概率统计题解（全）

第一章 随机事件及其概率

1．写出下列随机试验的样本空间：（1）10件产品中有4件为次品，从中任取3件，记录3件中的正品数； （2）10件产品中4件为次品，每次从中任取一件（取后不放回），直到将次品全部取出时所取的次数； （3）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子出现的点数之和（4）掷一颗骰子两次，记录两次出现的点数； （5）袋中有6个球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中依次任取两球，记录两球的编号；

（6）射击某一目标，记录到击中目标为止射击的次数（7）将一根单位长的细棍，任分为两段，记录各段的长度（8）掷一枚硬币3次，记录“正面”和“反面”出现的情况．

解：（1）Ω={0，1，2，3}（2）Ω={4，5，６，7，8，9，10}（3）Ω={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（4）Ω={（i，j）| i，j =1，2，3，4，5，6}（5）Ω={（i，j）| i，j =1，2，3，4，5，6，且i≠j}（6）Ω={1，2，3，?}（7）Ω={（x，y）|x + y =1，且0

（1）A、B同时发生，而C不发生（2）A、B、C都发生（3）A、B、C都不发生（4）A、B、C至少有一个发生（5）A、B、C至少有一个不发生（6）A、B、C恰有一个发生（7）A、B、C最多有一个不发生（8）A、B、C至少有两个发生（9）A不发生，且B、C至少有一个发生．

解：（1）ABC ；（2）ABC；（3）ABC；（4）A∪B∪C；（5）ABC或A∪B∪C；（6）ABC∪ABC∪（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC；（8）AB∪AC∪BC；（9）A(B∪C)． ABC；

3．掷一枚硬币，令Ai表示“第i次为正面朝上”，i=1，2，3．说明：（1）A1A2A3；（2）A1∪A2；（3）A1A2A3；（4）A1∪A2∪A3。分别表示什么事件．解：（1）“三次均为正面朝上”（2）“前两次中至少有一次反面朝上”（3）“三次均为反面朝上”（4）“三次中至少有一次正面朝上”． 4．设Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7，9}，C={5，6，7，8}．

求（1）AB；（2）A∪B；（3）AB；（4）ABC；（5）ABC；（6）（A∪B）C；（7）A(B?C)；（8）A?B?C． 解：（1）AB={1，3}（2）A∪B={2，4，5，6，7，8，9，10}（3）AB={1，2，3，4，5，7，9}（4）ABC={5，6，7，8，9，10}（5）ABC={1，3，5，6，7，8，9，10}（6）（A?B）C ={5，7}（7）A(B?C) ={2，4，5，6，7，8，9，10}（8）A?B?C= ABC =?．

5．如图，令Ai表示“第i个开关闭合”，i=1，2，?，5，6，试用A1，A2，?，A6表示下列事件：

（1）“系统Ⅰ为通路”； （2）“系统Ⅱ为通路”．

解：（1）A1?A2A3?A4； （2） A1A5?A1A2A3 A4?A6A3A4?A6A2 A5．

6．若A、B为互不相容的事件，且P（A）=0.2，P（B）=0.6，求：（1）P（A∪B）；（2）P（AB）；（3）P（A∪B）；（4）P（AB）；（5）P（AB）．

解：因为A、B互不相容，所以AB＝?，AB＝A－AB＝A（1）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.2+0.6－0＝0.8（2）P（AB）＝0（3）P（A∪B）＝P（A）+P（B）－P（AB）＝1－P（B）＝ 0.4（4）P（AB）＝P（A）＝0.2（5）P（AB）＝P（A?B）＝1－P（A∪B）＝0.2． 7．若P（A）=?，P（B）=?，P（AB）=?．

求：（1）P（A∪B）；（2）P（AB）；（3）P（A∪B）；（4）P（AB）．

解：（1）P（A∪B）＝P（AB）＝1－P（AB）＝1－?（2）P（AB）＝P（B－AB）＝P（B）－P（AB）＝???（3）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝1?????(???)＝1－???（4）P（AB）＝P（A?B）＝1－P（A∪B）＝1－?????． 8．试证：P（AB∪AB）=P（A）＋P（B）－2P（AB）．

证明：P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）－P（ABAB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－AB）＋P（B－AB）＝P（A）＋P（B）－2P（AB）．

9．设A、B、C为3个事件，试证：P（A∪B∪C）=P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）＋P（ABC）．

证明：P（A∪B∪C）=P（A）＋P（B∪C）－P（A（B∪C））=P（A）＋P（B∪C）－P（AB∪AC）

=P（A）＋P（B）＋P（C）－P（BC）－（P（AB）＋P（AC）－P（ABAC） =P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)．

10．已知：P（A）= P（B）= P（C）=有一个发生的概率．

解：因为 P（AB）= P（AC）=0，所以 P（ABC）=0，P（A、B、C至少有一个发生）＝P（A∪B∪C）＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝

11，P（AB）= P（AC）=0，P（BC）=，试求：A、B、C至少

8411115＋＋－0－0－＋0＝． 4448811．假设每个人在12个月份的每个月出生为等可能，求12个人的生日在不同月份的概率．

解：因为每人都有12种可能性，所以基本事件总数为：n?1212，

而所求的是12个人的生日在不同月份，所以有利事件总数为：m?12!， 从而所求概率为：P?m?12!．

n121212．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）4张中恰有2张“K”；（2）至少有2张“K”；（3）4张牌花色各不相同．

解：基本事件总数为：n?C52（1）有利事件是4张牌中恰有2张“K”，总数为：m?C4?C48，所以

22C4C48（2）有利事件是4张牌中至少2张“K”，包含2张，3张，4张的可能性，其总数为：P?14C5242222m?C4C4831?C4C4840?C4C48，所以P222314C4C48?C4C48?C4（3）设想分步骤依次抽取“黑桃”、“红杏”、?4C521111“草花”、“方片”，由乘法原理，有m?C13，所以P?C13?C13?C13314(C13)． ?4C5213．从13张黑桃朴克牌中任取一张，观看后放回，连取3次，求下列事件的概率： （1）“没有同号”；（2）“有同号”；（3）“最多有两张同号”．

1解：本题是放回抽样，基本事件总数为：n?C13??3111（1）“没有同号”，m?C13，所以?C12?C1111C1C11112?111323C12（2）事件“有同号”与事件“没有同号”是对立事件，所以P??1?13?C13?13?1316913237（3）事件“最多有两张同号”与事件“三张同号”是对立事件，而P（“三张同?16916911168号”）＝，所以P3?1?． ?169169169P2?1?P1?1?14．在40件产品中有3件次品，从中任取2件，求（1）“恰有一件次品”的概率（2）“全是次品”的概率（3）“至少有一件次品”的概率（4）“无次品”的概率． 解：基本事件总数为：n2?C4011（1）m（恰有一件次品）＝C37，所以P?C3111C37C337?3?237?2??C4040?392602（2）m（全是次品）＝C3，所以P2C323?21112（3）m（至少有一件次品）＝C37?C3＋C3，?2??C4040?392601119111C37C3?C3237?119所以P（4）事件“无次品”与事件“至少有一件次品”对立,故． P?1?????432130130C4026013015．设10张有奖明信片的尾数为0，1，2，?，9．从中任取3张，求：

（1）“尾数最小的为5”的概率（2）“尾数最大的为5”的概率．

解：基本事件总数为：n?C10（1）有利事件是5已取到，另2张在6,7,8,9中取，m＝C4，所以

22CC41125C（2）同（1），另2张在0,1,2,3,4中取，＝，所以． mP??P??51233C1020C10123216．从0~9中任取4个数(可重复)1.取到的恰有2个数码相同的概率2.取到的至少有3个数码相同的概率

4解：基本事件总数为：n?10（1）有利事件“恰有2数相同”，m＝C4?10?9?8所以

234C4?10?9?84320C?10?9C?1037044（2）同（1），P?P???0.432???0.037. 4441000010000101010217．把10本书任意地放在书架上，求其中仅有的3本外文书排放在一起的概率．

解：将3本外文书放在一起，有3！种排列方式，再将3本外文书看成1本书，与其它7本书一起，有8！

8!3!61种排列方式，而总的可能性为n?10!所以 P???．

10!901518．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，从两袋中分别任取一球，求两球颜色相同的概率．

解：记A1、A2、A3分别是“从甲袋中取出白球、红球、黑球”则P(A1)?3/25，P(A2)?7/25，P(A3)?15/25 另记B1、“从乙袋中取出白球、红球、黑球”， 则P(B1)?10/25，B2、B3分别是P(B2)?6/25，P(B3)?9/25 显然A1、A2、A3互不相容，B1、B2、B3互不相容，所以有P（“两球颜色相同”）＝P(A1B1?A2B2?A3B3)

?P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)＝

31076159207． ??????25252525252562519．某地铁车站每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，求一乘客候车时间不超过3分钟的概率．

解：几何概型问题。设x表示候车时间，则x可取[0,5]内的任意值，故总的可能区域G的度量为5，令

A表示乘客候车时间不超过3分钟，则有利事件中0≤x≤3，其A的度量为3，所以有乘客候车时间不

超过3分钟的概率P?3?0.6． 520．在（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率：

（1）两数和小于1.5 （2）两数积小于0.25 （3）两数中最大者小于0.5 （4）两数中最小者小于0.5． 解：令x,y分别表示任取的2个数，则0＜x＜1，0＜y＜1, 样本空间为 ??{?x,y? |0?x?1,?0y，其度量如图中正方形区域；?1}（1）令A表示“x?y?1.5”，则A的面积有如图a中阴影部分，所以P(A)?7?0.875 8（2）令B表示“x?y?0.25”，则B的面积有如图b中阴影部分，所以

P(B)?1?0.25??0.25dx0.25x?0.5966；

1?112?0.25 86（4）令D表示“min(x,y)?0.5”，则D的面积有如图d中阴影部分，所以P(D)??0.75

8（3）令C表示“max(x,y)?0.5”，则C的面积有如图c中阴影部分，所以P(C)?

21．将长度为a的棒任折为3段，求它们能构成三角形的概率．

解：取此棒长为数轴，折断点的坐标为x,y，则必有0?x?a,0?y?a这相当于xy平面中的点(x,y)落于边长为a的正方形中，故所有基本事件可以用此正方形??{?x,y?|0?x?a,0?y?a}面积来表示． 所谓能构成三角形，即任意两边之和应大于第三边，所以有利事件的度量为x?y?a，即2y?aaaaaa?x?y?，注意两种可能性：①x??y?，②y??x?故事件“能构成三角形”的实2222222?0.25． 8（另解）设三段长度分别为x,y，a?x?y，

际度量有如图a中阴影部分，所以P?则??{?x,y?|x?0,y?0,0?x?y?a}，

?x?y?a?x?y?x?y?a/2??有利事件取值?x?a?x?y?y??y?a/2，其实际度量有如图b中阴影部分，故事件“能构成三?y?a?x?y?x?x?a/2??角形”的概率为P?1?0.25． 422．已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A | B）=0.32，求：P（A∪B）；P（AB）；P（A?B）；P（AB）． 解：P（AB）＝P（B）P（A | B）＝0.4×0.32＝0.128 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）=0.3＋0.4－0.128＝0.572 P（A?B）＝1－P（A∪B）＝1－0.572＝0.428 P（AB）＝1－P（AB）＝1－0.128＝0.872 23．设P（A）=a，P（B）=ｂ（ｂ＞0），证明

a≥P（A | B）≥a?b?1． bb证明：P（A | B）＝P(AB)，由于P（AB）≤P（A）且 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）≤1

P(B)

第二章 随机变量及其函数的概率分布

1．抽查5件产品，令A表示“5件中至少有一件次品”，B为“次品数不少于两件”，试用随机变量表示下列事件：A、B、B、A∪B、AB．

解：设X表示次品数，则X可能取值0,1,2,3,4,5 A={无次品}?{X?0}；B={次品数少于两件}?{X?2}；

B={次品数不少于两件}?{X?2}；A∪B?{X?1}；AB?{X?2}． 2．100件产品中5件为次品，从中任取20件，求取到的次品数X的概率分布．

20?kC5kC95解：本题X服从超几何分布，其概率分布为：P{X?k}?,k=0,1,2,3,4,5． 20C1003．某产品的一等品率为0.2，若从总产品中随机取30件，求取到的一等品数的分布律．

解：设X表示取到的一等品数，则X可能取值0,1,2,?,30，本题可看作独立抽取30次，一次抽取一件，

k抽得一等品的概率为0.2，于是X服从二项分布，其概率分布为P{X?k}?C30 (0.2)k(0.8)30?k,k=0,1,2,?,30．

4．从一副52张的扑克中任取15张，求其中“红桃”的张数X的概率分布．

k15?kC13C39解：X服从超几何分布，其概率分布为：P{X?k}?,k=0,1,2,?,13． 15C525．一位射手命中目标的概率为0.6，在相同条件下进行5次射击，求击中目标次数X的分布律． 解: 独立进行5次射击，命中目标的概率为0.6，故X服从二项分布，其概率分布为：

kP{X?k}?C5(0.6)k(0.4)5?k,k=0,1,2,3,4,5．

6．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的分布．

解：设X表示将门打开所需的试开次数，则X可能取值1,2,?,n．由于每把钥匙能打开房门的概率相同，

1类似抓阄模型，X = k相当于第k人抓到有物之阄．故其概率分布为：P{X?k}?,k=1,2, ?,n．

n7．袋中有五个球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3球，求3个球中最大号码X的概率分布和分布函数．解：设X表示3个球中的最大号码数，则X只能取值3,4,5，当X = k时，有利事件的样本点是从比k小的数中挑选其余的两个数，故其概率分布和分布函数分别为：

P{X?Ck2?1k}?3C5,?(kx?3?0?0.13?x?4?45?3?； ． F(x)?3?,4?,5)??0.10.30.6???0.44?x?5?x?5?18．若在15只同类型的零件中有2只为次品，从中任取3只，令X表示取出的次品数，求X的分布律和分布函数，并作出分布函数的图形．

解：X服从超几何分布，其概率分布和分布函数分别为：

3?kC2kC13P{X?k}?,(k?0,1,2)3C15?012???22121??????353535?x?0?0?22/350?x?1 F(x)??． ??34/351?x?2?x?2?1a?k9．（1）设随机变量X的分布律为P{X?k}?,k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a．

k!a（2）设随机变量X的分布律为P{X?k}?,k?1,2,?,N．试确定常数a．

N???kNNa?k?aa???（2）解：（1） 1??P{X?k}???a??ae,?a?e1??P{X?k}????N?a?a?1．

Nk?1k?1Nk?0k?0k!k?0k!10．若在每次试验中，X总是取常数C，那么X是否可以作为随机变量？若可以，求X的分布函数． 解：可以将X看作是服从二点分布的随机变量，其概率分布与分布函数分别为：

X?x?cx?c?， ?0x?c ．

F(x)????P?01??1x?c11．设随机变量X的分布为P{X?k}?0解：(1)随机变量X的概率分布为????a?1a3a,(k?0,1,2,3)求 (1) 常数a；( 2) P{X?2}． 2k?12a53?，所以有aaa176105；

a????a?1?a??a?357105176?7? (2) P{X?2}＝P{X?0?x?1}?P{X?0}?P{x?1}?a?a?4a?35．

334412．某一大楼有5个同类型供水设备，以往资料表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求； （1）在同一时刻被使用的设备数X的分布律（2）恰有2个设备被使用的概率（3）至少有3个设备被使用的概率（4）至多有3个设备被使用的概率（5）至少有1个设备被使用的概率．

2解：(1)X服从二项分布，故有P{X?k}?C5k(0.1)k(0.9)5?k,k=0,1,2,3,4,5(2) P{X?2}?C5(0.1)2(0.9)3?0.0729 k(3) P{X?3}??C5(0.1)k(0.9)5?k?0.00856 (4) P{X?3}??C5k(0.1)k(0.9)5?k?0.99954；

k?3k?0530(5) P{X?1}?1?P{X?0}?1?C5(0.1)0(0.9)5?0.40957．

13．进行重复的独立试验，设每次试验成功的概率为p(0＜p＜1），那么失败的概率为q=1－p． （1）试验到出现一次成功为止，求试验次数X的分布律（此时称X服从参数为p的几何分布）． （2）试验到出现r次成功为止，求试验次数X的分布律（此时称X服从参数为r、p的帕斯卡分布）． 解：(1)X服从几何分布，注意当试验次数X＝k时，可看作是在k次独立试验序列中，事件A总在最后一

次成功，从而有： P{A1A2?Ak?1Ak}?qk?1p，k＝1,2,3,?；

(2)X服从帕斯卡分布，当试验次数X＝k时，此时成功次数是r次，且最后一次成功，从而只须考虑在前

?1r?1?1rk?rk－1次中有哪r－1次是成功的，故有P{X?k}?Ckr?，k＝r, r＋1, r＋2,?． ?q(k?1)?(r?1)?p?Ckr?1p1p?q14．某交通道口每天有大量的车辆通过，设在一天的某时间段内发生交通事故的概率为0.000 1，若某天在该时间段内有1 000辆车辆通过，求发生事故次数不小于2次的概率（利用泊松定理计算）． 解：设X表示发生事故的次数，将一辆车通过看作一次试验，事故A发生的概率是0.0001，则X＝k表示在1000次独立试验中，A发生了k次，故X服从二项分布B(n,p)?(1000,0.0001)，由于n太大，p太小，

k利用泊松定理，取np???1000?0.0001?0.1 P{X?2}??C1000pk?(1?p)1000?k

k?21000(0.1)ke?0.1(0.1)0e?0.1(0.1)1e?0.1???1???1?0.90483?0.09048?0.0047．

k!0!1!k?2100015．一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率．（2）每分钟的呼唤次数大于10次的概率．

8?4解：（1）X?P(4)，则P{X?8}?4e?0.02977；由泊松分布表得

8!4ke?4?4ke?4（2）可直接查表得：P{X?10}?4e?0.00284 P{X?8}?????0.051134?0.021363?0.029771）

k!k!k?11k!k?8k?9???k?416．一本300页的书中共有240个错误, 若每个印刷错误等可能地出现在任一页中, 求此书首页有印刷错误的概率．

解：设一页上的错误个数为X，一个错误在300页书中任一页的概率为1/300，共有240个错误，故X～B(n,p)?(240,1/300)，所求概率为 P{X?1}??Ck?1240k240?1????300?k?299?????300?k?1240?k，

k?0.80?0.8240利用泊松定理，取np???240??1?0.8，故近似为P{X?1}??(0.8)e?1?(0.8)e?1?0.4493?0.5507．

300k!0!17．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，若从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出算作试验成功一次．（1）某人随机地挑选，求其成功一次的概率；（2）某人声称具有名酒区分能力，连续试验10次成功了3次．试推断他是否确有区分能力（设各次试验为相互独立，并且概率很小的事件认为基本上

4不会发生）解：（1）甲、乙名酒共8杯，从中取出4杯，基本事件总数为：n?C8，设A＝“成功”＝4“将甲种酒全部挑出”，则有利于事件A的样本数为：m?C4?1，P(A)?m?1?1；

4nC870（2）“试验10次成功了3次”的概率为P?C310?p???q?3710!?1????3!7!?70?3?69?????0.000316， ?70?7这是一个小概率事件，竟然发生了，若不具备区分能力是不可能的，故可认为他确实具有区分能力． 18．某设备在10 000次运行中，平均发生故障次数为10次，求在100次运行中发生故障的概率．

解：由已知条件，可认为设备发生故障的概率约为p?10/10000?0.001． 设事件A表示“在100次运行中不发生故障”，则由泊松定理可得

0 P(A)?C100?0.001?0?0.999?0.10e?0.1100?0!?0.9048 (??np?0.001?100?0.1)，

所以在100次运行中发生故障的概率为：P?1?P(A)?1?0.9048?0.0952．

19．设某产品不能经受疲劳试验的概率为0.001，试求：5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验的概率，并比较用泊松分布和二项分布计算的结果．

解：设X是“不能经受疲劳试验的产品个数”，则X?B(n,p)，其中n?5000，p?0.001， 所以“5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验”的概率＝P{X?1}

01＝1?P{X?0}?P{X?1}?1?C5000(0.001)0(0.999)100?C5000(0.001)1(0.999)99?0.95964；

?k?5利用泊松定理，取??np?5000?0.001?5，则有P{X?1}??5e?0.959572（查表可得）．

k?2k!可见，当n充分大，而p充分小时，用泊松分布去近似二项分布是比较准确的． 20．设随机变量X的概率密度为

?C,当|x|?1,试确定常数C，并求P{?1?X?1}的概率． ?2f(x)??1?x22?0,其他.???1111?112?1 ?C?,?C? P{??X?}??12f(x)dx??12dx?arcsinx1???22??21?x2?322111解1????f(x)dx???1???1C1?x?1dx?Carcsinx?1221．设随机变量X的概率密度为（1）

0?x?1?x,?21?x2，|x|?1 （2） ??f(x)???f(x)??2?x,1?x?2??0,0，其他?其他?分别求X的分布函数，并作出f(x)和F(x)的图形．

?2x?????0dx?0,?x11?2xf(x)dx???1?x2dx?1?x2?arcsinx?,?1??2???212????11?xdx?1,?x??1解：

F1(x)?P{X?x}??x ；

?1?x?1x?1??

F2(x)?P{X?x}??x???x0dx?0,x?0?????x2?xdx?x,0?x?1 ． ??02f(x)dx??2?1xdx?x(2?x)dx?2x?x?1,1?x?2?1??02?12??xdx??(2?x)dx?1,x?21?0

22．若随机变量X的分布函数为 F(x)?A?Barctanx，－∞＜x＜＋∞，试确定常数A和B，并求出X?1????limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B???0,A????x????的概率密度函数．解：由?x???2 ； ?2?????limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B??1,?B?1??x?????x????21111，－∞＜x＜＋∞．

f(x)?F?(x)?(?arctanx)???2??1?x2?cx3,0?x?1,23．若随机变量X的概率密度为f(x)??（1）确定常数c；（2）求数a使P{X?a}?P{X?a}；

其他.?0（3）求数b，使P{X＞b}=0.01． 解：（1）因为 1??????f(x)dx??cx3dx?01c，所以c＝4； 4?P{X?a}???f(x)dx?14x3dx?1?a41???aa?1?4； （2）显然0＜a＜1，则有 ?a????aa?2??P{X?a}??f(x)dx??4x3dx?a4??0? （3）显然0＜b＜1，P{X?b}????bf(x)dx??4x3dx?1?b4?0.01?b??0.99?b11/4．

24．在区间[0，a]上任意投一质点，以X表示质点的坐标，若该质点落在[0，a]中任意小区间内的概率与该小区间长度成正比，求X的分布函数和P{X≤

a}． 3解：X的分布函数F(x)?P{X?x}，根据题意，当x＜0时，{X?x}为不可能事件，所以

F(x)?P{X?x}?0．当0≤x≤a时，F(x)?P{X?x}?P{0?X?x}?kx，当x＞a时，{X?x}必然

发生，所以F(x)?P{X?x}?P{0?X?a}?ka?1，可推出k?1．

a0,x?0?因此，X的分布函数 ? x P{X?a}?F(a)?1?a?1． ?F(x)??,0?x?a33a33a? ??1,x?a25．设k在（0，5）上服从均匀分布，试求方程 4x2＋4kx＋k＋2=0 有实根的概率．

?1?,0?k?5解：k在（0，5）上服从均匀分布，其密度函数为f(k)??5，

?其他?0,一元二次方程有实根，则判别式应≥0，即??(4k)2?4?4?(k?2)?0?16k2?16k?32?0?(k?2)(k?1)?0 ?k?2,k??1?k?2 所以方程有实根的概率为P{k?2}??3dx?． 2555126．设X~N（3，22）（1）求P{2?X?5}，P{?4?X?10}，P{|X|＞2}，P{X＞3}． （2）确定C使得P{X＞C}= P{X≤C}．

解：X?N(3,22)?X?3?N(0,1)，所以有 2222（1）P{2?X?5}?P{2?3?X?3?5?3}??(1)??(?0.5)??(1)??(0.5)?1?0.5328，

?7X?3 P{?4?X?1?0}P?{?227??}2??(3?.5?)?(3?.?5) 3.5)2，(}10.9996 P{|X?|?2P}X?{??P2X}??{PX?3?2?3X?3?2 32}?{?P?}{2222??(?2.5)?1??(?0.5)?1??(2.5)?1?(1??(0.5))?1??(2.5)??(0.5)?0.6977，

X?33?31 P{X?3?}?1P{???}?(；0 )222（2）P{X?c}?P{X?3?c?3}?1??(c?3)，P{X?c}?P{X?3?c?3}??(c?3)，

222222当P{X?c}?P{X?c}时，有 1??(c?3)??(c?3)??(c?3)?1，查表可知 c?3?0?c?3．

2222227．设X~N（?，?2），令P??X??????k??p（1）当p=0.95，0.90，0.99时分别求对应的k值； ?（2）若P{X???k?}?0.95时，k=？ 解：因为X?N(?,?2)?X????N(0,1)，所以

?X???X??1?p， ??P??k??P??k??k???(k)??(?k)?2?(k)?1?p??(k)??2?????（1）当p=0.95，0.90，0.99时，分别查正态分布表可求得对应的k值如下 ?(k)?1?0.951?0.901?0.99?0.975?k?1.96，?(k)??0.950?k?1.65，?(k)??0.995?k?2.58； 222X????X???（2）P?X???k???P???k??P??k???(k)?0.95?k?1.65． ???????28．某厂生产的电子元件使用寿命X服从参数为?=160和

?2

的正态分布，若要求

P{120?X?20?0}0.，8?最大允许为多少？

??(4040)?0.90??1.28???31.25 ???40X?16040?40解： P?120?X?200??P?????2?()?1?0.80???????29．求标准正态分布的上a分位点（1）a=0.001，求ua；（2）a=0.003求ua和ua．

2解：因为u?是上百分位点，所以有（1）P?X??0.01??1??(?0.01)???0.01??(?0.01)?0.99??0.01?2.33， ?（2）?(?0.003)?1???0.997??0.003?2.75，?(?)?1??0.9985??0.003?2.96． 0.003222?1000x?1000,30．设某元件使用寿命X（小时）的概率密度为f(x)??x2,

? 其他.?0,?现从一大批产品中任取5件，求其中至少有2件寿命大于1 500小时的概率．

2一大批产品中任取5解：元件使用寿命大于1 500小时的概率为P(X?1500)??1000dx??1000??1500x2x15003?件，相当于作五次独立试验，则P｛“至少有2件寿命大于1 500小时”｝＝1－P｛“均不大于”｝－P｛“恰2111012114有一个大于”｝由于P｛“均不大于”｝＝C50()0()5?，P｛“恰有一个大于”｝＝C5， ()()?3324333243所以所求概率为 P?1?1?10?232．

24324324331．若随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，对X进行四次独立观测，求四次中“X取值大于3”至少发?1生一次的概率．解：X?f(x)???3??02?x?5 ，P{X?3}?51dx?2；

?333x?2,x?518002014至少发生一次的概率为：P｛“X＞3至少发生一次”｝＝1－P｛“均不发生”｝＝C4． ()()?1??338181?1?1e5,x?0 32．设顾客在某银行窗口等候服务的时间X（分）服从参数为的指数分布，概率密度为f(x)???55??0,其他x当他在窗口等候的时间超过10分钟就离去，若他一个月去该银行5次，求他在一个月内未等到服务就离去的次数Y的分布律和P{Y?1}．

解：Y的取值为0,1,2,3,4,5，且Y～B(5,p)．先求任一次未等到服务而离开窗口的概率p，据题意

p?P{X?10}????10x1?5k5?kedx?e?2，则Y的分布律是：P{Y?k}?C5k?e?2??1?e?2?,k?0,1,2,3,4,5， 5050P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C5?e?2??1?e?2??0.5167．

33．已知随机变量X的分布律为求：（1）Y=X 2 （2）Z=2X－1；（3）W=|X|＋1的分布律． 解：因为

所以有

Y p X p Y= X 2 Z=2X－1 W=|X|＋1 0 0.3 Z P 1 0.4 －5 0.15 X p －2 －1 0 1 2 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15 －2 －1 0 1 2 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15 4 1 0 1 4 －5 －3 －1 1 3 3 2 1 2 3 4 0.3 －3 0.2 W P －1 0.3 1 0.3 1 0.2 2 0.4 3 0.15 3 0.3 34．若f(x)??（1）Y??2x,0?x?1, 求下列随机变量函数的概率密度和分布函数：

?0,其他.1?X；（2）Z?|X|；（3）T?e． X111，单调减，可导，其反函数x?h(y)??h?(y)??2， xyy解：（1）y?g(x)?且 ??min(g(0),g(1))?1, ??max(g(0),g(1))???，由函数分布的公式有

?f[h(y)]|h?(y)|,fY(y)??X0,?0,??FY(y)??y2??1y3dy,?y?1??y??其他?11,?2???yy2?0,?y?11?y???其他?2,???y3?0,?1?y???， 其他y?1?0,?y??11?y?????2,?y1?0,???11?,1?y???2?y?；

1?y???（2）z?g(x)?|x|???x1?h1(z)?z?xx?0，不是单调函数，其反函数?(z?0)，

?xx?0x?h(z)??z??22且 ??min(g(0),g(1))?0, ??max(g(0),g(1))?1， 则有

?(z)|?fX[h2(z)]|h2?(z)|,??z???f?z??1?f??z??1,0?z?1?2z,0?z?1?fX[h1(z)]|h1X fZ(z)????X??0,其他其他0,其他?0,??（注意fX??z??0(0?z?1)?z0dz,z?0?????0,?z??0FZ(z)???0dz??2zdz,0?z?1??z2,??0?0?1,1z??0dz??2zdz??0dz,z?101?????z?00?z?1z?1

（3）t?g(x)?e?x，单调减，可导，其反函数x?h(t)??lnt?h?(t)??， 且 ??min(g(0),g(1))?1t1, ??max(g(0),g(1))?1， 则有 e??11??2lnt1?2(?lnt)?,?t?1f[h(t)]|h(t)|,??t??,?t?1???， ???fT(t)??Xtee?t0,其他???0,其他0,其他???t?0dt,?????1t?2lnt?FT(t)???e0dt??1dt,??te??11?2lntt?e0dt?1dt?????t?10dt,?e?t?1e0,z?0??1?2?z?1??1??lnt?,0?z?1． e?1,z?1??z?135．若X～N（0，1），试求下列随机变量函数的概率密度（1）Y?2X?1；（2）Y?|X|． 1?h(z)?y?11?22解：（1）y?2x?1，不是单调函数，反函数x????h(z)??1y?12?2?2，

其导数为：h1?(z)?2412,h2(z)??4y?11y?1(y?1)，

?1yy)h]|?(fX)h|2y?fX[h1(故 fY(y)??0,?????????1e???2???12?y?1??22h[?y2(2)y]?|( y?11,y?1)|,12?41?y?10,1e2??1??2????y?1??22?4y?1y?1??1e4,?y?1??2?(y?1)?0,?y?1． y?1?(y)|?fX[h2(y)]|h2?(y)|,?fX[h1(y)]|h1（2）y?|x|，同34题（2），有fY(u)??0,?y(?y)?11?e2?1?e2?1,??2?2??0,?22y?0 y?0?2??y2,y?0????e?0,y?0?2y?0． y?036．若球的直径的测量值在[a,b]上服从均匀分布，求球的体积V的概率密度．

33解：设球的直径为随机变量X，体积为随机变量Y，则Y?4??X???X，X服从[a,b]上的均匀分

??3?2?6?1布，其密度函数为?fX(x)??b?a??0a?x?b而其他y??x3 的反函数是x?h(y)??6y???6???1/3，单调增加，

?6?h?(y)??????1/32a3?b3?1?3,??max(g(a),g(b))?，由分布函数公式 ?y,且??min(g(a),g(b))?663?fX[h(y)]|h?(y)|,??t??fY(y)??0,其他??1?2?1/3?3?1?6?1/31?2a3?b?????y3,?????y3,?t?????b?a???3?b?a?9??66??0,0,其他??2a3?b3??t?66 其他a237．将长度为2a的直线随机地分为两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率．

2解：设将直线分为X与2a?X两段，则X随机地在[0,2a]上取值，服从均匀分布，

, f(x)???2aX??0,?10?x?其他a2，

?0,?x?FX(x)??,2a???1,x?00?x?2ax?2a ．

以X与2a?X这两部分为长和宽的矩形可表示为：Y?X(2a?X)?2aX?X2，

222则题目所求为：P{Y?a}?P{2aX?X2?a}?P{X2?2aX?a?0}

222????2?2?2??2?????????PX?a?a?PX?a?a? ?P??X?a?aX?a?a?0????????2?2?2??2?????????????????2?2??1?FX??a?2a???FX??a?2a???1?????a?22aa?a2?2?1?2． 2a2a2第三章 多维随机变量及其分布

1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．

解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）。而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑。（1）有放回抽样，由乘法定理得

1010251025??，P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}??? 12123612123651,P{X?1,Y?1}?类似可得：P{X?1,Y?0}?； 363610915??（2）不放回抽样，由乘法定理得P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?， 121122102551P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}??? 类似可得：P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?；

1211333366P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?X和Y的联合分布律为

X Y 0 1 0 1 X Y 0 1 0 1 25/36 5/36 5/36 1/36 15/22 5/33 5/33 1/66 2．某学生求出关于二维随机变量X、Y的联合分布律如下表所示：试分析该学生的计算结果是否正确

X Y 0 1 1 2 3 1/2 0 1/8 0 1/4 1/4

解：将各个情况下的概率相加得：

??11119?0??0???，而二维离散型随机变量分布律具有性质28448??pij?1，可知该学生的计算结果有误．

i?1j?13．一整数X随机地在1，2，3三个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在1~X中取一个值，试求X、Y的联合分布律．

1(k?1,2,3)，由于Y≤X，当X取1时，Y只能取1，3111所以有P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1|X?1}???，显然有

3131P{X?1,Y?2}?P{X?1}P{Y?2|X?1}??0?0，P{X?1,Y?3}?0；

31当X取2时，Y可取1或2， 即 P{Y?1|X?2}??P{Y?2|X?2}?，从而有

21111P{X?2,Y?1}?P{X?2}P{Y?1|X?2}???,P{X?2,Y?2}?，同上P{X?2,Y?3}?0；

3266111以此类推，有 P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?1,Y?3}???；

339解：X和Y均可取1，2，3三个值，且P{X?k}?X和Y的联合分布律为

X Y 1 2 3 1 2 3 1/3 1/6 1/9 0 1/6 1/9 0 0 1/9 222??c(R?x2?y2),x?y?R,4．随机变量（X，Y）的概率密度f(x,y)?? 222x?y?R.??0,（1）求系数c；（2）随机变量落在圆x2＋y2≤r2（r＜R)内的概率． 解：（1）由分布密度性质

??????????f(x,y)dxdy?1，可得

222?01???????????f(x,y)dxdy?x2?y2?R2??c(R?x?y)dxdy?c?R33d??(R??)?d??c?2???c?3

06?RR（2）随机变量落在圆x2＋y2≤r2（r＜R)内的概率为

r332?r222P{(X,Y)|(X,Y)?(x?y?r)}???(R?x?y)dxdy?d??(R??)?d??3(3R?2r)． 3?030?RR?Rx2?y2?r22225．设随机变量（X，Y）在区域D：a≤x≤b，c≤y≤d上服从均匀分布，求X、Y的联合概率密度和X、Y的联合分布函数．

解：（1）由于（X，Y）在区域D上服从均匀分布，而D的面积为(b?a)(d?c)， 有f(x,y)??(b?a)(d?c),a?x?b,c?y?d（2）F(x,y)????0,其他?1??xy????f(x,y)dxdy对的取值范围进行讨论：

1）当x＜a或y＜c时，f(x,y)?0，所以 F(x,y)?0； 2）当a≤x≤b且c≤y≤d时f(x,y)?yx1dx(x?a)(y?c)，F(x,y)??dy?； ?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)yb1dx(y?c)3）当x＞b，且c≤y≤d时，f(x,y)?，F(x,y)??dy?； ?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(d?c)dx1dx(x?a)?，F(x,y)??dy?；

ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)(b?a)4）当a≤x≤b，且y＞d时，f(x,y)?db1dx?1． 5）当x＞b，y＞d时，f(x,y)?，F(x,y)??dy?ca(b?a)(d?c)(b?a)(d?c)0,??(x?a)(y?c)?,?(b?a)(d?c)?综上所述，得(y?c)?,F(x,y)??(d?c)??(x?a),?(b?a)??1,?x?a,y?ba?x?b,c?y?dx?b,c?y?da?x?b,y?dx?b,y?d

由于本题中随机变量（X，Y）在矩形域上服从均匀分布，（2）中之3）、4）、5）三种情形都可由2）得到．如3）F(x,y)?P{X?x,Y?y}?F(x,y)?P{X?b,Y?y}?F(b,y)?y?c，类似可得4），5）． d?c6．（1）求第1题中随机变量（X，Y）的边缘分布律（2）求第3题中随机变量（X，Y）的边缘分布律．

解：（1）第1题中随机变量（X，Y）的边缘分布律分别为 X Y 0 1 pi·

0 25/36 5/36 5/6 1 5/36 1/36 1/6 p·j 5/6 1/6 1 X Y 0 1 pi· 0 15/22 5/33 5/6 1 5/33 1/66 1/6 p·j 5/6 1/6 1 （2）求第3题中随机变量（X，Y）的边缘分布律为

Y 1 2 3 pi· X 1 1/3 0 0 1/3 2 1/6 1/6 0 1/3 3 1/9 1/9 1/9 1/3 p·j 11/18 5/18 2/18 1 ?cx2y,7．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???0,（1）求系数c．（2）求边缘概率密度． 解：（1）同第4题，1?x2?y?1其他

??????????f(x,y)dxdy?x?y?12??cx2ydxdy?c?x2dx?2ydy?c??1x11214，c?；

421 （2） fX(x)???????212?12124??x2xydy,|x|?1?x(1?x),|x|?1， f(x,y)dy????84??0,|x|?1?0,|x|?1? fY(y)???????75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 ． f(x,y)dx????24??0,0,其他其他??6，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞． 222?(4?x)(9?y)8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度f(x,y)?求关于X和关于Y的边缘概率密度． 解：fX(x)???????同理fY(y)???????61y2，－∞＜x＜＋∞ ； d?22???2y?(4?x)3(1?()2)3?(4?x)3??61x3，－∞＜y＜＋∞ ． f(x,y)dy?2d??(9?y2)???2(1?(x)2)2?(9?y2)2f(x,y)dy?9．雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上均匀分布，求X和Y的边缘概率密度．

?1222?2,x?y?R222解：（X，Y）在区域D：其联合概率密度为f(x,y)???R， x?y?R上服从均匀分布，

?其他?0,fX(x)???????R2?x21dy?f(x,y)dy????R2?x2?R2?0?x?R?222?2R?x,???R?0,其他?x?R其他，

?222?2R?y,同理可得关于Y的边缘概率密度 fY(y)???R?0,?10．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

y?R其他 ．

?e?y,0?x?y, f(x,y)??其他.?0,（1）求X的边缘密度fX（x）；（2）求概率P{X＋Y≤1}．

解：（1）fX(x)?????????y?x???xedyx?0?e,x?0； f(x,y)dy?????0x?0?0,x?0?（2）P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxedy??(?1)[e?y120?(1?x)?e]dx?1?2e?x?12?e?1．

11．对于下列两组参数写出二维正态随机变量的联合概率密度与边缘密度．

?1 ?2 ?1 ?2 ? （1） 3 0 1 1 1/2 （2） 1 2 1 1/2 0 解：（1）由二维正态分布的联合密度函数形式可知

f(x,y)?12??1?21??2?e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2?????1?22(1??2)??22???1?1[(x?3)2?(x?3)y?y2]1?23?e,3?1?(x?23)1?y2 fY(y)?fX(x)?ee

2?2?22(2)同理可得f(x,y)?1?e1?[(x?1)2?4(y?2)2]21)2?2(y?2)21?(x?，fX(x)? . ee2，fY(y)??2?21时X的条件概率密度．(2)求条件概21111率密度fY|X(y|x)，特别，分别写出当X=、X=时Y的条件概率密度．(3)求条件概率P{ Y≥| X=}，

324212．在第7题中(1)求条件概率密度fX|Y(x|y)，特别，写出当Y=

?cx2y,31P{ Y≥| X=}．解：(1)由第7题，知f(x,y)??42?0,?75?y2,0?y?1所以当0?y?1时有：fY(y)??2fX|Y(x|y)??0,其他?x2?y?1其他?2124?x(1?x),|x|?1， fX(x)??8?0,|x|?1??212?4xy,f(x,y)?5??72fY(y)?2y??0,x?y其他?32?3?xy2,??2?o,?x?其他y 3??1?32?1?2特别，当Y=时有：fX|Y(x|y?1)??x??,22?2?2?0,?21??32x,x?2????0,其他x?12； 其他?212xy??2y224,x?y?1,x?y?1f(x,y)??4(2) 当?1?x?1时有：f(y|x)?， 21??x2(1?x4)??(1?x)Y|XfX(x)?8?0,其他??0,其他?11?2y?2y8111,?y?1,?y?1?32??y,?y?1y,?y?1 1411?1????944fY|X(y|x?3)??(1?())??3?409fY|X(y|x?)????(1?())??15?0,其他?0,其他2?2??0,其他??0,1(3) P{Y?12?4|X?12}??1f11323212?(Y|X(y|x?2)dy???4?1ydy4)?1， 415152 12?(3)2P{Y?31?4|X?2}??3f?113232Y|X(y|x4742)dy??3ydy?41515?2?15．

13．设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)．

解：先求边缘密度函数，f????xf(x,y)dy?????x1?dy?2x,0?x?1X(x)????，

??0,其他?1??1?dx?1?y,??1y?0

fY(y)????fx(ydx,?)??y???1?dx?1?y1?,y?， ??1?y0?0,其他??从而当0?x?1时，有：ff(x,y)??1,y?x?1Y|X(y|x)?fx)??，

?2xX(?o,其他??11?y,?1?y?0?当?1?y?1时，有：f(x|y)?f(x,y)??1X|Yf?,0?y?1 ．

Y(y)?1?y??0,其他?4其他

?xe?x,x?0,20．设某种商品一周需求量是一个随机变量，其密度为f(x)?? 如果各周的需求量是相互

x?0.?0,独立的，试求两周需求量的概率密度．

解：设各周的需求量分别是X、Y，则两周需求量是Z=X＋Y，由19题可知

fZ(z)?fX?fY =

z?????fX(x)fY(z?x)dx??xe?x?fY(z?x)dx（作变量代换，令z?x?y，可得）

0??z?0z?0?0,z?0?0,?0,?????(z?y)ey?z?fY(y)dy??z???zz??z3?zy?z?y2??(z?y)e?yedy,z?0?e?(zy?y)dy,z?0?ez?0?0??0??6．

21．设随机变量X、Y相互独立，而且X在（0，1）上均匀分布，Y在（0，2）上均匀分布，求Z1=max{X，Y}，Z2=min{X，Y}的概率密度．

x?0?0,?1,0?x?1?解：由已知，X、Y相互独立，且fX(x)??，FX(x)??x0?x?1 ；

0,其他???1x?1y?0?0,1??y?,0?x?2?0?y?2 ； fY(y)??2，FY(y)??2??0,其他?y?2??1（1）FZ1(z)?P{Z1?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}

?0,?z?z???P{X?z}P{Y?z}?FX(z)?FY(z)??2?1?z?2?1?z?00?z?1 ；从而Z的概率密度为

11?z?2z?2?z,0?z?1?1 fZ(z)?FZ?(z)???,1?z?2 ； 22?2其他??0,（2）同理可得FZ2(z)?P{min{X,Y}?z}??1?[1?FX(z)]?[1?FY(z)]

?1?[1?0]?[1?0],??1?[1?z]?[1?z],?2???1?[1?1]?[1?z],?2?1?[1?1]?[1?1],?z?00,?0?z?1??3zz2???,221?z?2?1,??z?2?3??z,0?z?1?f(z)?F(z)? Z2 ． ?2Z20?z?1?其他?0,z?0z?1?2e?(x?2y),x?0,y?022．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??，

其他?0,求随机变量Z?X?2Y的分布函数． 解：如图可知，Z?X?2Y的分布函数为

FZ(z)?P{X?2Y?z}?x?2y?z??f(x,y)dxdy??dy?????z?2y??f(x,y)dx，

zzz?2y?2?2?z?z??x?2y???dy?2edx,z?0?2?(e?2y?e?z)dy,z?0?1?e?ze??0??0??0?0,??0,z?00,z?0??z?0z?0 ．

23．设随机变量X与Y独立，X~N（?，?2），Y在[－?，?]上均匀分布，试求Z=X＋Y的概率密度（计

1算结果用标准正态分布函数?(x)表示，其中?(x)?2?解：因为 fX(x)??x??． edt）

?t221e2???(x??)22?2(???x???) ，FX(x)??(x???)，

?1?,???x??fY(y)??2?， 且X、Y相互独立，利用卷积公式可得

?其他?0, fZ(z)?fX?fY =

?????fX(z?y)fY(y)dy?????1?fX(z?y)dy（作变量代换，令z?y?x，可得） 2??12??z??z??fX(x)dx?z??1z??11z????z????[?fX(x)dx??fX(x)dx]?[FX(z??)?FX(z??)]?[?()??()]． ????2?2?2??? 24．已知随机变量X和Y的联合分布为

（X, Y） P （0, 0） 0.10 （0, 1） 0.15 （1, 0） 0.25 （1, 1） 0.20 （2, 0） 0.15 （2, 1） 0.15 试求：（1）X的边缘分布；（2）X＋Y的概率分布． 解：由已知条件可得

Y 0 1 pi. X 0 0.10 0.15 0.25 1 0.25 0.20 0.45 2 0.15 0.15 0.30 p.j 0.50 0.50 1 所以（1）X的边缘分布为

X P 0 1 2 0.25 0.45 0.30 （2）X＋Y可取值：0，1，2，3，当X＋Y＝0时，P{x?y?0}?P{x?0,y?0}?0.10，当X＋Y＝1，

P{x?y?1}?P{\x?1,y?0\?\x?0,y?1\?P{x?1,y?0}?P{x?0,y?1}?0.25?0.15?0.4

以此类推，可得X＋Y的概率分布为

X＋Y P 0 1 2 3 0.10 0.40 0.35 0.15 第四章 随机变量的数字特征

1．若随机变量X的概率分布为

X pk 求E（X）和D（X）． 解：E(X)?－2 －1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.4 0.2 ?xkpk?(?2)?0.2?(?1)?0.1?0?0.1?1?0.4?2?0.2?0.3；

k?1255因为：E(X)??xk2pk?(?2)2?0.2?(?1)2?0.1?02?0.1?12?0.4?22?0.2?2.1，

k?1所以由方差公式可得：D(X)?E(X2)??E(X)??2.1?0.32?2.1?0.09?2.01．

2．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击30次，求击中目标次数X的期望和方差．

kkn?k解：随机变量X满足n＝30，p =0.8的二项分布pk?P{X?k}?Cn pq，k=0，1，2，?，30，

2由期望与方差的公式知E(X)?n?p?30?0.8?24D(X)?n?p?(1?p)?30?0.8?0.2?4.8

3．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击一个目标，直到命中目标一次为止，求射击次数的期望和方差．

解：设射击次数为X，则X?k表示前k－1次没有命中，最后一次命中，此时称X服从几何分布，其概率分布为pk?P{X?k}?qk?1p k=1，2，?，∞，其中p?0.8,p?q?1． 所以由期望公式可得E(X)??xkpk??kpqk?1k?1??k?1?p?kqk?1?p?k?1?1?1?q?2?11??1.25； p0.81） ?x?n?（注：这里利用了收敛级数的求和公式：?nxn?1????x?????2n?1?n?1??1?x??1?x?????

且有：

?nn?1?2n?1x???n????n?1???1?1?x，

????nx???x?nx???x??2?3?n?1??n?1????1?x???1?x????所以E(X2)??xk2pk??k2pqk?1?p?k2qk?1?p?1?q?1?q?1.2?1.875，

?1?q?3p20.82k?1k?1k?1 D(X)?E(X)??E(X)??1.875?1.25?0.3125．

2224．若随机变量X的分布律为 求E（X）、E（X 2）、E（3X 2＋5）．

3X pk －2 0 2 0.4 0.3 0.3 解：E(X)??xkpk?(?2)?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2；

k?123E(X)??xk2pk?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?1.6?1.2?2.8；

k?1由期望公式的性质可得E(3X2?5)?E(3X2)?E(5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?8.4?5?13.4． 5．盒中有3个白球和两个黑球，从中任取两球，求取到的白球数X的期望．

2?kC3k?C2解：由已知条件，取到的白球数X可取值0，1，2，其概率公布为P{X?k}?，k=0，1，2．

C52021120C3?C2C3?C2C3?C23?23!/2!所以其期望为：E(X)?0??1??2???2??1.2． 2225!/2!3!5!/2!3!C5C5C56．若X的分布律为P{X?k}??11，其中k为正整数，求E（X）． ?ln2k?2k??1111112?1． 解：E(X)??k?P{X?k}??k??????ln2k?2kln2k?12kln21?1ln2k?1k?127．设随机变量X的分布律为P{X?(?1)?j?13jj}?2(j?1,2,?)，说明X的数学期望不存在． j3?解：由期望定义，若

?|xi|pi收敛，则称级数?xipi的和为随机变量X的数学期望，但在本题中

i?1i?1j?13?|xi|pi??(?1)i?1j?1??j?13jj?P{X?(?1)3j2?2 这是发散的调和级数，随机变量X的数学期望不存在． }???j??jj?1j3j?1j?jak8．若随机变量X的概率分布为P{X?k}?，a＞0为常数，k=0，1，2，?求E（X）和D（X）． k?1(1?a)解：参考第3题解法，有E(X)??k?P{X?k}?k??k?0k?0??aka??a???k???(1?a)k?1(1?a)2k?0?1?a?k?1?a1??a 22(1?a)?a??1???1?a?（注意此题k从0开始，仍有

n?0?nxk?1?n?1??n???1??1） ???x?????2?n?0??1?x??1?x?a222aaaD(X)?E(X)?E(X)?a(1?2a)?a?a(1?a) 222?a???1?aE(X)??k??k????a(1?2a)??k?12?23(1?a)(1?a)k?0?1?a?(1?a)?a?k?0?1???1?a??k?1?9．若袋中有m个白球和n个黑球，每次从中任取一球，然后放回，直到取到白球为止，求取出的黑球个数X的期望和方差．

解：因为是有放回的任取，所以黑球个数X服从p?m的几何分布： n?m pk?P{X?k}?qkp k=0，1，2，?，∞，其中p?q?1． E(X)??kpqk?pq?kqk?1?pq?k?0k?0??1?1?q?2?qn/(n?m)n； ??pm/(n?m)mq?1?q?n?m?2n?1?q2? E(X)??kpq?pq?kqk， ?1pq???3222?2k?k?0k?1?1?q?pm D(X)?E(X??)2n?m?2?nn2E?(X?)?2?2mm2?n?m?． nm2?1,|x?a|?l（2）f(x)?1e?|x|,???x???． 10．若随机变量X的概率密度为：（1）f(x)???2l2?其他?0,分别求E（X）和D（X）． 解：（1）E(X)????xf(x)dx??a?l??a?l11x2x?dx?2l2l2a?l?a；

a?l D(X)?E[X?E(X)]2??a?l22x?a?f(x)dx ?????11?x?a????x?a??dx??a?l2l2l3（2）E(X)????3a?la?l12l3l2．

???2l33?01??1101??1x?e?|x|dx??xexdx??xe?xdx?xex?ex??xe?x?e?x?0；

??????2022??202?01??????21?|x|102x1??2?x12x2xx2?x?x?xD(X)???x?0?f(x)dx??x?edx??xedx??xedx?xe?2xe?2e??xe?2xe?2e?2

??????2022??202xf(x)dx????????????．

11．若随机变量X服从参数为

1的指数分布，求E（X）和D（X）． ????1?1xxxxx??????????????1x?xx解：因为f(x)??e,x?0，有E(X)? xf(x)dx??x?e?dx???ed????e??e????；????00???????0,??0x?0???2x2x?1??2???x??dx?edx??e??0?????xx2??x?2?x22??x??22 D(X)?E(X)?E(X)??2????????????e?2e?2e??2?????????02??E(X2)???x0?2?? 2x?12．设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f(x)??Axe?2?2,x?0,??0为常数．

??x?0?0,试确定常数A，并求E(X),D(X),P{X?E(X)}． 解：1??????f(x)dx????0Axe?x22?2dx?x2?2?x2??A?2e2?d??2?20??x?2?22?????A?e?2???A?2?A?01；

?2x22?2dxx22?2dx

E(X)??????x?f(x)dx????0x?x?2x2?2e2?dx??x2?2???xe2?d??0x?2???2??2x2?2??xe2?????0???0e?????0e?2??e?tdt?2??0??2???x2?） ????（这里利用了积分公式：?edx?0222D(X)??2x?E(X)??f(x)dx?????0?????x??x?2?2

dx??x?2?????2e??22???2???0xx????2?2?x2????2?2d???2?2??????x?2???e?x?2???e??????x22?2dx?2x22?2dx2222???2?0???0x???2?2

dx??x?2???e??2??2?2???0xe??2?????0e??2?2?2??2?2?2?????????2???2； 22??2 P{X?E(X)}???f(x)dx??????E(X)2x??2e?x22?2dx??e?x22?2???????2??????22??e?e??4 ．

?2??e?x,x?0,Y?2X；13．设随机变量X的概率密度f(x)??求下列随机变量函数的期望：（1）（2） Y?e?2X．

x?0.0,?解：（1）E(Y)?E(2X)?2E(X)?2? （2）E(Y)?E(e?2X)??

???2xe????0x?e?xdx?2(?x?e?x?e?x)???2xe0??0?2；

?f(x)dx????11?e?xdx??e?3x?．

03314．设（X，Y）的联合分布为

X Y －1 0 1 1 2 3 0.2 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1 0.1 0.1 （1）求：E（X）、E（Y）；（2）设Z=Y/X，求E（Z）；（3）设W??X?Y?2，求E（W）． 解：（1）由联合分布可分别求出X和Y的边缘分布为

X P 1 2 3 0.4 0.2 0.4 Y P －1 0 1 0.3 0.4 0.3 所以 E(X)?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2； E(Y)???1??0.3?0?0.4?1?0.3?0； （2）由于Z的概率分布为

Z=Y/X －1 0 1 －1/2 0 1/2 －1/3 0 1/3 P 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1 所以 E(Z)???1??0.2?(?1)?0.1?(?1)?0?0?(0.1?0?0.3)?1?0.1?1?0.1?1?0.1??1；

233215（3）同理，当X和Y分别取值1，2，3和－1，0，1时，W??X?Y?2对应取值： 0，1，4，9，16，其概率分布为

W??X?Y? 0 1 4 9 16 2

所以 E(W)?0?0.1?1?0.2?4?0.3?9?0.4?16?0?5．

P 0.1 0.2 0.3 0.4 0 15．箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，试对i?1,2,3,4求E(X|Y?i)．

解：条件期望E(X|Y?i)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有i个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为对i?1,2,3,4求得条件期望E(X|Y?i)，先要求得Y?i条件下X的条件分布，若Y?1，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故P{X?0|Y?1}?P{X?1|Y?1}?0，

213C3?C13C31由此得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2?3?3?1?9． P{X?2|Y?1}??P{X?3|Y?1}??334444C44C4类似可计算另外三个条件分布和三个条件期望，结果如下

j P{X?j|Y?1} P{X?j|Y?2} P{X?j|Y?3} P{X?j|Y?4} 0 1 2 3 0 0 1/4 1 0 1/2 3/4 0 3/4 1/2 0 0 1/4 0 0 0 E{X|Y?i} 9/4 3/2 3/4 0 16．接连掷1颗均匀骰子，设X和Y分别表示首次获得6点和5点所需的投掷次数．求E(X)， E(X|Y?1)．解：已知X为首次获得6点的投掷次数，其分布为P{X?k}?p?1?p?k?1,k?1,2,?,p?1

6这是几何分布，其期望E(X)?1?1?6．又设Y为首次获得5点的投掷次数，如“Y?1”表示“第1

p1/6次投掷就出现5点”这一事件，在这个条件下，X的条件分布为P{X?k|Y?1}?p?1?p?k?2,k?2,3,?,p?1

6它的条件期望P{X|Y?1}??k?1?5???6?6?k?2??k?2??k?p?1?p?k?2??k?21?5????k?1????6?6?k?2??k?21???5?????6k?2?6?k?211?E(X)???6?1?7

61?5617．设二维随机变量的联合密度函数为

?e?y,?f(x,y)??y?0,???0?x?y???计算E(X3|Y?y)．

其他解：先计算边缘密度f(y)和条件密度f(x|y)，f(y)????f(x,y)dx??ye0?yydx?e?y,y?0，

3而在y?0时，有f(x|y)?f(x,y)?1,0?x?y，E(X3|Y?y)???x3?f(x|y)dx?yx3?1dx?y,y?0 ．

????0f(y)yy4?1m?x18．已知随机变量X的概率密度f(x)??m!xe,??0,?x?0求E(X)D(X)；证明P{0?X?2(m?1)}?m．

m?1x?0解：本题计算要用到Γ函数的相关性质： ?(x)??当x取正整数时，?(k)?(k?1)! ；?(1)??．

2??x?1?ttedt0??tx?1e?t??0?(x?1)???x?2?ttedt0 ?(x?1)?(x?1)，

从而有：E(X)?????x?f(x)dx?1?m?1?x1(m?1)!xedx??(m?2)??m?1； ?0m!m!m!1?m?2?x1(m?2)!xedx??(m?3)??(m?2)(m?1)， m!?0m!m! E(X2)?????x2?f(x)dx? D(X)?E(X2)?E2(X)?(m?2)(m?1)?(m?1)2?(m?1)． 证明后一个结果，要利用契贝谢夫不等式：P{|X?E(X)|??}?1?D(X),

?2由于E(X)?D(X)?m?1，取??m?1，有P{|X?(m?1)|?m?1}?P{0?X?2(m?1)}?1?m?1?m

?m?1?2m?1?x?x22?,?19．已知随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为

f(x)???2e?0,?2x?0,（?x?0?0为常数），求D（X）．

??2 ． 解：参考第12题，可知 D(X)???2???2??????1??x20．设随机变量X服从参数为?、?的Γ分布，其概率密度函数为f(x)???(a)(?x)e,x?0

???0,x?0其中?＞0、?＞0为常数，求E(X)和D(X)． 解：利用Γ函数的性质： E(X)??????xf(x)dx??(a)???t??x?????xxedx????0?????t1?(a?1)?；

tedt???0??(a)???(a)? E(X)?2?(a)?2??t??x????1??x????1xedx????2t0???(a)0?1te?dt??(a?2)?(??1)，

??2??(a)?22?(??1)??． D(X)?E(X)?E(X)????2?2?22?2?2cosx,?|x|?, 求E(X)和D(X)． 21．若随机变量X的概率密度为f(x)???2?其他.?0,解：E(X)??????x?f(x)dx?2???2??2（奇函数在对称区间上的积分为零） x?cos2xdx?0；

?? D(X)?E(X)?E(X)?E(X)???2222x????22?cosxdx?222x?0?2?(1?2cos2x)dx

?2x320?3?2x2sin2x??2?022??02????2?2?x12?21． ?xsin2xdx???cos2x??cos2xdx???012??22122??0??222．设球直径的测量值在[a，b]上服从均匀分布，求球体积V的均值．

解：设球的直径为X，其概率密度为f(x)??则球的体积是 Y?g(X)??X6??3?1,a?x?b ， ?b?a?其他?0,，利用随机变量函数的期望公式，可得

bE(Y)?E[g(X)]????1b?x3?x4g(x)f(x)dx?dx??b?a?a66(b?a)4?a?24(a?b)(a2?b2)（习题二第36题）

23．证明D(X)?E?(X?C)2?，其中常数C?E(X)．

??证明：因为 C?E(X) 所以?E(X)?C?2?0?E2(X)?2CE(X)?C2?0

?E(X2)?2CE(X)?C2?E(X2)?E2(X)?E(X2?2CX?C2)?D(X)2?． ?E?(X?C)???D(X)2x??22b24．气体分子运动速度X服从马克斯威尔分布,概率密度函数f(x)?? ?Axe,x?0,b?0为已知常数，?其他?0,（1）试确定系数A；（2）求E(X)和D(X)． 解：参考本节第12题的积分计算方法，（1）1?x2??2 ??Ab??xeb2??2??xb???exb??f(x)dx?A?2??2xe0?x2b2dxAb??22?0??xe?x2?b2d?x2? ??b2??????0???0e?Ab2?dx??2???x2b2dx23?0???4； xAb3?，于是

A?3d()??b?b222（2）E(X)??????x?f(x)dx?A???3xe0?Ab24?0??xeb22?x22b2d(x)2bxxAb?Ab42b?x2?b2?b2??； ????2e?e??2?b2????04x2?x22???2?2???3b3b22b2bxedx???Axedx?002222??E(X2)????2x???f(x)dx?A???4xe0?x2b2dx??Ab22???3xe0?x22x2bd(?)2b??Ab?2??2?x2??3b2xe???3?0???，

D(X)?EX(2?E)23b2?2b??3X(?)??????2?2????2?4．2

?b?25．在长为l的线段上任意取两点，求两点间距离的期望和方差．

解：将此线段置于数轴上，与区间[0,l]重合，任取两点的坐标分别为X,Y(0?X?l,0?Y?l)，又设随机变量Z为两点间的距离，则Z?|X?Y|，Z的分布函数为 F(z)?P{Z?z}?P{|X?Y|?z}． 点(x,y)在xoy坐标平面上的一切可能位置充满如图以l为边长的正方形．而事件x?y?z相当于y?x?z,y?x?z，即点(x,y)落在图中阴影部分，故得

l2?(l?z)2z2(0?z?l) F(z)?P{|X?Y|?z}? ?1?(1?),

ll2Z的分布密度为f(z)?F?(z)?2(1?z),(0?z?l)

ll??22z2?z2z3?l 2l2z2?z3z4?l2 2E(Z)??z?f(z)dz??z(1?)dz??????3E(Z)????z?f(z)dz?l?0z(1?l)dz?l??3?4l???6??l0ll?23l??0??0??llll2 D(Z)?E(Z)?E(Z)?622l2?l?????． ?3?18?(y?5)2?e?2x,0?x?126．设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为fX(x)??fY(y)???0,其他?0,y?5,求E(X?Y)． 其他.????2) E(Y)??yfY(y)dx??y?e?(y?5dy??ye?y(???0??532由于X和Y相互独立，所以E(X?Y)?E(X)?E(Y)??6?4．

3解：E(X)????xfX(x)dx??x?2xdx?1??5)5)??e?y?(dy5?5?1?6 5??27．若随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?A,???x???,???y??? 222(1?x?y)（1）确定常数Ａ；（2）D(X)和D(Y)是否存在？ 解：（1）1???????????f(x,y)dxdy?A?????dx?????1dy，

(1?x2?y2)2利用积分公式

dxx1xdxdy??arctan?C，可得 ?(a?x2)222a(a?x)2aaa???y? 1?A?dx?22??2(?1x?)x(1?y???21)22(?1x2?y?arctan? 31?x2?)????????A????2(1?322x)??dx?A????01(1?322x)dx?A??????x(1?x2)02?A?，故A?1；

?(2) E(X)????????????xf(x,y)?dx?dy??xAdy???(1?x2?y同理E(Y)?0；从而D(X)?E(X2)??2????2x??????f(x,y)dxdy?)12 ?， 0（奇函数）dx??2??xdx????(1????1dy 222x?y)?x??1??2?x2????lnx?(1?x)??x?dx?dx?0332?????(1?x)2(1?x2)2(1?x2)2??????, ??0??同上知， D(X)?D(Y)?? （不存在）．

28．已知D(X)=25，D(Y)=36，?XY=0.4，求D(X?Y)和D(X?Y)． 解：注意协方差与相关系数的公式 ?XY?cov(X,Y)，

D(X)D(Y) cov(X,Y)?E?X?E(X)??Y?E(Y)??E(X?Y)?E(X)?E(Y)；

所以 D(X?Y)??E(X?)Y?(E??X)Y???2E??X(?2E)?X???

22Y()EY22?E?X?E(X)???Y?E(Y)??2?X?E(X)??Y?E(Y)??E?X?E(X)??E?Y?E(Y)??2E?X?E(X)??Y?E(Y)?

??

?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)?D(Y) ?25?36?2?0.4?25?36?85； 同理可求出

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)?D(Y)?25?36?2?0.4?25?36?37． 29．若随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}，求?XY． 解：因为(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其密度函数为 f(x,y?)?且 1??则有

?)D?A,(x,y，

?0,x(y,?)Df(x,y)dxdy?A?dx?1?dy?A1x1?A?2；

?????002????1x12E(X)???x?f(x,y)dxdy?2?xdx?dy?2?，

????0033????1x11E(X2)???x2?f(x,y)dxdy?2?x2dx?dy?2?，

????0042????1x11E(Y)???y?f(x,y)dxdy?2?dx?ydy?2?，

????0063????1x11E(Y2)???y2?f(x,y)dxdy?2?dx?y2dy?2?，

????00126????1x11E(XY)???xy?f(x,y)dxdy?2?xdx?ydy?2?，

????0084????12?11?1?1 D(X)?E(X)?E(X)???，， ?D(Y)???????2?3?186?3?182222 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?从而 ?XY?1211， ???43336covX(Y,)?D(X)DY()1/361/36??．

1/1811//11882130．设随机变量(X,Y)服从二维正态分布f(x,y)?1?e2??x2?y22，???x???，???y???．求

Z?X2?Y2的期望和方差．

解：由随机变量函数的期望公式 E(Z)???????????x2?y2?1?e2??x2?y22dxdy?12??02?d????0re?r22rdr

?1?2??2?r2???rd(?e20r??)???re2??2r????????e2dr?； 0?2?0??2又 E(Z2)????????????x2?y2?2?1?e2??x2?y22dxdy?12??02?d??????2re0?r22rdr

?1?2??2?r2???2rd(?e20r??)???r2e2??r???r?????2?e2rdr?2?e20???0???22???2， ??0于是有 D(X)?E(X2)?E2(X)?2??2．

31．若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N(?,?2)，令???X??Y，???X??Y求随机变量?与

?的相关系数???．

解：依题意，有 E(X)?E(Y)??,D(X)?D(Y)??2，且Cov(X,Y)?0． 因为 ????co?v?(,)E???(E?)E?(， )()?D(?)D?()D?()?D()而 E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(，? E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(．? E(??)?E(?X?由方差公式可求出

2 E(X)??Y)(?X??Y?)22E(?X?22?Y?)22?E(?X)2，? E(Y)D(?X)22222E(??X)??， 同理可得 E(Y)????，

所以 E(??)??2(?2??2)??2(?2??2)?(?2??2)(?2??2)． 又 D(?)?D?(X??Y)?2?D(X?)2?综合上述结果，可得 ????2，同理有D(?Y)?(?2??)D(?)?(?2??2)?2，

(?2??22)?(???2)??(???)??(?2(?2??2)?(??2?)?222?)??2(?2?2)??． ?2?2222(???)????232．设随机变量X和Y相互独立，试证明

D(X?Y)?D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)．

证明：D(X?Y)?E?(XY)?E(XY)??E(XY)2?2XYE(XY)?E2(XY) ?E(XY)2?2E(XY)E(XY)?E2(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)，

2??

因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又 E(X2Y2)??????22xyf?????(x,y)dxdy????2??2xfX(x)dxyfY(y)dy??????E(X2)E(Y2)，

从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)

2222222? ???E(X)?E(X)?E(Y)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y)22 ?D(X)E(Y2)?E2(X)?E(Y)?E(Y)???22??D(X)E2(Y)?E2(X)D(Y) ?D(X)?E(Y)?E(Y)???D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)．

34．设随机变量X和Y都只取两个数值，则X和Y不相关时，X和Y互相独立．

证明：X和Y都服从二点分布，记X?a，表示A发生，X?b，表示A不发生；同样，记Y?c，表示B发生，Y?d，表示B不发生；则有

X ab

Y cd P

P(A)P(A) X Y P P(B)P(B) bd acadbcP

P(AB)P(AB)P(AB)P(AB) E(X)?aP(A)?bP(A)，E(Y)?cP(B)?dP(B)，

E(X)E(Y)?acP(A)P(B)?adP(A)P(B)?bcP(A)P(B)?bdP(A)P(B)； E(XY)?acP(AB)?adP(AB)?bcP(AB)?bdP(AB)；

当X和Y不相关时，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?E(XY)?E(X)E(Y)；

由于a,b,c,d取值的任意性（不妨取a?b?1,c?d?0），可得P(AB)?P(A)P(B)，即事件A,B相互独立，从而A,B,A,B之间两两独立．于是

P(X?a,Y?c)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?a)P(Y?c)，

P(X?a,Y?d)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?a)P(Y?d)， P(X?b,Y?c)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?b)P(Y?c)， P(X?b,Y?d)?P(AB)?P(A)P(B)?P(X?b)P(Y?d)，

故 X和Y互相独立．

35．设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,|y|?x,0?x?1 f(x,y)??其他?0,（1）求fX(x),fY(y)；（2）求E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)； （3）讨论(X,Y)的相互独立性和相关性． 解：（1）fX(x)??????f(x,y)dy??1?dy?2x,(0?x?1)，

?x?xfY(y)?????????11?dx?1?y,(0?y?1)??y ； f(x,y)dx??1??1?dx?1?y,(?1?x?0)??y10（2） E(X)????xXf(x)d?x?222x?dx，

310E(Y)??y(1?y)dy??y(1?y)dy?0；

?10E(XY)??E(X2)???????????xyf(x,y)dxdy??dx?011??2x3dx?， 021?x?xxydy?0；

??2xfX(x)dx??E(Y2)??y2(1?y)dy??y2(1?y)dy??10011； 61?2?1D(X)?????,2?3?18211D(Y)??0?；

662（3）cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0??0?0,?3?XY?0，

即(X,Y)不相关，但fX(x)?fY(y)?f(x,y)，故(X,Y)不相互独立．

36．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??其他.?0,求相关系数． 解：fX(x)????????fY(y)??E(X)??????3x?y)?dy?,?x( 00213f(x,y)dx??(2?x?y)dx??y,(0?y?1)

02f(x,y?)?dy?(?21x1)??5135； xfX(x)dx??x(?x)dx?，同理 E(Y)?018212E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??1dx?1xy(2?x?y)dy100?6； E(X2)????x2fX(x)dx??1x2(3?x)dx?1，同理 E(Y21??024)?4； 1522故 D(X)????114?，同理 1?5?11144；

?12???144D(Y)?4???12??? cov(X,Y)?1556??112?12?144； 所以有 ?cov(X,Y)?1/144?1XY?； D(X)D(Y)?11/14411/144?1137．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?f(x,y)??1?(x?y),0?x?2,0?y?2

?8?0,其他求E(X),E(Y),D(X),D(Y)、cov(X,Y)、?XY和D(X?Y)． 解：ff(x,y)dy??21(x?y)dy?x1X(x)??????084?4,(0?x?2)

f???Y(y)???f(x,y)dx??2108(x?y)dx?y14?4,(0?y?2)

E(X)????xf?2x177??X(x)dx?0x(4?4)dx?6，同理 E(Y)?6；

E(XY)??????22???xyf(x,y)dxdy??14??0dx?0xy8(x?y)dy?3；

E(X2)??????x2fX(x)dx??20x2(x4?14)dx?53，同理 E(Y2)?53； 2D(X)?53???7??6???1136，同理 D(Y)?1136；cov(X,Y)?43?76?76??136； 所以有 ?cov(X,Y)XY?X)D(Y)??1/36?111/3611/36?11；

D( D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?1136?1136?2?1536?9． 38．若随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且E(Xi)??D,X(i?)?2，i=1，1n2X?21n2，验证：（?n?Xi,S?1）E(X)??,D(X)?； i?1n?1?(Xi?X)i?1n2，?，n．令

（2）S2?1nn?1?(X2i?X2)；（3）E(S2)??2． i?1证明：（1）由已知条件及独立性，可得

?E(1n1nE(X)1nn?Xi)??E(Xi)?i?1n????，

i?1ni?12D(X)?D(1?nX?1?i)????nD(X1n2??2ni)?i?1?n?1n2??i?1n； i?（2） 2nnS?1n?1?(X2122i?X)?n?1(Xi?2Xi?X?X) i?1?i?1?1nn?1(?X2nnX21n2nn2i?2 i?1?Xi?i?1?X)?i?1n?1?Xi?2XX?Xi?1n?1n?11n?2n21n22n?1?Xi?X?1?(Xi?X)； i?1n?1n?i?1（3） E(S2)?E?n?1?(X?nni2?X2)??11?E(Xi2?X2)?1i?1??E(Xi2)?E(X2)?，

?n?1i?1?n?n?1i?1由于 ?2?D(Xi)?E(iX2)?2E(iX?)Ei(2X??)2?,Ei2(?X?)，2? ?同理

?222222n?D(X)?E(X)?E(X)?E(X)??,?E(X)??22n??，

所以 1n2E(S2)??2?n????2???(??)???2?1n(n?1)?21(n?1)?2．1i?1??n?n?1????n??i?1nn?1n39．设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=

12，?1XZ=?2，E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)．

解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1； D(X?Y?)Z??E(X??Y)Z?(E?X?2 ?Y)Z ?E??X?E(X)?2??Y?E(Y)?2??Z?E(Z)?2 ?2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)???D(X)?D(Y)?D(Z)?2cov(X,Y)?2cov(Y,Z)?2cov(Z,X)

?3?211?21?1?221?1?2??1??1?1?4． ?2??=1YZ2，求 2

110040．设随机变量X～N（100，0.2），对X作100次独立观测，观测值为X1,X2,?,X100，令X?xi，?100i?12

利用契贝谢夫不等式估计P{|X?100|?0.1}．

解：因为X～N（100，0.22），且X1,X2,?,X100相互独立，所以

11001100E(X)?E?xi??100?100， ??100i?1100i?1100110010.222 D(X)?， Dx?0.2?2??i?2?100100i?1100i?1取??0.1，由契贝谢夫不等式，有

0.22D(X) P{|X?E(X)|??}?1??P{|X?100|?0.1}?1?100?0.96． 22?0.1

第五章 大数定理与中心极限定理

1．设某系统由30个元件R1，R2，?，R30组成，若R1损坏R2立即启动，若R2损坏则R3立即启动，?，每个元件的寿命Xi（i=1，2，?，30）为服从参数?=0.1的指数分布，且X1，X2，?，X30相互独立．求系统总寿命T超过350的概率．

30111?10,D(Xi)?2?2?100，系统总寿命为 T??Xi，解：由已知条件，E(Xi)???0.1?0.1i?11由林德贝格－列维中心极限定理知T?N(10?30,100?30)，所以 P{T?350}?1?P{T?350}?1??(?350?300)?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814． 30002．设某部件由10个部分组成，每部分的长度Xi为随机变量，X1，X2，?，X10相互独立同分布，E(Xi)=2毫米，D(Xi)=0.5毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率． 解：设总长度为T?10?Xi，则

i?1210E(T)??E(Xi)?2?10?20，

i?1?10D(T)??D(Xi)?(0.5)?10?2.5，同第1题，知T?N(20,2.5)，

i?1

所以合格的概率为 P{2?0?1T??20?1P}?T?{21?20P2?1T}??{19?}?2.5?1920 ()2.5()?2?(1)?1?2?(0.63)?1?2?0.7357?1?0.4714． 2.5?m3．计算器在进行加法运算时，四舍五入产生的误差在(?0.5?10取m=0，

，?0.5?10?m）上服从均匀分布，若

（1）求：1 500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率；

（2）最多可有多少个数相加才能使误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解：设Xi是取整误差，则Xi、Xj相互独立，且Xi服从(－0.5，0.5)上的均匀分布，

?0.5?(?0.5)??1，误差总和 T?0.5?(?0.5)，D(X)?E(Xi)??0i21212由中心极限定理

15001500i?12?Xi．

i?1n （1）当n=1500时，E(T)??E(Xi)?0，D(T)?i?1?D(Xi)?1500， 12??15?T?0?

P{T?15}?1?P{T?15}?1?P{T?15}?1?P???150012150012????????15?1??2???1??1????2??1.3416??1???0.1802． ?????150012??? （2）由P{T?10}?0.90?2???10??10??1?0.90????0.95，

?n12???n12??????2 查表得

10?10??1.64?n?12??即最多可有446个数相加才能使误差总和的绝??446.16，n12?1.64?对值小于10的概率不小于0.90．

4．进行独立射击，每次命中率为0.1，试求500次射击中，命中次数在49~55次之间的概率． 解：设Xi表第i次射击，命中取1，不命中取0，则Xi、Xj相互独立，且Xi服从

p?0.1的二点分布，E(Xi)?p?0.1，D(Xi)?pq?0.09，命中总次数为 T??Xi，

i?1n现求P{49?T?55}．由中心极限定理

?55?500?0.1??49?500?0.1??5???1?P{49?T?55}????????????????

?500?0.09??500?0.09??45??45? ???0.75?????0.15??0.7734?(1?0.5596)?0.333．

5．设Xi（i=1，2，?，50）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数?=0.03的泊松分布，记Z?利用中心极限定理求P{Z≥3}．

解：E(Xi)???0.03，D(Xi)???0.03，由中心极限定理 P{Z?3}?1????Xi?150i，

?3?50?0.03???1???1.225??1?0.8888?0.1112．

?50?0.03?6．设每个零件的重量为随机变量，它们相互独立同分布，其期望值均为0.5克，方差为0.01平方克，求5 000个零件总重量超过2 510克的概率．

5000解：设Xi是第i个零件的重量，则E(Xi)?0.5，D(Xi)?0.01，总重量T?由中心极限定理

P{T?2510?}??1??Xi，

i?1?50?00?0.5?25101?????500?00.01??1.41?4??． 0.07871?0.92137．（1）某系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为使整个系统正常运行，必须有至少85个部件正常工作，求整个系统能运行的概率；

（2）若系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须有至少80%的部件工作才能使整个系统运行，当n为多少时，才能使系统的可靠性不低于0.95？

解：（1）设X为100个部件发生损坏的个数，则有X?B(100,0.1)，由德莫弗－拉普拉斯定理，X近似服从正态分布 N(100?0.1,100?0.1?0.9)?N(10,9)，系统正常运行，必须有至少85个部件正常工作，即 X?15，从而其概率为 P{X?15}????15?10??7????1.?69??； 250.95（2）设X为n个部件中发生损坏的个数，系统正常运行，必须X?n?20%，则有 P{X?0.n2?}n?n?0.?0.2?10.?95????n?0.09?? 0.95

?n?n2????0.95??1.65?n?3?1.65?24.5． ????3?3?? 故当n为25时，才能使系统的可靠性不低于0.95． 8．掷一枚均匀的硬币100次，求出现正面数大于60的概率．

解：设X为100次抛掷硬币中出现的正面次数，则有X?B(100,0.5)，由德莫弗－拉普拉斯定理 P{X?60?}?1??00.?60?10??5?????1?0.?50.?100?52???10.9?772．0. 02289．进行50次独立的重复试验，假定每次的成功率为0.1，令X表示50次试验中成功的次数，求

P{X?3}．比较用二项分布、泊松逼近和正态分布逼近的结果．

解：(1)利用二项分布计算：X?B(50,0.1)，则

?P{X?1}?P{X? P{X?3}?P{X?0}0050 ?C5(0.1)(0.9?)C51002?}PX{?

2483(0.?1)C(50.09)31(0.1)4(?90.C9)250

(0.1)(0.9)2 ?0.005?0.02?860.?0779?0.1386；

(2)利用泊松分布计算：X?B(50,0.1)，取??np?50?0.1?5，则有

5ke?5 P{X?3} 265??1???10.734?974；0.k?4k!? (3) 由德莫弗－拉普拉斯定理利用正态分布计算：

X近似服从正态分布N(50?0.1,50?0.1?0.9)?N(5,4.5)，所以有 P{X?3}????3?5??????0.943??1?0.8264?0.1736．

?4.5?10．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率．

解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布B(500,0.006)，由题设，保险公司1年的收益为 Y?500?800?50000?X，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为 P{Y?20000?0}P{5?00?8005?0X00?0，2?0P00X00?}

从而由德莫弗－拉普拉斯定理 P{X?4}???4?50?00.006???????0.0?060.?500?994??1??9????0.5?7?2.982．0.7 19

概率统计（统计部分）习题解答 习题六

1、解：因为Xi（i=1，?，1）不是同分布，故X1?X10不是简单随机样本

2、解：因为Xi（i=1，?，10）不一定是相互独立的，故不一定是简单随机样本 3、解：因为X5+2P含有未知参数，故不是统计量，其余5式均为统计量 4、解：先对100个数据进行分组，造表、然后作图

*（1）最小值x1?332，最大值x100?356

*（2）选取a?330?x1，b?360?xn，组距△ti=5，组数m=6

**（3）作出频数统计表

组别 330~334 频数Vi 2 频率fi 0.02 yi?fi 52/500 335~339 340~344 345~349 350~354 355~360

32/500 32/50 y 0 300/500

15/50

0 9/500 15 30 32 9 2 0.15 0.30 0.32 0.09 0.02 15/500 30/500 32/500 9/500 2/500 频率/组距 组距

2/500

0 330 335 340 345 350 355 360 x

***5、解：x1?x2??x8??2??1?1?1.5?2?2?2.8

样本分布函数

?0?10?x??2?18?2?x??1??14?1?x?1?F8(x)??381?x?1.5

?581.5?x?2??782?x?2.8?x?2.8?1???50.8?52X?521.8???6、解：?50.8?X?53.8???? 6.36.361.05??36???? 7、解：?X?80?3

??(1.71)?(1??(1.14))?0.9564?0.8729?1?0.8293

???X?80?3???1????? 20102010?????1???(1.5)??(?1.5)??2?1??(1.5)??2?(1?0.9332)

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