一元二次方程全章教学设计

第1教时

教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程（一） 教学目标：

知识与技能目标：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项

系数、一次项系数及常数项．

过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的

学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生

用数学的意识．。

教学重、难点与关键：

重点：一元二次方程的意义及一般形式． 难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。 教辅工具： 教学程序设计： 程序 教师活动 1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力． 2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角学生活动 学生看投影并思考问题 备注 通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位． 创设 问题 情景 上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？ 教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题． 板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

1．复习提问 （1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？ （2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？ （3）什么叫做分式方程？ 2．引例：剪一块面积为150cm的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念． 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程． 2讨论后回答 学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较， 独立完成 加深理解 学生试解 问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫 探 究 新 知 1 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2； （2）7x2＋6＝2x（3x＋1）； （3）12x222?7 （4）6x＝x； （5）2x＝5y； （6）-x2＝0 4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数． 一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解． 5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式， 并写出二次项系数，一次项系数及常数项？ 教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式． 练习1：教材P．5中1，2． 练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．(1)ax2要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数． 反馈 训练 应用 提高 ?2x?23?0(2)3x?2mx?0 2(3)(m?1)x?8mx?2m?1?0 （4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx． 教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化． 1

（四）总结、扩展 引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，学生讨论回答 小结 提高 体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法． 2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程． 3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义． 1．教材P．6 练习2． 布置 作业 2．思考题： 1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？” 2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）． 反 思

第2教时

教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程（二） 教学目标：

知识与技能目标：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开

平方法解．

过程与方法目标：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

情感与态度目标：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知

识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

教学重、难点与关键：

重点：用直接开平方法解一元二次方程．．

难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）

一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，

2

c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

教辅工具： 教学程序设计： 程序 教师活动 在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”学生活动 举一些生活中平移的实例。 备注 创设 问题 情景 “求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的． 1．复习提问 （1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？ （2）平方根的概念及开平方运算？ 2．引例：解方程x2-4=0． 解：移项，得x2＝4． 两边开平方，得x＝±2． ∴ x1＝2，x2＝-2． 练习：教材P．7中1（1）（2）（3）（4）． 举例 按照要求完成后，相互检查 讨论完成。 学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念． 例1 解方程9x2-16＝0． 探 究 新 知 1 反馈 训练 应用 提高 探 究 新 知 2 反馈 训练 应用 提高 探 究 新 知 2 反馈 训练 应用

练习：解下列方程： （1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4； 例2 解方程（x＋3）2＝2． 例3 解方程（2-x）2-81＝0． 解法（一） 解法（二） 练习：教材P．7中2． 此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题 按照要求完成后，相互检查 讨论完成。 学生试解 按照要求完成后，相互检查 讨论完成。 3

提高 1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）． 2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，学生讨论回答 体会 小结 提高 同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径． 3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解． 布置 作业 反 思 教材P．15中A1、2、 P．16中B1、（学有余力的学生做）． 第3教时

教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程（三） 教学目标：

知识与技能目标：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用

配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．

过程与方法目标：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力． 情感与态度目标：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要

的方法

教学重、难点：

重点：用配方法解一元二次方程．

难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式． 教辅工具：

教学程序设计：

4

知识与技能目标：

31．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

过程与方法目标：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．. 情感与态度目标：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想． 教学重、难点：

重点：用因式分解法解一元二次方程． 难点：正确理解AB?0?A?0或B?0 教辅工具： 教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 1、类比：AB?0?A?0或B?0 （x－2）（x＋3）＝0， 2、例1 解方程x2＋2x＝0． 解：原方程可变形x（x＋2）＝0??第一步 讨论这个方程该怎么解？ 教师提问、板书，学生回答． 体会这种思想方法。 学生试解 讨论总结因式分解的步骤： 练习：P．22中1、2． 体会步骤及每一步的依据． 练习P．22中3． （3x＋2）2=4（x-3）2. 学生练习、板演、评价 教师活动 解方程：（x－2）（x＋3）＝0， 你有其它的解法没有？ 独立作。 观察、讨论 学生活动 备注 探 究 新 知 1 ∴ x＝0或x＋2＝0??第二步 ∴ x1=0，x2=-2． 注意：“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法 例2、因式分解法解方程x2＋2x－15＝0． 教师板演。 总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 例3、方程3（x-2）-x（x-2）＝0． 教师引导，强化．此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析． 10

练习：1。解下列关于x的方程 学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度． 反馈 训练 巩固提高 6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）． 练习P．22中4． 1．谈谈你对这种解法的体会 讨论、体会。 小结 提高 布置 作业 反 思

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是： 3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程． 教材P．21中A1、2． 教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）． 第7教时

教学内容： 12．2 用因式分解法解一元二次方程（二） 教学目标：

知识与技能目标：

3能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二

次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．

过程与方法目标：通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．

情感与态度目标：通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思

想方法．

教学重、难点：

重点：熟练掌握用公式法解一元二次方程． 难点：用配方法解一元二次方程．

关键：对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解．

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教辅工具： 教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 回顾： （1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项． （1）3x2＝x＋4； （2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2； （3）（x＋3）（x-4）＝-6； （4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5． （2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点． 教师活动 学生活动 备注 此组练习尽量让学生眼看、心算、口答， 使学生练习眼、心、口的配合． 回顾四种方法，小组议论与交流。 巩 固 训 练 练习1．用直接开平方法解方程． （1）（x-5）2＝36；（2）（x-a）2＝（a＋b）2； 此组练习，学生板演、笔答、评价． 此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透． 练习2．用配方法解方程． （1）x2-10x-11=0；（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 练习3．用公式法解一元二次方程 （1）x2?4x?3?0 （2）(x?3)2?43x 此2题学生板演、练习、评价， 此2题学生板演、练习、评价， 自主选择方法。 学生笔答、板演、老师渗透，点拨． 讨论、体会。 练习4．用因式分解法解一元二次方程 (1) x2-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2； 练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等． 练习6．选择恰当的方法解下列方程 (1)25(x?7) 2?16(x?4)(2)x?2212x?712?0 小结 提高 （1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解． （2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法． 布置 作业 1．教材P．21中B1、2． 2．解关于x的方程． （1）x2-2ax＋a2-b2＝0， 12

（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0． 3．解方程 ①（3x＋2）＝3（x＋2）； 2 4．方程（m-3m＋2）x＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程． 22 反 思

第8教时

教学内容：一元二次方程的根的判别式（一） 教学目标：

知识与技能目标：1．了解根的判别式的概念．2．能用判别式判别根的情况． 过程与方法目标：1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．

2．进一步考察学生思维的全面性．

情感与态度目标：1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

2．进一步渗透转化和分类的思想方法．

教学重、难点与关键：

重点：会用判别式判定根的情况。

难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”。

关键：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac

＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

教辅工具： 教学程序设计：

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程序 教师活动 1、在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？． 2．复习提问 （1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 其变形为：(x? 思考回答 动笔解答 学生活动 备注 创设 问题 情景 b2a)?2b?4ac4a22学生讨论可能出现的情况。 讨论归纳。 答：b2-4ac 理解，记忆 探 究 新 知 1 ∵a?0,?4a2?0 所以（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根． （3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？ 定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 反之亦然． 例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y； （3）5（x2＋1）-7x＝0． 学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况． 试解． 探 究 新 知 2 强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根． 例2、不解方程，判别下列方程的根的情况： x?22kx?k22?0 教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值． 14

1．教材P.38中B 1 . 2（8）． 布置 作业 反 思

2．把下列各式分解因式：（学有余力的学生选作） （1）（m-m）x-（2m-1）x+m（m+1）； （2）（x2+x）2-3x（x+1）-4． 222第14教时

教学内容：一元二次方程的应用（一） 教学目标：

知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题． 过程与方法目标：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．

情感与态度目标：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性． 教学重、难点：

重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题．

难点：根据数与数字关系找等量关系．

教辅工具： 教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 探 究 新 知 1 教师活动 （1）列方程解应用问题的步骤？ ①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答． （2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；??（n表示整数）． 例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数． 引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题： 1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？ 2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？ 3．选出三种方法中最简单的一种． 学生活动 教师引导、板书，学生回答 备注 在教师的引导下分析，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法． 25

反馈 训练 应用 提高 探 究 新 知 2 练习 1．两个连续整数的积是210，求这两个数． 2．三个连续奇数的和是321，求这三个数． 3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数． 例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数． 学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法． 分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价． 注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验． 练习 教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会． 反馈 训练 应用 提高 1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．（35，53） 2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数． 1、列一元二次方程解应用题，步骤 讨论、体会。 ． 小结 提高 2、数与数字的关系、奇偶数的表示方法 3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途． 布置 作业 反 思

教材P.42中A1、2、 15教时

教学内容：12．6 一元二次方程的应用（二） 教学目标：

知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．

过程与方法目标：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识． 情感与态度目标：进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想． 教学重、难点：

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

2．教学难点：找等量关系．列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要

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检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等．

教辅工具： 教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无教师活动 列方程解应用题的步骤？ 学生活动 教师引导、学生回答 备注 教师启发、引导、学生回答，应明确： 使学生深（1）因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键． 刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识． 探 究 新 知 1 盖长方体型的纸盒？ （2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验， 反馈 训练 应用 提高 探 究 新 知 2 练习1．章节前引例． 练习2．教材P.42中4． 学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法． 注意：全面积=各部分面积之和． 剩余面积=原面积-截取面积． 例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？ 分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价． 注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验． 1．有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系． 讨论、体会。 ． 小结 提高 2．要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负． 3．进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力． 布置 作业 反 思

教材P.42中A3、6、7． 教材P.41中3．4 27

第16教时

教学内容：12．6 一元二次方程的应用（三） 教学目标：

知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

过程与方法目标：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的

意识．

情感与态度目标：进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法． 教学重、难点：

1．教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

2．教学难点：有关增长率之间的数量关系．下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了

教辅工具： 教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 教师活动 （1）原产量+增产量=实际产量． （2）单位时间增产量=原产量×增长率． （3）实际产量=原产量×（1+增长率）． 例1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月 学生活动 教师引导、板书，学生回答 备注 教师引导，点拨、板书，学生回答． 理解： （1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x． （2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系． （3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开． 探 究 新 知 1 份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月的增长率为x． 则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）． 3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x] =5000（1+x）2（吨）． 练习1．教材P.42中5． 拓展：若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程． （1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率． （1+x）=b（把原来的总产值看作是1．） （2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数． （a（1+x）2=b） （3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数． 2学生分析题意，板书，笔答，评价． 教师点拨．引导学生总结下面的规律： 设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为（a1+x），增长两次后的产值为（a1+x）2反馈 训练 应用 提高 ，????增长n次后的产值为S=a（1+x）n． 28

（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1．） 探 究 新 知 2 例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结． 引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）． 1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法． 讨论、体会。 ． 小结 提高 2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题． 3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年??，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程． 布置 作业 反 思

教材P.42中A8 第17教时

教学内容：12．6一元二次方程的应用（四） 教学目标：

知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解有关行程和浓度方面的问题．

过程与方法目标：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学

的意识．

情感与态度目标：进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法． 教学重、难点：

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关行程和浓度方面的应用题． 2．教学难点：浓度问题．学生对浓度问题中一些量的正确理解．

教辅工具：

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教学程序设计： 程序 创设 问题 情景 例1 A、B两地相距56千米，甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地出发相向而行，甲车速度为每小时36千米，乙车在遇到甲车后又开30分钟才到达A地，求两车从出发引导学生分析、板书、练习，评价． 注意两个问题： （1）这是一道行程问题中的相遇问题；有这样的等量关系，甲走的路程+乙走的路程=甲乙之间的距离． 例2 一个容器装满40升纯酒精，第一次倒出若干升后，用水注满，第二次倒出第一次倒出量的一半的液体，已知两次共倒出纯酒精25升，问第一次倒出纯酒精多少升？ （2）深刻理解速度、路程、时间之间的关系． 引导学生分析板书、笔答、评价． 注意在浓度方面的问题中，要紧紧抓住浓度、溶液、溶质、溶剂几个量之间的关系． ① 甲、乙两人绕城而行，甲绕城一周需要3小时．现在学生分析题意，板书，笔答，评价． 教师活动 （1）路程、速度、时间三者的关系． （2）浓度、溶液、溶剂、溶质之间关系． 学生活动 教师引导、板书，学生回答 备注 探 究 新 知 1 到相遇所用的时间． 反馈 训练 应用 提高 两人同时同地背向出发，乙自遇到甲后再走4小时才能到达原出发点，求乙绕城一周所需要的时间． ②某人存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，求得利率． 1． 在行程问题中，要紧紧抓住路程、速度、时间三个量的关系 溶质这四个量的关系 3．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法． 4．仍然要据方程的特点，注意巧算；据实际题意，注意方程两根的取舍． 讨论、体会。 ． 2． 在浓度方面的问题中，要紧紧抓住浓度、溶液、溶剂、 小结 提高 布置 作业 反 思

教材P.43中B1. 2．P67. 11、12 30

第18教时

教学内容：12．7 可化为一元次方程的分式方程（一） 教学目标：

知识与技能目标：本节课使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求

此类方程的解，并会验根．

过程与方法目标：1．使学生掌握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程；使学生理解转化的

数学基本思想；2．使学生能够利用最简公分母进行验根．

情感与态度目标：结合对题目的分析与解答，对学生进行辩证唯物主义思想的教育． 教学重、难点：

1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．

2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．学生容易忽视对分式方程的解进行检验．通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．

教辅工具： 教学程序设计： 程序 教师活动 1．什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分化方程的方法与步骤是什么？ 学生活动 教师引导、学生回答 让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解 备注 创设 问题 情景 2．解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？ 3． 产生增根的原因是什么？ 直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程及其解法，类比地提出可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法相同． 师生共同解决例1后，教师引导学生与已学过的知识进行比较． 分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程， 探 究 新 知 1 而转化为整式方程的关键是正确地确定出方程中各分母的 最简公分母，由于此方程中的分母并非均按x的降幂排列， 所以将方程的分母作一转化，均为按字母x进行降幂排列， 并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母． 例2、解方程 2(x?1)x?12?6(x?1)x?12?7 学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方法。 大胆猜测，大胆尝试 31

分析：此题也可象前面例1一样通过去分母解决， 用换元法

教师板演过程。 反馈 训练 应用 提高 小结 提高 布置 作业 反 思

巩固练习：教材P.49中1（2）、2． 学生分析题意，板书，笔答，评价． 采用了什么数学思想方法？ 讨论、体会。 “转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法．． 1．教材P.50中 A1、2、3． 2．教材P.51中B1、2． 第19教时

教学内容：12．7 可化为一元次方程的分式方程（二） 教学目标：

知识与技能目标：本节课使学生在学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之一．—

—行程问题，使学生正确理解行程问题的有关概念和规律，会列分式方程解有关行程问题的应用题．．

过程与方法目标：本节课通过列分式方程解有关行程问题的应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求

学生能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．

情感与态度目标：结合分式方程应用题的分析与解答，向学生灌输辩证唯物主义的观点，使学生懂得：理论知识

来源于实践，反过来去更好地指导实践．

教学重、难点与关键：

1．教学重点：列分式方程解有关行程问题．

2．教学难点：如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住时间、路程、速度三者之间的关系，通过三者之间的关系的分析设出未知数和列出方程．

3．关键：对于列分式方程解应用题，学生往往考虑到所解出的答案是否和题意相吻合，而认为可以不需要检验．通过本节的学习，使学生清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合．

教辅工具： 教学程序设计：

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程序 创设 问题 情景 教师活动 1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的两种方法是什么？ 2．在匀速运动过程中，路程s、速度v、时间t三者之间的关系是什么？ 3．以前所学过的列方程解应用题的步骤有哪些？ 例1 甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？ 在本题中，采取的方法应为教师引导学生分析，列出方程以至于解出方程．在分析过程中和解题过程中，教师应强调单位的统一以及检验的位置 例2 一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共5小时20分．已知水流速度为每小时3千米，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少？ 学生活动 教师引导、学生回答 让全体学生对照前面复习过内容来进一步加深对“类比”法的理解 备注 ．学生试一试 ，可讨论 引导学生分析，列出方程以至于解出方程． 探 究 新 知 1 反馈 训练 应用 提高 教材P.49中6题． 学生分析题意，板书，笔答，评价． （1）本节课的内容是什么？ 讨论、体会。 ． 小结 提高 布置 作业 反 思

（2）关系到本节课内容的因素是什么？ 教材P.50中 A4、5． 第20教时

教学内容：12.7 可化为一元二次方程的分式方程（三） 教学目标：

知识与技能目标：本节课是在学生学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之二——

33

解有关工作问题的应用题．

过程与方法目标：本节课的内容是列分式方程解有关工作问题的应用题，其解题思路、方法和解题步骤与前面学

过的完全相同．本节内容通过对实际问题的剖析，可以进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．

情感与态度目标：结合分式方程的应用题，向学生灌输实践——理论——实践这一观点，使学生进一步认识理论

知识来源于实践，反过来去更好地指导实践这一论点．

教学重、难点：

1．教学重点：列分式方程解决工作问题．

2．教学难点：在复杂的数量关系中，通过对题目的分析与综合，找出相等关系

教辅工具： 教学程序设计： 程序 教师活动 1．解决行程问题的关键是什么？应抓住哪些量的关系？ 2．列分式方程解应用题，应如何看待所求出的解？ 学生活动 教师引导、学生回答 备注 创设 问题 情景 3．在工作问题中，工作量、工作时间、工作效率三者间的关系是什么？ 4．（1）要挖960米长的渠道，如果每天挖x米，则几天可以挖完？ （2）对于某项工作，甲需8天完成，乙需6天完成，甲、乙合作两天，可完成多少工作量？ 例1 某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务．原计划每天挖多少米？ 教师引导学生进行分析，找出相等关系列出方程，剩下的工作应由学生自行完成 例2 例2 一个水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池少用10小时；两管同时开放，12小时可把水池注满．若单独开放一个水管，各需多少小时能把水池注满？ 如果将问题改为只求单独开放乙管需多少时间，学生解出的方程的两个解均为方程的解，学生易产生两种答案的错误，这一点教师应给以强调． 学生分析题意，板书，笔答，评价． ．学生试一试 ，可讨论 引导学生分析，列出方程并解出方程． 同上。 探 究 新 知 1 反馈 训练 应用 提高 小结 提高

教材P.49中3． （1）本节课的内容是什么？ （2）关系到本节课内容的因素是什么？ 讨论、体会。 本节课学习的主要内容是分式方程的应用之二——工作问题，在解决工作问34

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