高考复习指导讲义+第二章+三角

高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数 一、考纲要求

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A、w、?的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构

1.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+第二象限角：2kπ+

?,k∈Z 2?＜α＜2kπ+π,k∈Z 23?第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z

23?第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z

2(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k2360°+α，k∈Z。

(5)特殊角的集合：

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝

k?，k∈Z｝ 2?，k∈Z｝ 4?终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝

4?终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝

4终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+2.弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化：

1°＝

?180弧度，1弧度＝(

180?)°

(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。 弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=

112

lR=｜α｜R 223.周期函数：

(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正

数叫做这个函数的最小正周期。 (2)几个常见结论：

①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。 (1)

②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么

T?也是y=f(wx)(w≠0)的周期。

③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα=

yx,cosα=,tg

rrα=

xyrx,ctgα=,Secα=,cscα= (如图(1))。

rryy(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sinα2cscα=1,cosα2secα=1,tgα2ctgα=1 商数关系：tgα=

2

sin?cos?,ctgα= cos?sin?2

2

2

2

2

平方关系：sinα+cosα=1,1+tgα=secα,1+ctgα=cscα

(4)诱导公式： α 正弦 余弦 正切 余切 2kπ+α sinα cosα tgα ctgα -α -sinα cosα -tgα -ctgα π-α sinα -cosα -tgα -ctgα π+α -sinα -cosα tgα ctgα 2π-α -sinα cosα -tgα -ctgα ?-α 2cosα sinα ctgα tgα ?+α 2cosα -sinα -ctgα -tgα 上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS

(2)三角函数的图像和性质： 函数 图象 y=sinx y=cosx y=tgx ｛x｜x∈R且x定义域 R R ≠kπ+Z｝ ［-1，1］x=2kπ+值域 ymax=1 x=2kπ- 周期性 周期为2π 奇偶性 奇函数 在［2kπ-周期为2π 偶函数 周期为π 奇函数 周期为π 奇函数 y=ctgx ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ ?,k∈2?［-1,1］ 时x=2kπ时ymax=1 2x=2kπ+π时ymin=-1 ? 时ymin=-1 2R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 ???在［2kπ-π，2k在(kπ，kπ+π),2kπ+ ］在(kπ-，kππ］上都是增函内都是减函数(k222?上都是增函数；在［2k数；在［2kπ，∈Z) +)内都是增单调性 ?22kπ+π］上都是2π+ ,2kπ+π］上减函数(k∈Z) 函数(k∈Z) 32都是减函数(k∈Z) 7.函数y=Asin(wx+?)的图像： 函数y=Asin(wx+?)的图像可以通过下列两种方式得到： ?＞0，图像左移?

(1)y=sinx y=sin(x+?) ?＜0，图像右移｜?｜ w＞1，横坐标缩短为原来的

1倍 w y=sin(wx+?)

0＜w＜1，横坐标伸长为原来的

1倍 w A＞1，纵坐标伸长为原来的A倍

y=Asin(wx+?) 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来的A倍

w＞1,横坐标缩短为原来的

1倍 w1倍 w(2)y=sinx 0＜w＜1,横坐标伸长为原来的

?＞0，图像左移y=sin(wx) ? w? ?＜0,图像右移

w A＞1，纵坐标伸长为原来A倍

y=sin(wx+?) y=Asin(wx+?) 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来A倍 8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：

两角和与差的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ， tg(α±β)=

tg??tg?

1?tg?tg?倍角公式：

sin2α=2sinαcosα，

2222

cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα， tg2α=

2tg?. 21?tg?半角公式： sin

?1?cos?=±, 22?1?cos?=±, 22cos

tg

?sin?1?cos?1?cos?=±==.

sin?21?cos?1?cos?积化和差公式：

1〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, 21cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕

2sinαcosβ=

1 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕, 21sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕

2cosαcosβ=和差化积公式： sinα+sinβ=2sin

???22??????sinα-sinβ=2cossin

22??????cosα+cosβ=2coscos ,

22??????cosα-cosβ=-2sinsin

22万能公式：

cos

???,

2tgsinα=

?2?21?tg2，cosα=

?2,tgα=22tg1?tg?2?1?tg21?tg2?2

2(2)各公式间的内在联系：

(3)应注意的几个问题：

①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。 ④常具的变形公式有：cosα=β＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).

⑤asinα+bcosα=a2?b2sin(α+?).(其中?所在位置由a，b的符号确定，?的

sin2?1?cos2?1?cos2?22

,sinα=,cosα=,tgα+tg

2sin?22

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