABC?ED．??10分

其中ED?EA?DA?2?2?4，因为AB?AC，AB?AC?22， 所以S?ABC?12?AC?AB??4?4?16312?22?22?4．???????????13分

所以VE?BCD?13．??????????????????14分

18. （本小题满分14分）

·9·

解（1）c1?a1?b1?3………1分 a2?b2?14a1?34b1?1?9434a1?14b1?1?11,………2分 4,……3分 c2?a2?b2?5………4分

31?a?a?bn?1?1nn?1??44（2）证明：因为?，

13?b?a?b?1nn?1n?1??443113?cn?an?bn?(an?1?bn?1?1)?(an?1?bn?1?1)?an?1?bn?1?2?cn?1?2 ……6分

4444?n?2,cn?cn?1?2，即数列 {cn}以c1?3为首项，2为公差的等差数列……………7分 ?cn?3?(n?1)2?2n?1…………………8分

·10·

20．（本小题满分14分）

11?e

x解：（Ⅰ）f?(x)?e?a， ?1分 , y?f(x)在?1,f(1)?处的切线l的斜率为e?a，?2分

又直线x?(e?1)y?1的斜率为∴（e?a）?11?e， ?????????3分

＝－1，∴ a＝－1. ????????5分

xx（Ⅱ）∵当x≥0时，f(x)?e?ax?0恒成立，∴ 先考虑x＝0，此时，f(x)?e，

a可为任意实数； ?????????6分 又当x＞0时，f(x)?e?ax?0恒成立，则a??设h(x)＝?exxexx恒成立， ????7分

，则h?(x)＝， 2xx当x∈(0,1)时，h?(x)＞0，h(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1,＋∞)时，h?(x)＜0，h(x)在(1,＋∞)上单调递减，故当x＝1时，h(x)取得极大值，h(x)max?h(1)??e， ???9分 ∴ 要使x≥0，f(x)?0恒成立，a＞－e，∴ 实数a的取值范围为??e,???． ?10分 （Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y?elnx?e?x，

·11·

xx(1?x)ex?1?xxx?elnx?e?1＝??lnx?1?e?1 x?x?111x?1设v(x)??lnx?1，则v?(x)??2??， 2xxxx令u(x)＝elnx?e?x，则u?(x)?xxex当x??1,e?，v?(x)?0，故v(x)在?1,e?上的最小值为v(1)?0，???????12分 所以v(x)≥0，又ex?0，∴u?(x)???1?x?lnx?1?e?1＞0， ?x?而若曲线C：y?g(x)?f(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直，则u?(x0)＝0，矛盾。 ?13分 所以，不存在实数x0??1,e?，使曲线C：y?g(x)?f(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直.

????????????????14分

·12·

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