2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)试题及点评

1 第5题图

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

理科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）

.A 第一象限 .B 第二象限

.C 第三象限 .D 第四象限

2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）

A ．139,,a a a 成等比数列

B ．236,,a a a 成等比数列

C ．248,,a a a 成等比数列

D ．369,,a a a 成等比数列

3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3, 3.5==，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）

.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =-

.29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+

4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()

23a b c -⊥，则实数k=（ ） 9.2A B ．0 C ．3 D ．152

5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入

的条件是（ ）。

A ．12s >

B. 35

s > C. 710s > D.45s >

6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:q “1x >”是“2x >”的充

分不必要条件,则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧ .B p q ?∧? .C p q ?∧ .D p q ∧?

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.54

B.60

C.66

D.72 8.设12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3,PF PF b +=129||||,4

PF PF ab ?=则该双曲线的离心率为（ ） A.43

B.53

C.94

D.3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相

2 邻的排法种数是（ ）

A.72

B.120

C.144

D.3

10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足1sin 2sin()sin()2A A B C C A B +-+=--+

，面积满足12S ≤≤，记,,a b c 是角A ，B ，C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）

A.()8bc b c +>

B.()ac a c +>

C.126≤≤abc

D. 1224abc ≤≤

二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.设全集=?==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______.

12.

函数2()log )f x x =的最小值为_________.

13. 已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数=a _________.

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14. 过圆外一点P 作圆的切线P A （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，

若P A ＝6，AC =8，BC =9，则AB =________.

15. 已知直线l 的参数方程为2,3,

x t y t =+??=+?（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐

标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，0,02ρθπ≥≤≤，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.

16. 若不等式21|21||2|22

x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）

已知函数())(0,)22f x x π

π

ω?ω?=+>-≤<的图像关于直线3x π

=对称，且图像上相

邻两个最高点的距离为π.

（I ）求ω和?的值；

（II

）若2())263

f α

παπ=<<，求3cos()2απ+的值.

3 18.（本小题满分13分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（I ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（II ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数,,a b c 满足 a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.

19.（本小题满分12分）

如图（19），四棱锥P ABCD -，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，

2,3AB BAD π

=∠=，M 为BC 上一点，且1,2

BM MP AP =⊥. （I ）求PO 的长；

（II ）求二面角A －PM －C 的正弦值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）

已知函数22()(,,)x

x f x ae

be cx a b c R -=--∈的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点

(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.

（I ）确定,a b 的值；

（II ）若3c =，判断()f x 的单调性；

（III ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.

4 21.如题（21）图，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112,DF F F

⊥121||||F F DF =，12DF F ?

的面积为2

. （I ）求该椭圆的标准方程；

（II ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，若存在，则求出圆的半径；若不存在，则说明理由.

22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

设

111,(*)n a a b n N +==+∈ （I ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；

（II ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈都成立？证明你的结论。

第21题图

5 2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（理工农医类）试题答案与解读

解：(12)2i i i -=+，故表示复数的点在第一象限内。选择A 。

点评：本题考查复数的计算（乘法）和复数的几何意义，属于容易题。

2．【解读与点评】

解：由等比数列的性质：下标成等差，对应项成等比，知选D 。

点评：本题考查等比数列的简单性质，属容易题。

3.【解读与点评】

解：由线性回归方程过点(,)x y ，将选择支逐一代入验证，只有A 适合，故选A 。

点评：本题考查线性回归方程的基本特点，涉及验证法，是容易题。

4. 【解读与点评】

解：易求23(23,6)a b k -=--，(23)a b c -⊥得2(23)60k --=，解得3k =。

点评：本题考查平面向量的坐标运算，涉及解方程。属容易题。

5. 【解读与点评】

解：运行程序，得

k=9,s=1Y

??→91

,810s k =?=Y ??→988,710910s k =?==Y ??→877,610810

s k =?==N ??→6k =， 因此，条件判断框内应填710s >，选C 。 点评：本题考查程序框图，涉及逻辑、数列的前n 项积，属容易题。

6. 【解读与点评】

解：易判断命题p 真，命题q 假，故选D 。

点评：本题考查简易逻辑，涉及指数、简单的不等式。属容易题。

7. 【解读与点评】

解：由三视图作出直观图，如图，观察直观图，该几何体是一个直三棱柱截掉上面的一个三棱锥（虚线部分）后的部分，其表面积为11113453(25)4(25)5352222

??+?++?++?+??=60. 点评：本题考查三视图，由三视图作出直观图，涉及表面积，考查空间想象能力，运算能力，属中档

题。

8. 【解读与点评】

6 解：由双曲线的定义得12||||2,PF PF a -=±又12||||3,PF PF b +=所以22124||||94,PF PF b a ?=- 又129||||,4

PF PF ab ?=所以22949,b a ab -=即(3)(34)0b a b a +-=，所以34b a =， 2229()16,c a a -=解得53

e =。 点评：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义，简单的计算，属中档题。

9. 【解读与点评】

解：先排歌舞，有33A 种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插

入中间的两个空，×^×^×，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有2126A A 种；若

两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的

另一个，有224A ，由加法原理和乘法原理得，共有32123262(4)120A A A A +=。

点评：本题考查加法原理、乘法原理、排列、组合，涉及分类讨论，属中档题。

易错提醒：排列组合问题最易多或少。如：先排2个小品，再插入1个相声，再插入3个歌舞，得213214

A A A 或213234A A A ，都是错误的。正确分类是解决这类问题最常用的方法。

10. 【解读与点评】解：∵1sin 2sin()sin()2A A B C C A B +-+=--+，∴1sin 2sin(2)sin(2)2

A B C ππ+-=-+，即1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，12sin()cos()2sin cos 2

A B A B C C +-+=， 12sin [cos()cos()]2C A B A B --+=，1sin sin sin 8

A B C =， 设△ABC 的外接圆的半径为R ，则S ＝2

21sin 2sin sin sin 24

R ab C R A B C ==， ∵12S ≤≤，∴2

124

R ≤≤

，解得2R ≤≤ ∴33()8sin sin sin 8ab a b abc R A B C R +>==≥，选择支A 正确。

对于选择支B ，取90,2A R =?=，则4,a =sinB=cosC ，由1s i n s i n 8

B C =

得sin 44

B C ==

b c ==+

于是()9.1ab a b +=≈，否定B 。 对于选择支C 、D

，易知338sin sin sin abc R A B C R ==∈，否定C 、D 。

点评：本题考查三角变换、三角形内角和定理、三角形的面积、正弦定理，涉及三角形的边角关系，不等式运算（放缩），四个选择支涉及三个不等式，要肯定其中一个否定另外三个，增加了解题的难度。属高档题。

解：易求U ＝{1，2，3，4，……，10}，U C A ＝{4，6，7，9，10}，故()U C A B ＝{7，9}。

7 点评：本题考查集合的交并补运算，涉及的集合是有限集，属容易题。

12. 【解读与点评】

解：22222111()log )log (1log )(log )244

f x x x x x ==+=+-≥-，

当21log ,22

x x =-=时取得最小值。 点评：本题考查对数的计算、指对互化，涉及二次函数的最值，属中档题。

13. 【解读与点评】

解：易知圆C 的半径为2，由△ABC 为正三角形知圆心C 到直线AB

=

，解得4a =±

点评：本题考查点到直线的距离公式、正三角形的高，涉及解方程，属中档题。解题的关键是如何将“正三角形”转化为“点到直线的距离”。

14. 【解读与点评】

解：由切割线定理得2

36(9)PA PB PC PB PB =??=?+，解得PB ＝3，易知△PAB~△PCA ，得PB AB PA AC

=，故AB ＝PB AC PA ?＝4. 点评：本题考查切割线定理、三角形相似，涉及解方程，属容易题。

15. 【解读与点评】

解：将直线l 的参数方程化为普通方程得1y x =+。将曲线C 的极坐标方程化为普通方程得24y x =，联立解得1,2x y ==，所以直线l 与曲线C

交点的极径ρ=

点评：本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，涉及曲线交点（解方程组）、极径的计算，属容易题。

16. 【解读与点评】

解：设()|21||2|f x x x =-++，则31,2,1()3,2,2131,,2

x x f x x x x x ?--<-???=-+-≤

a -≤≤。 点评：本题考查绝对值不等式的恒成立问题、解一元二次不等式、一次函数式的值域，涉及分类讨论、数形结合，属中档题。

三、解答题：满分75分。

17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）

已知函数())(0,)22f x x π

π

ω?ω?=+>-≤<的图像关于直线3x π

=对称，且图像上相

邻两个最高点的距离为π.

（I ）求ω和?的值；

8 （II

）若2())263

f α

παπ=<<，求3cos()2απ+的值. 解：（I ）因()f x 的图像上相邻两个最高的点的距离为π，所以()f x 的最小正周期为T ＝π，从而22T

πω==。 又因()f x 的图像关于直线3x π=对称，所以2,32k k Z ππ?π?+=+∈，,6k k Z π?π=-∈， ∵22π

π

?-≤<，∴6π

?=-。

（II ）由（I

)64

πα-=即1sin(),64πα-= 由263παπ<<得062ππα<-<

，∴cos()6πα-= ∴3cos()sin sin[()]sin()cos cos()sin 2666666

ππππππαπαααα+==-+=-+-

。 另解：由（I

)6πα-=即1sin(),64πα-

=11cos 24

αα-=，

1cos 2αα-=，又22sin cos 1αα+=

，联立解得sin α=。 点评：①本题考查三角函数的性质、同角三角函数关系、三角变换（两角和的正弦公式）、角间关系，涉及解方程组；

②三角函数的性质不熟悉、三角变换的公式记不牢是造成不能正确求解的关键。

③近三年的高考试题中，三角函数与三角变换是必考的知识点之一，一般是容易题。部分学生存在的问题是三角变换的公式记不牢，造成不会或不能求解。

④本题第（II ）问计算中用到一个技巧——角间关系，如果注意不到这个角间关系，而按照另解做，势必会增大运算量，对计算能力差的学生是一个挑战。求解三角变换问题的常用抓手有两个：角间关系、函数名。抓好角间关系，能简化运算。

18.（本小题满分13分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（I ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（II ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数,,a b c 满足 a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.

解：（I ）由古典概型中的概率计算公式知所求的概率为334339584

C C P C +==。

9 （II ）X 的所有可能取值为1，2，3，且2134543917(1)42

C C C P X C +===， 1112133423633943(2)84C C C C C C P X C ++===；2127391(3)12

C C P X C ===。

从而E （X ）＝142?+284?+31228

?=。 点评： ①本题考查古典概型概率公式，随机变量的概率分布列，数学期望、排列组合等知识点。

②此题首先由古典概型公式，结合排列组合知识先求出3个卡片上数字全部相同的概率，再求3个卡片上中位数X 的概率分布列，最后求出X 数学期望。

③对于此类题首先是确定事件类型与关系，再选用合理的公式与方法，本题的难点在于对事件“3个卡片上数字全部相同”、“ 3个卡片上中位数”的理解与辨析，要正确的分类讨论。

④近三年对于随机事件的概率的考查均为17、18题，考查形式均为第一问求概率，第二问求分布列和期望，今年也不例外。近三年的高考试题中这类问题均考查运用概率知识解决实际问题的能力，涉及化归与转化、分类与整合、或然与必然等基本数学思想，属中档题。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -，底面是以O 为中心的

菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π

=∠=，

M 为BC 上一点，且1,2

BM MP AP =⊥. （I ）求PO 的长；

（II ）求二面角A －PM －C 的正弦值。

解法一：（I ）如图，连结AC 、BD ，因ABCD 为菱形，则A C∩B D

＝O ，且AC ⊥BD 。

以O 为坐标原点，,

,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z

轴的正方向，建立空间直角坐标系

O xyz -，

因3BAD π

∠=，故OA ＝

AB cos sin 166OB AB π

π

?==?=，

所以O (0,0,0)，A 0,0)，B (0,1,0)，C (0,0)，

OB ＝(0,1,0)，(1,0)BC =-，

10 由1,2BM =BC ＝2

知11(,0)44BM BC ==--

，从而3(,0)4OM OB BM =+=

，即3(,0)4M ，设(0,0,)P a

，则()AP a =，33(,)4

MP a =-， ∵MP AP ⊥，∴0MP AP ?=，即23

04a -

+=，解得

a =（舍负），故PO

（

II ）由（I ）知(2AP =

，33(,442MP

=-，(3,0,2

CP =， 设平面APM 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面PMC 的法向量为2222(,,)n x y z =， 由110,0

n AP n MP ?=

?=

得111110,30,4z x y z ?+=

??-+=即11112,5,z x x =??=取15(1,n =， 由220,0n

CP n MP ?=

?=

得222220,30,4z x y z ?+=?

?-+=即11112,,z x y

=-???=?

?取1(1,

2)n =-，

从而两个法向量的夹角的余弦值为121212cos ,5||||

n n n

n n n ?<>==-?， 故所求二面角A －PM －C

解法二：（I ）如图，连结AC 、BD ，因ABCD 为菱形，

则A C∩B D ＝O ，且AC ⊥BD 。易求

AC

＝BD ＝2.

设PO ＝h 。

△ABM 中，易求AM =

=。

连接OM ，△OMC 中，易求

OM ==。 在Rt △OPM

中，

PM = 在Rt △OPA 中，AP == 在Rt △PAM 中，22

2AM AP PM =+，即

22

213344h h =+++，解得h =2，故PO

＝

2。 （II ）设A －MP －C 的夹角为θ，

△PMC

中，PM ==，又PC PA ==，32MC =，∴222PC PM MC =+，从而PM MC ⊥，又AP MC ⊥，所以PA 与MC 所成的角就是二面角A －MP －C 的夹角θ.

11 由22222cos AC AP MC PM AP MC θ=++-??

得cos θ=

sin θ=。 故所求二面角A －PM －C

点评：①本小题主要考查空间距离与空间角的求法，具体涉及到线面垂直的性质，二面角的概念和求法及空间向量在立体几何中的应用。

②解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，熟练进行线线垂直与线面垂直的转化。本题第一问是先要建好空间直角坐标系，然后根据题意写出（或设出）相关点的坐标，再由题设条件寻求关系建立方程求解；第二问利用空间向量解决二面角（求出平面的法向量再用向量的夹角公式）。直接运用坐标和向量，这种方法较为通用，且易于掌握。

③对比前三年对此类知识点的考查，今年的难度略微有一点增加（如何应用MP ⊥AP ），主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力，本题可以利用空间向量来解决从而降低了题目的难度，属中档题。

④应用传统的方法求解，在计算和思考量上都稍有增加，与向量法比较，各有优缺点。

⑤应用传统的方法求解第二问时，应用异面直线上两点间的距离公式，降低了解题的难度。如果作出二面角的平面角，相对计算更繁琐。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）

已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.

（I ）确定,a b 的值；

（II ）若3c =，判断()f x 的单调性；

（III ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.

解：（I ）对()f x 求导得22()22x x f x ae be c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()f x '-＝()f x '，即 2222x x ae be c -+-＝2222x x ae be c -+-，222()()0x x a b e e --+=，所以a b =。

又(0)224f a b c c '=+-=-，故解得 1.a b ==

（II ）当c=3时，22()3x x f x e e x -=--

，那么22()22331x x f x e e -'=+-≥=>0，故()f x 在R 上为增函数。

（III ）由（I ）知22()22x x f x e

e c -'=+-

，而22224x x e e -+≥=，当0x =时等号成

立。下面分三种情况讨论。 当4c <时，对任意的x R ∈都有22()220x x f x e

e c -'=+->，此时()

f x 无极值；

当4c =时，对任意的0x ≠都有22()220x x f x e e c -'=+->，此时()f x 无极值； 当4c >时，令2x

e t =，注意到方程220t c t +-=

有两根1,2t =，即()0f x '=有两个根112211ln ,ln ,22

x t x t == 当12x x x <<时，()0f x '<，当2x x >时，()0f x '<，从而()f x 在2x x =处取得极小值。 综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围是(4,)+∞。 点评：①本题涉及基本导数公式，导数的几何意义，复合函数的导数，导数的四则运算，利用函

12 数的导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，利用不等式研究函数的最值找到讨论的分界点等知识点，涉及分类讨论。从本题开始，对学生的能力的要求也开始明显提高。

②（I ）由偶性和切线建立方程组求出,a b ；（II ）由导数的符号研究函数的单调性（活用基本不等式帮助确定导数的符号，另外应用配方也能帮助确定导数的符号）；（III ）用导数研究极值的难点是如何确定分界点。本题借助基本不等式先求出最值，再通过最值确定讨论的分界点，突破了难点。

③涉及函数与方程、分类与整合，考查代数抽象推理能力，以及运算求解能力。导数与函数性质的考查是高考的必考题，此题属中档题。

21.如题（21）图，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112,DF F F

⊥121||||F F DF =，12DF F ?

. （I ）求该椭圆的标准方程；

（II ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆

在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，若存在，则求出

圆的半径；若不存在，则说明理由.

解：（I ）设12(,0),(,0)F c F c -

，其中c ，

由121||||

F F DF =

得1||2DF =，

从而1221121||||2DF F S DF F F ?=

?==c=1。

从而1||DF =，由112,DF F F ⊥得22221129,2DF DF F F =+=

因此2||DF =

，所以122||||a DF DF =+=

1a b =， 因此，所求椭圆的标准方程为2

212

x y +=。 （II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2

212

x y +=相交于111222(,),(,)P x y P x y 两点，120,0y y >>，1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥。

由圆和椭圆的对称性，易知1212,x x y y =-=，121||2||,PP x =

由（I ）知12(1,0),(1,0)F F -，

所以11112211(1,),(1

,)F P x y F P x y =+=--， 由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=， 由椭圆方程得22111(1)2

x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =。

当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在。

13 当143

x =-时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C 。 由1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知12CP CP ⊥，又12CP CP =，故圆的半

径1121||||||23

CP PP x ===。 点评：①本题涉及椭圆的定义、椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，圆的性质，向量垂直等知识点。

②本题涉及数形结合、化归与转化、函数与方程、分类讨论等基本数学思想，用到待定系数法、代入法、消元法等基本数学方法。属中档偏难题。

③本题考查圆与椭圆、直线与圆的位置关系。直线与圆锥曲线的问题在高考中出现的一般模式为：先根据性质确定圆锥曲线的类型与方程或根据方程求性质，然后给出直线，引出直线与圆锥曲线的位置关系问题并加以应用，其解决格式为：联立、消元、判别式、韦达定理。

22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

设

111,(*)n a a b n N +==+∈ （I ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；

（II ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈都成立？证明你的结论。 解：

（I

）解法一：232,1a a ==，

再由题设条件知221(1)(1)1n n a a +-=-+，从而2{(1)}n a -是首项为0公差为1的等差数列， 故2(1)1n a n -=-

，1(*)n a n N =∈。

解法一：232,1a a ==

，可写为1231,1,1

a a a =+++

，因此，猜想1(*)n a n N =∈，下用数学归纳法证明上式。

当n=1时，结论显然成立。

假设n=k

时，结论成立，即1(*)k a k N =∈，则

1111k a +===，

这就是说，当1n k =+时结论也成立。

所以1(*)n a n N =∈。

（II

）解法一：设()1f x =

，则1()n n a f a +=。

令()c f c =

，即1c =，解得14

c =。 下用数学归纳法证明加强命题221n n a c a +<<<1。

当n=1时，2(1)0,a f =

=3(0)1a f ==，所以2a 3114

a <<<，结论成立。 假设n=k 时结论成立，即221k k a c a +<<<1， 易知()f x 在(,1]-∞上为减函数，从而212()()(1),k c f c f a f a +=>>=即2221,k c a a +>>> 再由()f x 在(,1]-∞上为减函数得2223()()()1,k c f c f a f a a +=<<=<

故231k c a +<<，因此2(1)2(1)1k k a c a +++<<<1。这就是说，当n=k+1时结论成立。

综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14

c =。

14

解法二：设()1f x =，则1()n n a f a +=。

先证：01n a ≤≤ （*n N ∈）。 ①

当n=1时，结论显然成立。

假设n=k 时结论成立，即01k a ≤≤。

易知()f x 在(,1]-∞

上为减函数，从而0(1)()(0)11,k f f a f =≤≤=<

即101k a +≤≤，这就是说，当n=k+1时结论成立。故①成立。

再证：221n n a a +< （*n N ∈）。 ②

当n=1

时，232(1)0,()(0)1,a f a f a f =====有23a a <，即n=1时②成立。 假设n=k 时结论成立，即221k k a a +<，

由①及()f x 在(,1]-∞上为减函数，得2122122()()k k k k a f a f a a +++=>=，

2(1)212223()()k k k k a f a f a a ++++=<=。

这就是说，当n=k+1时，②成立。

所以②对一切*n N ∈都成立。

由②得21,n a <

即22222(1)22,n n n a a a +<-+ 因此214

n a <。 ③ 又由①、②及()f x 在(,1]-∞上为减函数，得221()()n n f a f a +>，即2122n n a a ++>，

所以211,n a +>解得2114

n a +>。 ④ 综上，由②、③、④知，存在14

c =使221n n a c a +<<对所有*n N ∈都成立。 点评：①本题涉及等差数列、数学归纳法、递推公式、函数的单调性等相关知识点。

②本题第（II ）问的求解关键是如何应用递推式1()n n a f a +=

，函数()1f x =

的

单调性和函数式是辅助解题的，同时也是解决问题的根本。

③本题的难度较大，解法比较灵活，着重考察学生的化归能力，抽象思维能力以及逻辑推理能力。

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15 文科数学

一、.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）

.A 第一象限 .B 第二象限

.C 第三象限 .D 第四象限

2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）

.5A .8B .10C .14D 3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）

.100A .150B .200C .250C

4.下列函数为偶函数的是（ ） .()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+

5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为 .10A .17B .19C .36C

6.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；

:"1"q x =是方程

"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）

.A p q ∧? .B p q ?∧ .C p q ?∧ .D p q ∧

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.12

B.18

C.24

D.30 9.设12F F ，分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为（ ） B.2 B.15 C.4 D.17

16 9.

若42log 34log a b

a b +=+（）则的最小值是（ ） A.326+ B.327+ C.346+ D.347+

10.已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]

x f x g x f x mx m x x x ?-∈-?==---+??∈?且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,0(]2,4

9(?-- B.]21,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,4

9(?-- D.]32,0(]2,411(?-- 二、填空题

11.已知集合=?==B A B A 则},13

,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______. 12.已知向量=?=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.

13. 将函数()()sin 022f x x ππω?ω???=+>-

≤< ???，图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6

π的单位长度得到x y sin =的图像，则6f π??= ???______. 14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，

两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.

15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，学科 网则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）

已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.

（I ）求n a 及n S ；

（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()2

4410q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .

17.（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

17 （I ）求频数直方图中a 的值；

（II ）分别球出成绩落在[)5060，与[)6070，中的学生人数；

（III ）从成绩在[)5070，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)6070，中的概率.

18.（本小题满分12分）

在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a

（1）若52,2a b ==

，求C cos 的值; （2）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC ?的面积9sin 2

S C =，求a 和b 的值. 19.（本小题满分12分） 已知函数3()ln 42x a f x x x =

+--，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于12

y x = （1）求a 的值；

（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

如题（20）图，四棱锥

P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，

2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12

BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；

（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积

.

18 21.如题（21）图，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥

，121||||

F F DF =12DF F ?

的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由

.

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文科数学 试题答案与解读

19

1. 【解读与点评】

解：该复数对应的坐标为(2,1)-，其对应点在第二象限。选B 。

点评：本题考查复数的几何意义。属容易题。

2. 【解读与点评】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12610a d +=，解得d=1，∴7168a a d =+=。 另解：由3510a a +=得45a =，由147,,a a a 成等差数列得74128a a a =-=。

点评： 本题考查等差数列的通项公式、等差数列的性质。属容易题。

3. 【解读与点评】

解：显然高中生与初中生的人数之比为7：3，故高中生抽取70人时，初中生抽取30人，故共抽取n=70+30＝100人。 另解：70(35001500)1003500

n =+?=。 点评：本题考查分层抽样。分层抽样的本质是按比例抽取。属容易题。

4. 【解读与点评】

解：D 。对选择支A ：非奇非偶；对选择支B ：奇函数；对选择支C ：奇函数；对选择支D ：偶函数。 点评：本题考查函数的性质——奇偶性。

5. 【解读与点评】

解：C 。运行程序，得

k=2,s=0Y ??

→2,3s k ==Y ??→5,5s k ==Y ??→10,9s k ==Y ??→19,17s k ==N

??→19s =。 点评：本题考查程序框图，涉及逻辑、数列的前n 项和，属容易题。

6. 【解读与点评】解：A 。易知p 真q 假，故p ∧?q 是真命题。

点评：本题考查简易逻辑，涉及绝对值、方程、不等式，属容易题。

7. 【解读与点评】

解：C 。法一（补法）由三视图作出直观图，如图，观察直观图，该几何体是一个直三棱柱截掉上面的一个三棱锥（虚线部分）后的部分，其体积为111345433232

???-????=

24.

法二（割法）割成一个四棱锥与一个三棱锥，其体积V ＝1

11345432332

???+????=24. 点评：本题考查三视图，由三视图作出直观图，涉及体积（割补法求体积），考查空间想象能力，运算能力，属中档题。

8. 【解读与点评】

20 解：D 。由双曲线的定义得12||||2,PF PF a -=±又2212(||||)3,PF PF b ab -=-所以22

43,a b ab =- 即()(4)0b a b a +-=，所以4b a =，222

16,c a a -=

解得e =

点评：本题考查双曲线的定义，涉及双曲线的几何性质，简单的计算，属中档题。

9. 【解读与点评】解：D 。由题意得0,340ab a b >+>，所以0,0.a b >>

∵42log 34log a b

+=（）∴34a b ab +=，431a b +=，

∴4343()()77b a a b a b a b a b +=++=++≥+当且仅当43b a a b =，

即2223a b =+=+时取等号。

点评：本题考查对数的计算、基本不等式求最值，题目有很好的综合性。

方法总结：已知0,0,a b >>431a b

+=，求a b +的最小值，这一类题目的求解方法很多，最常用的是一个技巧：乘1.

10.【解读与点评】

解法一：A 。令()h x mx m =+，则题设转化为()f x 与()h x 在(1,1]-内有且仅有两个不同的交点。 ()h x 是过点(1,0)-的直线，作出()f x 与()h x 的图像，如图1，

10题图1 10题图2

当直线()h x 与线段OA 有交点时，1

(0,]2

m ∈； 当直线()h x 与曲线相切时，设切点为M(00,x y )，由21()(1)f x x '=-+得切线斜率k ＝2

01(1)x -+ ＝000013111

y x x x -+=++，解得013x =-，于是切线斜率k ＝94-，而(1,0)-与(0,2)-连线的斜率为2-， 直线()h x 的斜率为m ，故所求m 的范围是19(0,](,2]24

m ∈--。 解法二：设1112t x =≥+，则23,1,()111, 1.2

t t t f x m x t t ?-≥?==?+-≤

t t t y m y t t ?-≥?==?-≤

21

解：A B ={3，5，13}。

点评：本题考查有限集的交集。 12. 【解读与点评】

解：10.易求||210a =，所以||||cos6010a b a b ?=??=。

点评：本题考查平面向量的坐标表示、向量的模、向量的数量积。

13. 【解读与点评】

/61sin sin()sin()626y x y x y x πππ=????→=+?????→=+左移横标伸长2倍， 所以1()sin()26f x x π=+，于是13(

)sin()sin 62664f πππ

π=?+=

= 点评：本题考查三角函数图像的变换、诱导公式、特殊角的三角函数值。

14. 【解读与点评】

解：填0或6。易得圆C 的标准方程：22(1)(2)9x y ++-=，其圆心为(1,2)-，半径为3。 由直线0x y a -+=与圆C 交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，得：圆心C 到直线

AB 的距离为d =， =0a =或6. 点评：本题考查圆的标准方程（配方）、垂直的转化、点到直线的距离公式，涉及解方程。

15. 【解读与点评】

解：填

932

。几何概型。用x 表示小张到校的时间，用y 表示小王到校的时间，则30,50x y ≤≤。 设事件A ：“小张比小王至少早5分钟到校”，则5y x -≥， 作图，

所有事件对应平面内的正方形区域ABCD ，事件A 对应三角形区域DEF ，

所以P （A ）＝1151592.202032

DEF

ABCD S S ???==?正方形 点评：本题考查几何概型。难点是如何让实际问题转化为数学模型。

三、解答题：满分75分。

16.（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）

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