空间向量与垂直关系练习题

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋5y＋6＝0，则 3 x－1 ＋y－12＝0， 40 x＝7解得 15 y＝－7

【答案】 B

4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )

A．(1,1,1)

111 B．(－1，－1，－1)或 3，33

111 C.333

11 1 D．(1,1,1)或－33，－3

→→【解析】 设D(x，y，z)，则BD＝(x，y－1，z)，CD＝(x，y，z

→→→→－1)，AD＝(x－1，y，z)，AC＝(－1,0,1)，AB＝(－1,1,0)，BC＝(0，－1,1)．又DB⊥AC －x＋z＝0 ①，DC⊥AB －x＋y＝0 ②，AD＝BC (x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z

11 11 －，－3，所以点D的坐标为(1,1,1)或333 .故选D.

【答案】 D

二、填空题

5．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.

【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.

【答案】 －9

6．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.

－x＋2y－12＝0， 由题意，知 x－4－4z＝0， －1－2y＋3z＝0.【解析】

解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.

【答案】 (－64，－26，－17)

→7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝

→→(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP

→→→⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正

确的是________．

→→→→【解析】 ∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，

∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．

→→又AB与AD不平行，

→∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．

→→→→由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，

→→∴BD与AP不平行，故④错误．

【答案】 ①②③

三、解答题

8. 如图3-2-16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

图3-2-16

求证：AM⊥平面BDF.

【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

2 则A22，0)，B(02，0)，D2，0,0)，F22，1)，M，21 . 2

→ →22 →所以AM＝ ，－，1 ，DF＝(02，1)，BD＝(2，－2，22

0)．

设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，

→→则n⊥BD，n⊥DF，

→ n·BD＝所以 → n·DF＝2x－2y＝0，2y＋z＝0 x＝y， z＝－2y，

取y＝1，得x＝1，z＝－2.

则n＝(1,12)．

→ 22 因为AM＝ ，－，1 . 22

→→所以n＝－2 AM，得n与AM共线．

所以AM⊥平面BDF.

9. 如图3-2-17，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD

.

图3-2-17

【证明】 法一 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)， 111 E 222 .

连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为 11 ，，0 . 22

→→ 1 因为AS＝(0,0,1)，OE＝0，0，2，

→1→所以OE＝2.所以OE∥AS.

又因为AS⊥平面ABCD，

所以OE⊥平面ABCD.

又因为OE 平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，

→→ 111 因为BD＝(－1,1,0)，BE＝ －2，22，

→ n1⊥BD，所以 → n1⊥BE， → BD＝－x＋y＝0， n1·即 →111 n·BE＝－ 12＋2y＋2z＝0，

令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．

因为AS⊥平面ABCD，

→所以平面ABCD的一个法向量为n2＝AS＝(0,0,1)．

因为n1·n2＝0，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

[能力提升层次]

1．如图3-2-18，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列

图3-2-18

向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )

A．(1，－2,4)

B．(－4,1，－2)

C．(2，－2,1)

D．(1,2，－2)

【解析】 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，

1 1 . 1，1，，0，1则A(1,0,0)，E，F22

→ 1 → 1 故AE＝ 0，1，2 ，AF＝ －2，0，1 .

→ AE·n＝0，所以 → AF·n＝0，

1 y＋ 2z＝0，

1 －2＋z＝0， 即 y＝－1z，2所以 x＝2z.

当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.

【答案】 B

2．(2014·遵义高二检测)如图3-2-19，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(

)

图3-2-19

A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD

B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD

C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD

D．不存在DQ与平面A1BD垂直

【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，

→→1 C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D 0，1，2，P(0,2,0)，A1B＝(1,0,1)，A1D＝

→ 1 →1 0，1， ，B1P＝(－1,2,0)，DB1＝ 1，－1，－.设平面A1BD的法2 2

→ A1B＝x＋z＝0， n·

向量为n＝(x，y，z)，则 →1 A1D＝y＋2z＝0， n· 取z＝－2，则x＝2，

y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平

→→→→→面A1BD，且B1Q＝λB1P＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ＝DB1＋B1Q

→1 ＝ 1－λ，－1＋2λ2 ，因为DQ也是平面A1BD的法向量，所以n

→1－λ1 ＝(2,1，－2)与DQ＝ 1－λ，－1＋2λ，－2共线，于是有2＝

1－2－1＋2λ1＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面14－2

A1BD垂直，故选D.

【答案】 D

3. 如图3-2-20，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．

图3-2-20

【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，

→ 111 1 z轴建立空间直角坐标系，则E 222，F 2，0，0 ，∴EF＝

→11 1 0，－ ，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，∵EF＝－，22 2

→∴EF∥n，

∴EF⊥平面PBC.

【答案】 垂直

4．(2014·广州高二检测)如图3-2-21，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD

1⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝2

.

图3-2-21

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．

【解】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． →→→(1)AP＝(0,0,1)，AC＝(1,1,0)，CD＝(－1,1,0)，

→→→→可得AP·CD＝0，AC·CD＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD. 又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.

1 → 1 (2)设侧棱PA的中点是E，则E 0，0，2，BE＝ －1，0，2.

→ n·CD＝0，设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则 → n·PD＝0， →因为CD

＝(－1,1,0)，PD→＝(0,2，－1)，所以 －x＋y＝0，

2y－z＝0， 取x＝1，则

z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．

所以n·BE→＝(1,1,2)· －1，0，1

2 ＝0，所以n⊥BE→.

因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD.

y＝1，

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