专题八、立体几何空间位置关系

专题八：立体几何

----空间位置关系

知识点：

（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：

⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：

⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：

（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；

（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；

直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；

平面与平面的位置关系：相交；；平行；

（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；

如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。

- 1 -

- 2 - （6）异面直线的判定：①反证法；

②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。

（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。

（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。

（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

考点练习

1、在空间，下列命题正确的是 D

（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面

（C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行

2、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m ∥α，则m 平行于α内的任意一条直线 ②若α∥β，m ?α，n ?β则m ∥n

③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β ④若α∥β，m ?α，则m ∥β

上面命题中真命题的序号是_____③④_______（写出所有真命题的序号）。

4、已知直线a 、b 和平面α，那么b a //的一个必要不充分的条件是（ ）D

A ．α//a ，α//b

B ．α⊥a ，α⊥b

C ．α?b 且α//a

D ．a 、b 与α成等角

5、给定下列四个命题： 答案 D

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是

A. ①和②

B. ②和③

C. ③和④

D. ②和④

6、设,,a b c 表示三条直线，α、β表示两个平面，下列命题中不．

正确的是（ ）答案 D A ．//a a αβαβ⊥??⊥?? B ．a b a b αβαβ⊥??⊥?⊥??⊥? C ．////b c b c c ααα????????

D ．//a b b a αα??⊥?⊥? 7、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 （ ）D A ．若//,//,//m m n n αα则 B ．若,,n n αβαβ⊥?⊥则

C ．若m ,n ,m n αβ⊥⊥⊥则

D ．若,//,m m αβαβ⊥⊥则

8、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 B

A ． 若l m ⊥，m α?，则l α⊥

B ． 若l α⊥，l m //，则m α⊥

C ． 若l α//，m α?，则l m //

D ． 若l α//，m α//，则l m //

9、设l ,m ,n 为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是 答案 B

① 若l ⊥α，m ∥β，α⊥β则l ⊥m ② 若，，，，n l m l n m ⊥⊥??αα则l ⊥α

③ 若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α ④ 若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则l ∥n

- 3 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10、若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．

是（ ）B

A ．若m βαβ?⊥，，则m α⊥

B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥

C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥

D ．若m αγ= ，n βγ= ，m n ∥，则αβ∥

11．设c b a ,,是空间三条直线，βα,是空间两个平面，则下列命题为假命题的是 （ ）D

A ．当βαβα//,,则若时⊥⊥c c

B ．当βαβα⊥⊥?则若时,,b b

C ．当b a c b a c b ⊥⊥?则若内的射影时在是且,,,αα

D ．当c b c c b //,//,,则若时且ααα??

12．已知直线βαβα?⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：

①若;,//m l ⊥则βα ②若;//,βα则m l ⊥ ③若;//,m l 则βα⊥ ④若.,//βα⊥则m l

其中正确命题的个数是 （ ）C

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

13．若n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列命题： B

①若n m n m ⊥⊥则,//,αα； ②若βαγβγα//,,则⊥⊥；③若n m n m //,//,//则αα；

④若γαγββα⊥⊥/,//,//m m 则 其中正确命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

14．已知直线m 、n 和平面α、β 满足m ⊥n ，α⊥β ，α⊥m 则 D

（ ） A ．β⊥n B ．n //β或β?n C ．α⊥n D ．n ∥α或α?n

15、已知平面//αβ，且直线a α?，有下列命题：

①直线//a β②在β内过定点P 有且只有一条直线和直线a 垂直；③和平面β垂直的直线一定与直线a 垂直； ④在平面β内有无数条直线和直线a 平行； 其中正确命题的个数为 A

（A ） 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

16、平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题：

①1m ⊥1n ?m ⊥n ； ②m ⊥n ?1m ⊥1n ；

③1m 与1n 相交?m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行?m 与n 平行或重合；

其中不正确．．．

的命题个数是 D A.1 B. 2 C.3 D. 4

17．设,a b 为两条不重合的直线,,αβ为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是（ ）D

A ．若,a b 与α所成角相等,则//a b

B ．若//,//,//a b αβαβ,则//a b

- 4 - C ．若,,//a b a b αβ??,则//αβ D ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥,则a b ⊥

18、 已知直线,m n ，平面,αβ，给出下列命题：

①若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；

③若m α⊥，m ∥β，则αβ⊥；④若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥. 其中是真命题的是 D

A ．②③

B ．①③

C ．②④

D ．③④

19、已知αβγ、、是三个不同的平面，命题“//,αβ且αγβγ⊥?⊥”是真命题．若把αβγ、、中的任意两

个换成直线，则在所得到的命题中，真命题有 B

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

20、 已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给出下列命题：

①α∥β?l ⊥m ②α⊥β?l ∥m ③l ∥m ?α⊥β ④l ⊥m ?α∥β 其中正确命题的序号是 C

A. ①②③

B. ②③④

C. ①③

D. ②④

21、下列命题中，正确的是 B

A ．平面βα⊥，直线β//m ，则β⊥m

B ．⊥l 平面α，平面//β直线l ，则βα⊥

C ．直线l 是平面α的一条斜线，且β?l ，则α与β必不垂直

D ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行

22、已知三个平面γβα,,，若γβ⊥，且α与γ相交但不垂直，直线c b a ,,分别为γβα,,内的直线，则下列结论正确的序号 . ④⑥ （把你认为正确的命题序号都填上）

①任意γβ⊥?b b ,； ②任意γβ//,b b ?； ③存在γα⊥?a a ,；

④存在γα//,a a ?； ⑤任意αγ//,c c ?； ⑥存在βγ⊥?c c ,.

23、已知直线,,l m 平面,αβ，且,l m αβ⊥?，给出下列四个命题

①若α∥β，则l m ⊥ ②若l m ⊥，则α∥β ③若αβ⊥，则l ∥m ④若l ∥m ，则αβ⊥

其中正确命题的序号是（ ）C

A ．①②

B ．①③

C ． ①④

D ．②④

24、已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题：

①若||,m α则m 平行与平面α内的无数条直线 ②若||,,,||m n m n αβαβ??则

③若,,||||m n m n αβαβ⊥⊥则 ④若||,,||m m αβαβ?则 上面命题中，真命题的序号是 ①③④ （写出所有真命题的序号）

25、已知直线l m 、，平面αβ、，且l m αβ⊥?，，给出四个命题 ：

① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若l m ⊥，则//αβ；③ 若αβ⊥，则//l m ； ④ 若//l m ，则αβ⊥ 其中真命题的个数是 C

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

26.设b,c 表示两条直线，α,β表示两个平面，下列命题中是真命题的是( )C

A.???b ?αc ∥α?b ∥c

B.???b ?αb ∥c ?c ∥α

C.???c ⊥βc ∥α?α⊥β

D.???α⊥βc ∥α

?c ⊥β

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