2016年考研数学大纲专题详解之极限

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2016年考研数学大纲专题详解之极限

新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。 专题一极限

考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。 1. 四则运算

此法可简要概括为“若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的极限存在，则和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商(分母不为零)”。

而在实际做题过程中，我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在，而是只观察出一部分的极限存在，这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊的加，除看成特殊的乘)两种运算讨论：两个函数相加，取极限，若能观察出一项的极限存在，若另一项的极限存在，则由四则运算法则，和的极限等于极限的和，可以往下算;若另一项的极限不存在，可以证明(用反证法)整个极限不存在，也即“收敛+发散=发散”，而这种情况在真题中的极限计算题中还未出现过。综上，两个函数相加取极限，只要一项极限存在，就可以放心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个极限不存在即可。下面讨论乘的情况，两个函数相乘取极限，若一个函数的极限存在，那得追问一句：极限值是否为0?若为0，则不能把该函数的极限算出(因为可能出现“0乘无穷”这种未定式);若极限值不为0，则后面的讨论类似于加的情况。 2. 洛必达法则

洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必达念念不忘，可谓情有独钟。到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。洛必达法则有三个条件：1)0分之0或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体函数仅判断第1)条一般不会出问题，因为第2)、3)条在多数情况下成立。但对抽象函数的极限问题要小心，可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。此外，泰勒公式以强大著称，但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含有变限积分的

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极限。一般得借助洛必达法则削去积分号。 3. 等价无穷小替换

这种方法大家都比较熟悉。首先要记住常见的等价无穷小替换公式。接下来就是广义化的思想方法(如x趋于0时，sinx等价于x，那么x的位置换成趋近于0的函数行不行?行!这就是广义化的思想)。再者，等价无穷小替换常在洛必达法则之前用，这样可以简化洛必达法则中的求导运算。注意，易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。 4. 泰勒公式

泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称“一把泰勒走天下，洛必达之类都是浮云”。确有几分道理。该公式有两种形式：带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式。前者用来算极限，后者用来证明。

算极限首先应记清8个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,

ln(1+x),(1+x)^a在0点展开的泰勒公式)，接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒公式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式，即题目中出现高阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。 5. 幂指型函数的处理

幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我们求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招：指数对数恒等式转化。 6. 夹逼定理

首先要熟悉该定理的内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之间(并不要求对所有的n成立，对充分大的n成立即可)，且在n趋于无穷时，两头的数列收敛到同一个数，则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹逼定理类似理解。

接着应熟悉一个结论：无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用其解题。

最后，一种长得非常有型的极限计算题——n项分母互不相同的分式的和的极限，可考虑夹逼定理，也可能考虑定积分定义。限于篇幅，本文在此点到为止，不详述。 7. 单调有界定理

该定理内容并不难：单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限。此处需注意，不是严格的单调也可以。

该定理数一数二同学尤其要注意，因为真题在此处考过多次大题。该定理的一种比较典

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型的应用场合是递推式数列的极限问题。一般情况下，证明数列的极限存在就可考虑该定理。 2016年考研数学大纲专题解析之不等式证明

新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。 专题二不等式证明

不等式证明是真题中常考大题的地方，其中2014年的字母不等式的证明题有不少同学就找不到思路。下面我们梳理不等式证明的基本题型以及处理思路。 1. 基本思路

考虑一道题：证明f(x)>g(x),x属于(a,b)。如何证明呢?能否带入验证呢?即便有愚公移山的精神也不行!因为太行王屋二山再大，体积质量毕竟有限;而(a,b)中的实数确是真真切切的无穷多，所以带入验证的工作成了货真价实的“子子孙孙无穷匮也”。那有什么可行的思路呢?注意到，待证不等式可恒等变形为f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),进一步可化为F(x)>0,x属于(a,b)。如何证明一个函数在一个范围恒大于零呢?仅需证明其在该范围的最小值大于或等于0即可。而找一个函数在一个区间(考虑(a,b)对应的闭区间)上的最小值应该不难。

好，我们由此得到了证明函数不等式的基本思路：移项构造辅助函数，结合单调性证明该函数的最小值大于等于零即可。具体解题有什么步骤吗?基本步骤如下：1)移项构造辅助函数;2)计算区间端点处的函数值(常有一个端点处的函数值为0，不妨设左端点的函数值为0);3)仅需证明函数单增即可，也即证明导函数大于或等于0对于开区间成立。 2.若干变形

以上是函数不等式证明的基本思路，真题中有什么变形呢?首先，如果待证的不等式形式较复杂，得考虑先化简：若不等式两边有公因子，考虑约去公因子(考虑公因子的正负对不等号的影响);若待证不等式有分母，考虑去分母;若待证不等式是指数式，考虑不等号两边取对数。

其次，在第2)个计算步骤中，若端点函数值不存在，那怎么办?用极限代替即可。再者，“仅需证明函数单增”只是咱们的美好愿望，如果实现不了呢?从图像上看，已知函数在区间左端点的函数值为零，如果函数单增，那么函数在整个区间的图像确实是位于x轴的上方;而如果函数如果不是单增，那图像也有可能位于x轴的上方。换言之，函数单增仅是不等式成立的充分条件。不必担心，若愿望落空，回到最基本的思路即可：证明函数在区间上的最小值大于等于零即可。 3. 字母不等式

以去年的那道证明题为例，要证的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何处理?以往的真题中出现过x1、x2这些非x的字母。这类不等式统称字母不等式。处理方式出乎意料的简单：把其中一个字母看成常量，另一个字母看成变量(或者替换为x)，字母不等式就化为函数不等式，进而按照函数不等式的处理思路处理即可。赵本山的小品中老虎把乌龟看成穿上马甲的蛇闹出了笑话，咱们现在把字母不等式看成穿上马甲的函数不等式不仅不是笑话，而且是正确的处理方式。 4. 积分不等式

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积分不等式长得比较吓人，但我要套用毛爷爷那句话：一切积分不等式都是纸老虎!这不是盲目自信，而是事实确是如此。积分不等式也属函数不等式，只不过穿上了积分这个马甲。处理思路是函数不等式的思路结合积分的性质。

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