知识点072 因式分解的应用(解答)

1．计算：

考点：因式分解的应用。

分析：先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下×出答案为解答：解：

=

?

．

，所以求

?

…=×=．

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．

2．有现有四个整式：x，﹣2xy，﹣4，y，请用他们若干个构成能分解因式的多项式，并将他们分解因式，要求写出三个多项式，并对它们进行因式分解． 考点：因式分解的应用。

分析：分别组成完全平方式，平方差，或提公因式法分解因式等．

解答：解：①x﹣2xy+y=（x﹣y）

2

②x﹣4=（x+2）（x﹣2）

2

③x﹣2xy=x（x﹣2）

2

④y﹣4=（y+2）（y﹣2）等．

（每个等式得2分，答对3个得满分）

点评：主要考查了因式分解的实际应用，此类题目的关键是要掌握各类多项式分解因式的特点．如分解因式的方法和规律：多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项时考虑提公因式法和完全平方公式（个别的需要十字相乘或求根公式法）；多项式有3项以上时，考虑分组分解法，再根据2项式和3项式的分解方法进行分解．

3．现有三个多项式①

，请你选择其中两个进行加（或

2

2

2

2

2

减）法计算，并把结果因式分解．

（1）我选择 ①③ 进行 加 法运算； （2）解答过程：

考点：因式分解的应用；整式的加减。

分析：此题是开放性试题，答案不唯一，在操作时，可以选择尽量简单的式子，是运算简便，且不容易出错． 解答：解：（1）我选择①③进行加法运算；

（2）解答过程：（m+m﹣4）+（m﹣m）

=m﹣4 =（m+2）（m﹣2）．

点评：此题比较灵活的考查了整式的运算和因式分解，题目比较新颖．

4．已知x+x﹣1=0，求x+2x+3的值． 考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

分析：观察题意可知x+x=1，将原式化简可得出答案．

2

解答：解：依题意得：x+x=1，

32222

∴x+2x+3=x（x+x）+x+3=x+x+3=4．

点评：此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．

5．已知：x+y=1，考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

分析：可以利用因式分解将原式化简，再将x+y=1，xy=整体代入． 解答：解：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）=x﹣y﹣（x+y）]， =x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）， =x（x+y）（﹣2y）， =﹣2xy（x+y）， 当x+y=1，xy=时， 原式=﹣2×（﹣）×1=1．

点评：本题不仅考查了因式分解合并同类项，还考查了整体思想的应用．

6．已知x+2y=5，xy=1．求下列各式的值：

22

（1）2xy+4xy

22

（2）（x﹣2）（2y﹣1） 考点：因式分解的应用。 分析：（1）题是提取公因式，（2）是因式分解． 解答：（每小题（3分），共6分） （1）解：原式=2xy（x+2y） ∵x+2y=5，xy=1， ∴2xy（x+2y） =2×1×5，

2

2

2

3

2

2

22

，求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）的值（可以利用因式分解求）．

2

=10；

（2）解：∵xy=1，x+2y=5，

原式=2xy﹣x﹣4y+2

222222

∴=﹣4xy﹣x﹣4y+2+6xy，

222222

=﹣（4xy+x+4y）+2+6xy，

222

=﹣（x+2y）+2+6xy， =﹣25+8， =﹣17．

点评：本题考查根据已知条件，有题目中向已知条件靠拢．

7．三个多项式：①x+2x；②x﹣2x﹣2；③x﹣6x+2．请你从中任意选择其中两个，分别写成两个不同的多项式和的形式，进行加法运算，并把结果因式分解． 你选择的是：（1） ① + ② ；（2） ① + ③ ． 考点：因式分解的应用。

分析：多项式的和即为两多项式相加．然后进行合并同类项，最后进行因式分解得到结果． 解答：解：（1）①+②，（x+x）+（x﹣2x﹣2）合并同类项得：2x﹣2，因式分解得2（x+1）（x﹣1）；

222

（2）①+③，（x+2x）+（x﹣6x+2）合并同类项得：2（x﹣2x+1），因式分解得：2（x﹣1）2．

点评：本题考点：多项式的求和以及因式分解．多项式求和是将同类项合并．因式分解是提前公因式．

8．利用因式分解计算：

．

2

2

2

2

2

2

22

2

2

考点：因式分解的应用。

分析：为了表示方便和思路清晰所以设2007=x，分子和分母分别分解因式后再约分． 解答：解：设2007=x，则原式=

．

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 9．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为： a+2a+1 = （a+1） ． （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

22

②请你用拼图等方法推出2a+5ab+2b因式分解的结果，画出你的拼图． 考点：因式分解的应用。 分析：（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式； （2）要能根据等式画出合适的拼图．

解答：解：（1）①长方形的面积=a+2a+1；长方形的面积=（a+1）；

22②a+2a+1=（a+1）；

222

（2）①如图，可推导出（a+b）=a+2ab+b；

22

②2a+5ab+2b=（2a+b）（a+2b）．

2

2

2

2

点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

10．用简便方法计算：

（1）201﹣201；（2）572﹣428；（3）

2

2

2

．

考点：因式分解的应用。 分析：（1）直接提公因式；（2）利用平方差公式；（3）利用完全平方公式． 解答：解：

2

（1）201﹣201=201（201﹣1）=201×200=40200；

（2）572﹣428=（572﹣428）（572+428）=144×1000=144000； （3）（

）﹣2×

22

2

×+（）=（

2

﹣）=25．

2

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，并会灵活运用，解题的关键是正确运算和分解．

11．（1）已知3×9×27=3，求m的值；

3223

（2）已知x﹣y=1，xy=2，求xy﹣2xy+xy的值． 考点：因式分解的应用；同底数幂的乘法。 分析：（1）把各个因式写成底数为3的形式，再按积的乘方的逆运算计算； （2）先把代数式因式分解，再整体代入已知条件计算．

mm16

解答：解：（1）∵3×9×27=3，

2m3m16

∴3×3×3=3， （1+2m+3m）163=3， ∴1+2m+3m=16， ∴m=3．（3分）

（2）∵xy﹣2xy+y=xy（x﹣y）（4分） ∴当x﹣y=1，xy=2时， 原式=2． （6分） 点评：（1）关键在于把各个因式写成底数为3的形式；

（2）主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是分解因式即可．

12．在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x﹣y=（x﹣

2222

y）（x+y）（x+y），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x+y=162，则密码018162．对于多项

32

式4x﹣xy，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？ 考点：因式分解的应用。

分析：首先将多项式4x﹣xy进行因式分解，得到4x﹣xy=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．

22

解答：解：原式=x（4x﹣y）=x（2x+y）（2x﹣y）， 当x=10，y=10时，

x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，

故密码为103010或101030或301010．

点评：本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．

13．如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．

（1）请你用两个不同形式的代数式（需简化）表示这个大转关系的面积；

22

（2）由（1）可得到关于a、b的关系，利用得到的这个等式关系计算：4.321+2×4.321×0.679+0.679的值．

3

2

3

2

4

4

3

22

3

2

mm16

分析：此多项式只有在（a+ka+25）是一个平方项是才能进行因式分解．根据此条件可求出k

22

可能取的值．可根据a﹣b=（a﹣b）（a+b）进行因式分解．

2

解答：解：（1）由分析得（a+ka+25）为一个平方项．则k可能取的值有±10．

22

（2）令k=10，则原多项式可化为（a+5）﹣b，则因式分解得：（a+5+b）（a+5﹣b）．

22

点评：本题难点：确定（a+ka+25）为一个平方项，很明显它和b没有同类项，但又可以进行

222

因式分解，所以一定满足a﹣b=（a+b）（a﹣b）的条件，所以（a+ka+25）必定是一个平方项．对

22

于第二问可以应用a﹣b=（a+b）（a﹣b）的性质进行因式分解．

27．用简便方法计算 （1） 1998×2002

2

（2） 198

2

（3） 2009﹣2008×2010 考点：因式分解的应用。 分析：（1）可写成（2000﹣2）×（2000+2），用平方差公式展开计算； （2）可写成（200﹣2），用完全平方公式展开计算； （3）减数可写成（2009﹣1）（2009+1），用平方差公式展开计算．

解答：解：（1）原式=（2000﹣2）×（2000+2）=2000﹣2=3999996；

222

（2）原式=（200﹣2）=200﹣2×200×2+2=39204；

222

（3）原式=2009﹣（2009﹣1）（2009+1）=2009﹣2009+1=1．

点评：把接近整数的数用整数表示，整理为完全平方公式或平方差公式的形式可使计算简便．

28．计算：（1）2010?168﹣2010?69+2010； （2）（﹣xy+4xy﹣xy）÷（﹣

3

22

3

2

2

2

2

）

考点：因式分解的应用；整式的除法。 分析：（1）可用提公因式法进行计算．

（2）先将前面括号内的三项提取公因式，然后再和最后一项相除． 解答：解：（1）原式=2010×（168﹣69+1）=2010×100=201000； （2）原式=xy（﹣x+4xy﹣y）×（﹣

2

2

）=．

点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，可使运算更简便．

29．计算：

①2[x（xy﹣xy）﹣y（x﹣xy）]÷3xy②

m

n

3m+2n

22

2

3

23

③已知：x=3，x=25，求x6的值． 考点：因式分解的应用；整式的除法。

分析：①此小题为整式的混合运算，要先算括号里面的，再运用分配律即可； ②此小题可以变形为（100+）×（100﹣），再运用平方差公式即可； ③此小题可以将x

3m+2n

6变形为（x）?（x）?6即可求解．

m3n2

解答：解：①原式=2[x（xy﹣xy）﹣y（x﹣xy）]÷3xy=2（xy﹣xy﹣xy+xy）÷3xy=

23

222323322232

；

2

②原式=（100+）×（100﹣）=100﹣=9999；

③原式=（x）?（x）?6=3?25?6=101250．

点评：本题考查了因式分解的应用，要学会正确地通过变形运用因式分解．

30．利用因式分解计算

222

（1） 999+999（2） 785﹣215 考点：因式分解的应用。 分析：（1）可利用提取公因式法来解；（2）利用平方差公式求解即可．

2

解答：解：（1）999+999 =999×（999+1） =999×1000 =999000

（2）785﹣215

=（785﹣215）×（785+215） =570×1000

=570000．

点评：本题考查的是对因式分解的应用，结合拆分后都较为简单．

31．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解． 考点：因式分解的应用。

分析：此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可．

22

解答：解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x﹣20x+18，2（x﹣2）（x﹣4）=2x﹣12x+16； 由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，

则正确的二次三项式为：2x﹣12x+18；

22

再对其进行因式分解：2x﹣12x+18=2（x﹣3）．

点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．

32．已知一个长方形的面积是6m+60m+150（m＞0），长与宽的比是3：2，求：这个长方形的周长．

考点：因式分解的应用。

分析：对面积表达式进行变形，根据面积=长×宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达式，继而得出周长．

解答：解：∵6m+60m+150=6（m+10m+25）=6（m+5）=[[3（m+5）][2（m+5）]] 且长：宽=3：2

2

2

2

2

2

2

2m

3

n

2

3

2

∴长为3（m+5），宽为2（m+5） ∴周长为10m+50．

点评：本题考查因式分解的应用，有一定难度，关键在于根据题意对面积表达式进行变形．

33．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a=6.25，b=3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．

考点：因式分解的应用。 分析：根据题意可知阴影部分的面积=边长为a厘米的正方形的面积﹣边长为b厘米的正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．

解答：解：设阴影部分的面积为s，依题意得：s=a﹣b=（a+b）（a﹣b）， 当a=6.25，b=3.75时s=（6.25+3.75）（6.25﹣3.75）=10×2.5=25（平方厘米）； 答：阴影部分的面积为25平方厘米．

点评：本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值．

34．利用因式分解的方法计算：5﹣5﹣2×5 考点：因式分解的应用。

分析：此题可以直接采取提取公因式的方法进行分解即可．

3222

解答：解：5﹣5﹣2×5=5×（5﹣1﹣2）=50．

点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为简单，只需注意公因式的提取即可．

35．分解因式

（1）x﹣4x

22

（2）4a﹣36ab+81b

22222

（3）（a+ab+b）﹣9ab （4）已知

，求4xy﹣4xy+xy的值．

3

22

3

3

3

2

2

2

2

考点：因式分解的应用；提公因式法与公式法的综合运用。 分析：（1）有公因式x，先提取x，再运用平方差公式进行分解即可； （2）采用完全平方公式分解即可； （3）先用平方差公式进行因式分解，进而能用完全平方公式分解的式子用完全平方公式继续分解；

（4）先提取公因式xy，再把相关值代入求解． 解答：（5’×4）

2

解：（1）原式=x（x﹣4）（2分） =x（x﹣2）（x+2）；（3分）

（2）原式=（2a）﹣2?2a?9b+（9b）（2分）

2

=（2a﹣9b）（3分）；

（3）原式=（a+ab+b）﹣（3ab）

2222=（a+ab+b+3ab）（a+ab+b﹣3ab）

2222=（a+4ab+b）（a﹣2ab+b）

222=（a+4ab+b）（a﹣b）；

（4）原式=xy（4x﹣4xy+y）（1分）

2

=xy（2x﹣y）（2分） 当xy=5，2x﹣y=时，原式=5×

．（2分）

2

2

2

2

2

2

22

点评：分解因式的方法和规律：多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项

时考虑提公因式法和完全平方公式；注意分解因式的结果一定要分解到底．

36．计算：

①2[x（xy﹣xy）﹣y（x﹣xy）]÷3xy②

m

n

3m+2n

22

2

3

23

③已知：x=3，x=25，求x6的值． 考点：因式分解的应用；整式的除法。

分析：①此小题为整式的混合运算，要先算括号里面的，再运用分配律即可； ②此小题可以变形为（100+）×（100﹣），再运用平方差公式即可；

③此小题可以将x6变形为（x）?（x）?6即可求解．

222323322232

解答：解：①原式=2[x（xy﹣xy）﹣y（x﹣xy）]÷3xy=2（xy﹣xy﹣xy+xy）÷3xy=

23

3m+2n

m

3

n

2

；

2

②原式=（100+）×（100﹣）=100﹣=9999；

③原式=（x）?（x）?6=3?25?6=101250．

点评：本题考查了因式分解的应用，要学会正确地通过变形运用因式分解．

37．已知二次三项式x+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解． 考点：因式分解的应用。 分析：先计算（x﹣1）（x﹣9），确定q的值，再计算（x﹣2）（x﹣4），确定p的值，然后将p、q的值代入原二次三项式，再进行因式分解．

2

解答：解：（x﹣1）（x﹣9）=x﹣10x+9，所以q=9，

2

（x﹣2）（x﹣4）=x﹣6x+8，所以p=﹣6，

2

所以原二次三项式是x﹣6x+9，

2

m

3

n

2

3

2

因式分解得，x﹣6x+9=（x﹣3）．

点评：本题既考查了整式的乘法，又考查了因式分解，解题的关键是确定二次三项式中待定系数的值． 38．如图，长方体的每一个面上都写有一个自然数，并且相对两个面上所写的两个数之和相等．若将数8所在面的对面所写的数记为a，数4所在面的对面所写的数记为b，数25所在面的对面

222

所写的数记为c，求a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca的值．

22

考点：因式分解的应用；专题：正方体相对两个面上的文字。 专题：因式分解。 分析：由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=4+b=25+c，进一步得到a﹣b，b﹣c，a﹣c的值，用这些式子表示a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca即可得到答案． 解答：解：由题意得：8+a=4+b=25+c ∴a﹣b=﹣4，b﹣c=21，a﹣c=17 原式

2

2

2

∴a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca=373

点评：本题考查了因式分解的应用；解答本题的关键是得到a﹣b，b﹣c，a﹣c的值后用这些式子表示出要求的原式．

39．已知2x+5y=2，求2x+5xy+5y的值． 考点：因式分解的应用。 专题：整体思想。

分析：本题要先考虑提取公因式，注意运用整体代入法求解． 解答：解：∵2x+5y=2， ∴2x+5xy+5y

=x（2x+5y）+5y（3分） =2x+5y（4分） =2．（5分）

2

2

222

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

40．已知：x﹣y=3，xy=﹣2，求下列各式的值：

（1）xy﹣xy；

22

（2）x+y．

考点：因式分解的应用。

分析：此题可以把x﹣y与xy看做整体，利用因式分解法将所求多项式表示成有关x﹣y与xy的式子求解即可．

解答：解：（1）xy﹣xy=xy（x﹣y）=﹣2×3=﹣6；（2分）

（2）x+y=（x﹣y）+2xy=3+2×（﹣2）=5．（6分）

点评：此题考查了因式分解的应用．注意整体思想在解题中的应用．

41．如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度bcm，问空白区域的面积是多少？

2

2

2

2

2

2

2

2

考点：因式分解的应用。 专题：应用题。

分析：此题可将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则空白部分组成一个长方形，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a），则空白部分的面积=长×宽即可得出．

解答：解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”， 一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积． 而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm． 所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm．

2

即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm．

2

点评：本题考查了因式分解在实际生活中的应用，题目新颖，要学会用特殊的方法求解．

42．如果a+b=﹣4，ab=2，求式子4ab+4ab﹣4a﹣4b的值． 考点：因式分解的应用；代数式求值。 专题：因式分解。

2

2

分析：已知给出了a+b=﹣4，ab=2，要求式子4ab+4ab﹣4a﹣4b的值，只要对要求的式子进行转化，用a+b与ab表示，代入数值可得答案． 解答：解：∵a+b=﹣4，ab=2， ∴4ab+4ab﹣4a﹣4b， =4ab（a+b）﹣4（a+b）， =4×2×（﹣4）﹣4×（﹣4）， =﹣32+16 =﹣16．

答：式子4ab+4ab﹣4a﹣4b的值为﹣16．

点评：本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用a+b与ab表示是正确解答本题的关键．

43．已知a+b=133，ab=100，求ab+ab的值． 考点：因式分解的应用；因式分解-提公因式法。

分析：因为ab和ab有公因式ab，所以可用提公因式的方法因式分解．

22

解答：解：ab+ab =ab（a+b） =100×133 =13300．

点评：先把ab+ab分解为ab（a+b），再把a+b和ab的值代进去．

44．已知多项式（a+ka+25）﹣b，在给定k的值的条件下可以因式分解． （1）写出常数k可能给定的值；

（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程． 考点：因式分解的应用。

2

分析：此多项式只有在（a+ka+25）是一个平方项是才能进行因式分解．根据此条件可求出k

22

可能取的值．可根据a﹣b=（a﹣b）（a+b）进行因式分解．

2

解答：解：（1）由分析得（a+ka+25）为一个平方项．则k可能取的值有±10．

22

（2）令k=10，则原多项式可化为（a+5）﹣b，则因式分解得：（a+5+b）（a+5﹣b）．

22

点评：本题难点：确定（a+ka+25）为一个平方项，很明显它和b没有同类项，但又可以进行

222

因式分解，所以一定满足a﹣b=（a+b）（a﹣b）的条件，所以（a+ka+25）必定是一个平方项．对

22

于第二问可以应用a﹣b=（a+b）（a﹣b）的性质进行因式分解．

45．计算：（1）2010?168﹣2010?69+2010； （2）（﹣xy+4xy﹣xy）÷（﹣

3

22

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

）

考点：因式分解的应用；整式的除法。 分析：（1）可用提公因式法进行计算．

（2）先将前面括号内的三项提取公因式，然后再和最后一项相除． 解答：解：（1）原式=2010×（168﹣69+1）=2010×100=201000；

（2）原式=xy（﹣x+4xy﹣y）×（﹣

22

）=．

点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，可使运算更简便．

46．在下列三个不为零的式子：x﹣4x，x+2x，x﹣4x+4中， （1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解； （2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集． 考点：因式分解的应用；整式的加减；不等式的解集。 专题：开放型。

分析：①可以选择x﹣4x和x+2x进行相加，然后合并同类项，进行因式分解；

22

②可以选择x﹣4x与x+2x用“＞”连接，然后求其解集．答案不唯一．

22

解答：解：①（x﹣4x）+（x+2x）

2

=2x﹣2x =2x（x﹣1）

②x﹣4x＞x+2x，合并同类项得 ﹣6x＞0，解得x＜0．

点评：主要考查了因式分解的方法以及一元一次不等式解集的求法．

47．利用公式计算：①考点：因式分解的应用。 分析：①首先把

变为

，然后利用平方差公式即可求

；②3.5+7×1.5+1.5

2

2

2

2

2

22

2

2

出结果；

2222

②首先把3.5+7×1.5+1.5变为3.5+2×3.5×1.5+1.5，然后可以利用完全平方公式即可求出结果． 解答：解：①=﹣=﹣[40﹣=﹣

22

]

；

2

2

2

2

②3.5+7×1.5+1.5=3.5+2×3.5×1.5+1.5=（3.5+1.5）=25．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，分别利用平方差公式和完全平方公式来简化复杂的数字计算．

48．若|a+2|+b﹣2b+1=0，求ab+ab的值．

考点：因式分解的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。 专题：计算题；因式分解。

2

2

2

分析：根据绝对值的定义及完全平方式的含义，确定a、b的取值，再把ab+ab提取公因式ab进行因式分解，再将a、b代入求值．

解答：解：∵|a+2|+b﹣2b+1=0

2

∴|a+2|+（b﹣1）=0 ∴a=﹣2，b=1 22

∴ab+ab=ab（a+b）=（﹣2）×1×（﹣2+1）=2

22

因此ab+ab=2

点评：本题考查了利用提取公因式法因式分解、绝对值、完全平方式．解决本题的关键是根据绝对值的定义即完全平方式取值，确定a、b的取值．

49．如图，2009个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最里面一层画阴影，最外面的正方形的边长为2009cm，向里依次为2008cm，2007cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？

2

22

考点：因式分解的应用；因式分解-运用公式法。 专题：因式分解。

分析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．

解答：解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．于是

S阴影=（2009﹣2008）+（2007﹣2006）+…+（3﹣2）+1 =2009+2008+2007+2006++3+2+1

=2019045（cm）

2

答：所有阴影部分的面积和是2019045cm．

点评：首先明白每一块阴影部分面积的构成，它是相邻两正方形面积的差，然后运用平方差公式因式分解进行计算．

50．利用因式分解计算 （1）

（2） 683﹣317

2

2

22

2

2

2

2

2

考点：因式分解的应用。 分析：（1）对式子进行分析，将公共部分提取，结合后即可解出． （2）利用平方差公式进行计算． 解答：解：（1）16.9×+15.1×

=×（16.9+15.1） =×32

=4；

22

（2）683﹣317

=（683+317）×（683﹣317） =1000×366 =366000．

点评：因式分解的简单应用．

51．如图，求圆环形绿化区的面积． 1000π m．

2

考点：因式分解的应用。

分析：绿化面积是一个环形，环形面积=大圆的面积﹣小圆的面积．

解答：解：35π﹣15π=π（35﹣15）=π（35+15）（35﹣15）=1000π（m）．

点评：此题主要考查用平方差公式分解在实际生活中的应用，也考查了环形的面积公式．

52．计算：999+999+1001﹣1001 考点：因式分解的应用。

分析：此题可通过先提取公因式，一步一步因式分解，由繁入简，得出结果． 解答：解：999+999+1001﹣1001=999（999+1）+1001（1001﹣1） =999×1000+1001×1000 =（999+1001）×1000 =2000×1000=2000000．

点评：本题考查了因式分解的应用，用因式分解去解决繁琐的计算题显得较为简单．

53．2﹣1可以被10和20之间某两个数整除，求这两个数． 考点：因式分解的应用；因式分解-运用公式法。

32

分析：运用平分差公式把2﹣1进行因式分解，寻找10和20之间的因数．

1616168816844

解答：解：因为（2+1）（2﹣1）=（2+1）（2+1）（2﹣1），=（2+1）（2+1）（2+1）（2﹣1），

4432

又因为2+1=17，2﹣1=15，所以2﹣1可以被10和20之间的15，17两个数整除． 点评：根据题目特点运用平分差公式因式分解．

54．分别根据所标尺寸，用因式乘积的形式表示下列图形中有阴影部分的面积：

32

2

2

2

2

2

2

2

2

2

考点：因式分解的应用。

分析：结合图象，长方形中长为x﹣2a，寛为y﹣2a，即可求得面积表达公式，圆中可用大圆面积减去小圆面积即得结果．

解答：解：由图象可得阴影的长方形长可用x﹣2a表示，寛为y﹣2a，可得面积表达公式为（x﹣2a）（y﹣2a）； 阴影部分的环形面积可用大圆面积减去小圆面积，大圆面积为πR，小圆面积为πr， 可得阴影部分面积为π（R+r）（R﹣r）．

点评：本题考查因式分解的应用，与图象结合，观察好即可．

55．观察下列式子：1×8+1=9=3；3×16+1=49=7；7×32+1=225=15；…你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？ 考点：因式分解的应用。 专题：规律型。

分析：式子可以整理为：（2﹣1）×2

22+232（2﹣1）×2+1=（2﹣1）；

33+242（2﹣1）×2+1=（2﹣1）； …

1

1+22

2

22

2

+1=（2﹣1）；

22

得到第n个式子的结论即可．

nn+2n+12

解答：解：（2﹣1）?2+1=（2﹣1）．

nn+22n+2n+2n+12n+1n+12（2﹣1）?2+1=2﹣2+1=（2）﹣2×2+1=（2﹣1）．

点评：找规律的题目应从相对应的位置上的数入手，找到其相同之处和规律性．

56．先分解因式，再求值：已知a+b=2，ab=2，求ab+ab+ab的值． 考点：因式分解的应用。

分析：先把ab+ab+ab提公因式ab，再运用完全平方和公式分解因式，最后整体代入求值．

解答：解：ab+ab+ab=ab（a+2ab+b）=ab（a+b）． ∴当a+b=2，ab=2时， 原式=×2×4=4．

点评：化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．

3

22

3

2

2

2

3

22

3

3

22

3

57．若a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，求代数式a（﹣b﹣c）﹣3.2a（c+b）的值． 考点：因式分解的应用。

分析：由a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，可得b+c=﹣0.2，然后代入求值即可． 解答：解：∵a=﹣5，a+b+c=﹣5.2 ∴b+c=﹣0.2

2

∴原式=（﹣5）×0.2﹣3.2×（﹣5）×（﹣0.2）=5﹣3.2=1.8．

点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

58．用简便方法计算：

22

（1）1.2345+0.7655+0.469×0.7655

2

（2）123456789﹣123456788×123456790 考点：因式分解的应用。 专题：因式分解。 分析：（1）后2个式子可提取出0.7655，进而提取1.2345，计算即可； （2）把被减数整理为用123456789表示成平方差的形式，化简即可． 解答：（1）解：原式=1.2345+0.7655（0.7655+0.469）

2

=1.2345+0.7655×1.2345 =1.2345×（1.2345+0.7655） =1.2345×2 =2.469；

（2）解：原式=123456789﹣（123456789﹣1）

222

=123456789﹣123456789+1， =1．

点评：考查用简便方法进行有理数运算；注意提公因式法和整式乘法中的平方差公式的运用．

59．已知x+y=1，xy=

，求xy﹣2xy+xy的值．

3

22

3

2

2

2

2

2

考点：因式分解的应用。

分析：先对多项式xy﹣2xy+xy进行因式分解，转化成x+y和xy的形式，然后把x+y=1，xy=整体代入，即可求出其值．

32232222

解答：解：xy﹣2xy+xy=xy（x﹣2xy+y）=xy（x﹣y）=xy[（x+y）﹣4xy] 把x+y=1，xy=原式=

（1﹣4×

代入 ）=

×（1﹣）=

×=

．

3

22

3

点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误

选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式

3223

的要先提取公因式．本题应先将所求代数式xy﹣2xy+xy转化成x+y和xy的形式，然后整体代入求出其值．

60．证明：当x，y为实数，且x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。

分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明． 解答：解：∵x+y=1

∴x+y﹣xy=（x+y）（x+y﹣xy）﹣xy=x+y﹣2xy=（x﹣y）≥0

33

即x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数．

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

2

6 1．若a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，求代数式a（﹣b﹣c）﹣3.2a（c+b）的值． 考点：因式分解的应用。

分析：由a=﹣5，a+b+c=﹣5.2，可得b+c=﹣0.2，然后代入求值即可． 解答：解：∵a=﹣5，a+b+c=﹣5.2 ∴b+c=﹣0.2

2

∴原式=（﹣5）×0.2﹣3.2×（﹣5）×（﹣0.2）=5﹣3.2=1.8．

点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

62．分解因式x+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分

2

解的结果是（x﹣2）?（x+1），那么x+ax+b分解因式的正确结果为多少？ 考点：因式分解的应用。

2

分析：根据x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式． 解答：解：因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1）， 所以b=﹣6，

又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1）， 所以a=﹣1．所以x+ax+b=x﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．

点评：主要考查了二次三项式的分解因式．掌握此类式子的特点可以使计算简便．

64．证明：当n为正整数时，n﹣n的值，必是6的倍数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。

分析：此题首先要能对多项式进行因式分解，然后结合n为正整数进行分析．

32

解答：证明：n﹣n=n（n﹣1）=n（n+1）（n﹣1），

当n为正整数时，n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，其中必有一个为偶数，必有一个为3的倍数，

故必是2×3=6的倍数．

点评：注意了解三个连续正整数的特点．

3

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

3

3

65．利用因式分解计算：

（1）341﹣159（2）225﹣15×26+13 考点：因式分解的应用。 分析：（1）直接利用平方差公式因式分解，进行简化计算；（2）利用完全平方公式进行因式分解来简化计算． 解答：解：

（1）341﹣159=（341+159）（341﹣159）=500×182=91000；

（2）225﹣15×26+13=15﹣15×13×2+13=（15﹣13）=4．

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．

66．已知a+a+1=0，求1+a+a+…+a的值．

考点：因式分解的应用；因式分解-分组分解法。 专题：规律型。

分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．

23262

解答：解：原式=（1+a+a）+a（1+a+a）+a（1+a+a），

236

=（1+a+a）（1+a+a）， 2

∵a+a+1=0，

36

∴原式=0×（1+a+a）=0． 故答案为：0．

2

点评：本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，分组后，提取公因式把原式化为含a+a+1的式子是求解本题的关键．

67．先分解因式，再求值：a﹣2ab+ab，其中a=4，b=﹣1． 考点：因式分解的应用。

43222

分析：a﹣2ab+ab有公因式a，提取后，再按完全平方公式分解，直至分解完为止，最后代入求值．

解答：解：原式=a（a﹣2ab+b）=a（a﹣b）， 当a=4，b=﹣1时，

22

原式=4（4+1）=16×25=400．

点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，使运算简便．

68．证明：当x，y为实数，且x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数． 考点：因式分解的应用。 专题：证明题。

分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明． 解答：解：∵x+y=1

∴x+y﹣xy=（x+y）（x+y﹣xy）﹣xy=x+y﹣2xy=（x﹣y）≥0

33

即x+y=1时，x+y﹣xy的值是非负数．

3

3

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

4

3

22

2

2

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

69．先分解因式，再求值：

，其中

，y=5．

考点：因式分解的应用。

分析：把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后把x，y的值代入即可． 解答：解：∵

∴x+y=∴原式=

，y=5

=

=5．

=

=

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

70．已知m+n=3，

，求mn﹣mn+mn的值．

3

22

3

考点：因式分解的应用。

分析：把所求代数式提公因式mn，然后整理为与（m+n）和mn相关的式子，代入求值即可． 解答：解：mn﹣mn+mn，

22

=mn（m﹣mn+n），

22

=mn[（m+2mn+n）﹣3mn]，

2

=mn[（m+n）﹣3mn]， 当m+n=3，

时，原式=

=

．

3

22

3

点评：本题考查了提公因式法、利用完全平方公式分解因式，关键是把所求代数式整理为和所给等式相关的式子．

71．已知a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）的值． 考点：因式分解的应用；代数式求值。 专题：因式分解。

222222222

分析：观察ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）即ab+ba+cb+ac+bc+ca是（a+b+c）与（a+b+c）

333222222333222

乘积（a+b+c+ab+ba+cb+ac+bc+ca）的一部分，且a+b+c=45，（a+b+c）（a+b+c）=3×29=87

至此问题解决．

222333

解答：解：∵a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45

222

∴（a+b+c）（a+b+c）=3×29=87 333222222

a+b+c+ab+ba+cb+ac+bc+ca=87 333

（a+b+c）+ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=87

2

2

2

3

3

3

则展开上式得6mx+（6n﹣7m）x﹣（7n+3m）x﹣3n，

32

将上式与多项式ax+bx﹣47x﹣15对比得

32

，

解得n=5，m=4，b=2，a=12，

所以a=24，b=2，另外的因式为4x+5．

点评：本题考查因式分解的应用．本题利用待定系数法来解决，同学们要明白两式关于x的各次项系数对应相等．

97．计算：（1）100﹣（252﹣248）；（2）39.8﹣2×39.8×49.8+49.8 考点：因式分解的应用。 分析：（1）把括号内的两个数用平方差公式展开计算即可； （2）用完全平方公式展开计算即可．

解答：解：（1）原式=100﹣（252+248）（252﹣248）=10000﹣500×4=8000；

2

（2）原式=（39.8﹣49.8）=100．

22222

点评：用到的知识点为：a﹣b=（a+b）（a﹣b）；a﹣2ab+b=（a﹣b）．

98．已知：a、b、c分别为△ABC的三条边的长度，请用所学知识说明：（a﹣c）﹣b是正数、负数或零．

考点：因式分解的应用；三角形三边关系。

分析：根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合因式分解进行证明原式为负数．

解答：解：∵a、b、c分别为△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，

即a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．

22

∴（a﹣c）﹣b=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0

22

∴（a﹣c）﹣b是负数．

点评：本题利用了平方差公式和三角形三边的关系进行分析．

99．活动材料：若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片．

2

2

2

2

2

2

2

2

例如：

在下图中，一些长方形和正方形硬纸片拼成一个长方形后，通过计算图形的面积我们有a+3ab+2b=（a+2b）（a+b）试用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：3a+7ab+2b 活动要求：

2

2

2

2

（1）画出图形；

（2）写出分解的因式．

考点：因式分解的应用。 专题：图表型。

22

分析：结合所给特例进行分析：要对二次三项式3a+7ab+2b进行因式分解，则拼图的长方形的一边为3a+b，另一边为2a+b． 解答：解：（1）

（2）3a+7ab+2b=（3a+b）（a+2b）．

点评：本题考查了十字相乘法分解因式，注意一个二次三项式分解时，要把两个平方项分解成积的形式，再让交叉相乘积的和等于一次项系数．

100．计算：

考点：因式分解的应用。 专题：规律型。 分析：观察

4

2

2

分式

发现均遵循x+324因而将其分解因式． 套用此规律，通过分子、分母约分得到最终结果．

4422222=22

解答：解：∵x+324=x+36x+324﹣36x=（x+18）﹣36x（x+6x+18）（x﹣6x+18）=[x（x+6）+18][x（x﹣6）+18]

∴原式=

=

=373．

点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是找到本题中蕴含的规律x+324=[x（x+6）+18][x（x﹣6）+18]，以降低计算的工作量．

101．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006， 求：这个长方体的体积． 考点：因式分解的应用。

分析：我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．

解答：解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006， a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006， （1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007， （1+b）（c+1+a+ac）=2007， （1+b）（c+1）（a+1）=2007， 2007只能分解为3×3×223 ∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223 ∴a、b、c也只能分别为2、2、222 ∴长方体的体积abc=888．

点评：本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．

102．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： a+b+c=32 ①

②

是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 考点：因式分解的应用；勾股定理的逆定理。 专题：数形结合。

分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为

．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，

4

判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°

解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°

解答：解法1：将①②两式相乘，得

，

即，

即，

即，

即即即即即

所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0， 即b+a=c或c+a=b或c+b=a． 因此，以

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．

，

③

2

2

2

2

，

，

， ，

，

解法2：结合①式，由②式可得变形，得

又由①式得（a+b+c）=1024，即a+b+c=1024﹣2（ab+bc+ca）， 代入③式，得

，

即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）

33

﹣16=﹣4096+256×32﹣16=0， 所以a=16或b=16或c=16．

结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．

因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．

点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．

103．三项式x﹣x﹣2n能分解为两个整系数一次因式的乘积 （1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？ （2）当n≤2005时，求最大整数n 考点：因式分解的应用。 专题：规律型；探究型。

2

分析：（1）利用公式法求出x﹣x﹣2n=0的根，将n从1至30代入开平方验证，舍去不合题意得，得到最终n的取值及个数．

（2）观察数列1，3，6，10，15，21，28，寻找规律，将基本规律的代数式代入求值． 解答：解： （1）x﹣x﹣2n=

2

2

（3分）

则应有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分） 相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去） 故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分） （2）观察数列1，3，6，10，发现 1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4 故n=1+2+3+…+k≤2005 ∴

≤2005

验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）

点评：本题考查因式分解的应用．解决（1）主要是通过公式法分解出因式，再将符合条件的n代入逐个验证；（2）关键是观察数列找到规律．

104．问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 =（200﹣5）（200+5）①

22

=200﹣5② =39975

（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 平方差公式 （填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：9×11×101×10001．

222

问题2：对于形如x+2ax+a这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）的形式．但

222

对于二次三项式x+2ax﹣3a，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x+2ax

2222

﹣3a中先加上一项a，使它与x+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a，整个式子的值不变，于是有： 222222x+2ax﹣3a=（x+2ax+a）﹣a﹣3a

22

=（x+a）﹣（2a） =（x+3a）（x﹣a）．

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/96s6.html