第1章部分习题参考解答

第1章部分习题参考解答

GGG

1.1 给定三个矢量A、B和C如下：

GGGGGGGGGG

A=ex+ey2 ez3，B= ey4+ez，C=ex5 ez2，

GGGGGGG

求：（1）eA；（2）A B；（3）A B；（4）θAB；（5）A在B上的分量；

GGGGGGGGGGGGGG（6）A×C；（7）A (B×C)和(A×B) C；（8）(A×B)×C和A×(B×C)。

GGGG

e+e2 eAGGGG3解：（1）eA== =ex+ey ezAGGGGGGGGGG

（2）A B=(ex+ey2 ez3) ( ey4+ez)=ex+ey6 ez4= GGGGGGG

（3）A B=(ex+ey2 ez3) ( ey4+ez)= 11 （4）由cosθAB

GGA B，得 ===AB

=135.5D θAB=arccos(GG

GGGGA B（5）A在B上的分量AB=AcosθAB==

B

GG

（6）A×C=1

Gex5

Gey20Gex5

GGA×B=1

Gex0

GGG 3= ex4 ey13 ez10 2Gey 40Gey2 4

Gez

GGG

1=ex8+ey5+ez20， Gez

GG

（7）因为B×C=0

2

GGG 3= ex10 ey ez4 1Gez

GGGGGGGGG

所以，A (B×C)=(ex+ey2 ez3) (ex8+ey5+ez20)= 42

GGGGGGGG

(A×B) C=( ex10 ey ez4) (ex5 ez2)= 42

GGGGGG

（8）(A×B)×C= 10 1 4=ex2 ey40+ez5

5

2

Gex

Gey

Gez

第1章部分习题参考解答

GGG

A×(B×C)=1

Gex8

Gey25

GGG 3=ex55 ey44 ez11

20

Gez

1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1, 2)、P2(4,1, 3)和P3(6,2,5)。 （1）判断ΔPP（2）求三角形的面积。 12P3是否为一直角三角形；解：（1）三个顶点P1(0,1, 2)、P2(4,1, 3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为

GGGGGGGGGGG

r1=ey ez2，r2=ex4+ey ez3，r3=ex6+ey2+ez5 GGGGGGGGGGG

则 R12=r2 r1=ex4 ez，R23=r3 r2=ex2+ey+ez8， GGGGGG R31=r1 r3= ex6 ey ez7

GGGGGGG

由此可得R12 R23=(ex4 ez) (ex2+ey+ez8)=0 所以，ΔPP12P3为一直角三角形。

（2）三角形的面积S==17.13

GG

1.3 求点P'( 3,1,4)到点P(2, 2,3)的距离矢量R及R的方向。 解：点P'( 3,1,4)和点P(2, 2,3)的位置矢量分别为

GGGGGGGGrP'= ex3+ey+ez4，rP=ex2 ey2+ez3 GGGGGGG则 R=RP'P=rP rP'=ex5 ey3 ez

G

且RP'P与x、y、z轴的夹角分别为

GG e R=32.31D φx=arccos xP'P =arccos RP'P

GG e RD

φy=arccos yP'P =arccos120.47= RP'P

GG e Rφz=arccos zP'P =arccos=99.73D RP'P

GGGGGGGGG

求它们之间的夹角和A在1.4 给定两矢量A=ex2+ey3 ez4和B=ex4 ey5+ez6，G

B上的分量。

第1章部分习题参考解答

G

G解：A==，B==

GGGGGGGG

A B=(ex2+ey3 ez4) (ex4 ey5+ez6)= 31 GG

故A与B之间的夹角为

D =arccos=131θAB G

GGBG

A在B上的分量为AB=A == 3.532

B

GGGGGGGGGGGGGG

1.5 给定两矢量A=ex2+ey3 ez4和B= ex6 ey4+ez，求A×B在C=ex ey+ez上的分量。

Gex

Gey

Gez

=arccos

GGA BAB

GG

解：A×B=2

3

GGG 4= ex13+ey22+ez10

6 41

GGGGGGGGG

(A×B) C=( ex13+ey22+ez10) (ex ey+ez)= 25 G

C==GGG

GGGGG(A×B) C 所以，A×B在C上的分量为(A×B)C=== 14.43 C

GGGGGGGGGG

1.6 证明：如果A B=A C和A×B=A×C，则B=C。 GGGGGGGGGG

证：由A×B=A×C，得A×(A×B)=A×(A×C)，即

GGGGGGGGGGGG(A B)A (A A)B=(A C)A (A A)C GGGGGGGGGG

由于A B=A C，于是得到(A A)B=(A A)C

GG

所以，B=C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未

GGGGGGGG

知矢量。设A为一已知矢量，p=A X而P=A×X，p和P已知，试求X。 GGGGGGGGGGGGGGGGGG

解：由P=A×X，有A×P=A×(A×X)=(A X)A (A A)X=pA (A A)X

GGGGGGGpA A×PpA A×P

=故得 X=

A2A A

第1章部分习题参考解答

1.8 在圆柱坐标系中，一点的位置由(4,

2π

（1）直角坐标系,3)定出，求该点在：

3

中的坐标；（2）球坐标系中的坐标。

2π2π

解：（1）在直角坐标系中，x=4cos(= 2, 4sin(y== 3z=

33

故该点的直角坐标为( 2,。 （2）在球坐标系中，

θ=φ=r==5, arctan(4/3)=53.1D,

故该点的球坐标为(5,53.1D,120D)。

2π

rad=120D 3

GG25

1.9 用球坐标表示的场E=er2。

r

G

（1）求在直角坐标中点( 3,4, 5)处的E和Ex；

GGGGG

（2）求在直角坐标中点( 3,4, 5)处E与矢量B=ex2 ey2+ez构成的夹角。

解：（1）在直角坐标系中( 3,4, 5)点处，r==，

GG251

故 E=er2=

r2

GGGG

又在直角坐标系中( 3,4, 5)点处，r= ex3+ey4 ez5，所以，

GGG

GG2525G e3+e4 e5

E=er2=3r=

rrGG

故 Ex=ex E==

20G

（2）B==3 在直角坐标中( 3,4, 5)点处

GGG

GG e3+e4 e5GGG

E B=(ex2 ey2+ez)=GG

故，E与B构成的夹角为

θEB

=arccos

GG

19 E BD

arccos153.6 = = 3/2 EB

1.11 已知标量函数u=x2yz，求u在点(2,3,1)处沿指定方向

第1章部分习题参考解答

G G G GGG

解： u=ex(x2yz)+ey(x2yz)+ez(x2yz)=ex2xyz+eyx2z+ezx2y

x y z

GGGG故沿指定方向el=exey+ez的方向导数为

uG22= u el= l uG

=++= 点(2,3,1)处沿el的方向导数值为

l(2,3,1)1.12 已知标量函数u=x2+2y2+3z2+3x 2y 6z。（1）求 u；（2）在哪些点上

u等于0？

G uG uG uGGG

+ey+ez=ex(2x+3)+ey(4y 2)+ez(6z 6) 解：（1） u=ex

x y zGGG

（2）由 u=ex(2x+3)+ey(4y 2)+ez(6z 6)=0，得

x= 3/2, 1/y=2, 1z=

x2y2z2

1.13 方程u=2+2+2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

abcG2xG2yG2z解：由于 u=ex2+ey2+ez2

abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

u GG

en== ex u 1.14 利用直角坐标系，证明 (uv)=u v+v u 证：在直角坐标系中，

第1章部分习题参考解答

G vG vG v G uG uG u

+ey+ez +v ex+ey+ezu v+v u=u ex

y z x y z x

u G v u G v u G v

=ex u+v +ey u+v +ez u+v

x y z x z y

G (uv)G (uv)G (uv)

=ex+ey+ez

x y z= (uv)

1.15 一个球面S的半径为5，球心在原点上，计算v∫解：v∫

S

S

GG

(er3sinθ) dS的值。

GGGG

(er3sinθ) dS=v(e3sinθ) erdS ∫r

S

=∫

2π

∫

π

3sinθ×52sinθdθdφ=75π2

GGGG

1.16 已知矢量E=ex(x2+axz)+ey(xy2+by)+ex(z z2+czx 2xyz)，试确定常数G

a、b、c，使E为无源场。

G

解：由 E=(2x+az)+(2xy+b)+(1 2z+cx 2xy)=0，得

a=2, 1,b= 2c=

GG2G

1.17 在由ρ=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=eρρ+ez2z验证散度定理。

G1

(ρρ2)2+(2z)=3ρ+2 证：在圆柱坐标系中， A=

ρ ρ z

G42π5

所以，∫ AdV=∫dz∫dφ∫(3ρ+2)ρdρ=1200π

V000GGGGGGGG又v∫A dS=∫A dS+∫A dS+∫A dS

S

S上

S下

S柱面

=∫

2π

2π4G

+∫∫A

2π

∫∫

5

GA

z=4

2π5GG

ezρdρdφ+∫∫A

z=0

G

( ez)ρdρdφ

ρ=5

G

eρ5dzdφ

2π0

=∫

V

5

00

2×4ρdρdφ+∫

S

∫

4

52×5dzdφ=1200π

GGG

故有∫ AdV=1200π=vA∫ dS

GGG2G22G223

1.18 （1）求矢量A=exx+eyxy+ez24xyz的散度；（2）求 A对中心在原

G点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

第1章部分习题参考解答

G (x2) (x2y2) (24x2y2z3)

解：（1） A=++=2x+2x2y+72x2y2z2

x y zG

（2） A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

∫

V

G1/2 AdV=∫

1/2 1/2 1/2

∫∫

1/21/2

(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=

G

（3）A对此立方体表面的积分为

1 24

v∫

S

GG1/2

A dS=∫

1/21/2 1 1

dydz dydz∫ 1/2∫ 1/2 2 1/2∫ 1/2 2

1/21/2

1/2

2

2

22

1/21/2 1 1

+∫∫x2 dxdz ∫∫x2 dxdz

1/2 1/2 1/2 1/2

2 2

3

3

1/21/21/21/2 1 1

+∫∫ 24x2y2 dxdy ∫∫24x2y2 dxdy 1/2 1/2 1/2 1/2

2 2

1=24GGG1

故有 ∫ AdV==∫A dS

VS24vGG

1.19 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 r对球体积的积分。

2ππGGGG23

解：vr dS=r edS=dφaasinθdθ=4πa ∫v∫r∫∫

S

S

G1 2

又在球坐标系中， r=(rr)=3，所以

r r

2ππaG23

∫ rdV=∫∫∫3rsinθdrdθdφ=4πa

V

GGGG

（1）1.20 在球坐标系中，已知矢量A=era+eθb+eφc，其中a、b和c均为常数。

GGG

问矢量A是否为常矢量；（2）求 A和 ×A。

GGGGG解：（1）A=A==，即矢量A=era+eθb+eφc的模为常数。 GGGG

将矢量A=era+eθb+eφc用直角坐标表示，有

GGGGA=era+eθb+eφc

G

=ex(asinθcosφ+bcosθcosφ csinφ)

GG

+ey(asinθsinφ+bcosθsinφ+ccosφ)+ez(acosθ bsinθ)

GG

由此可见，矢量A的方向随θ和φ变化，故矢量A不是常矢量。

G

有上述结果可知，一个常矢量C在球坐标系中不能表示为

第1章部分习题参考解答

GGGGC=era+eθb+eφc

（2）在球坐标系中，

G1 21 1 c2abcosθ

(sinθb)+=+ A=2(ra)+

r rrsinθ θrsinθ φrrsinθGGG

erreθrsinθeφ

G1 GccosθGcGb

=er eθ+eφ

×A=2

rsinθ r θrsinθr φr

ArrAθrsinθAφ

GGGG

1.21 求矢量A=exx+eyx2+ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线

G

积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 ×A对此回路所包围的

曲面的面积分，验证斯托克斯定理。 解：如图题1.21所示，可得

y

v∫

C

GG2GA dl=∫A

020

y=0

2GG

exdx+∫A

2

x=2

2GG

eydy+∫A

02

y=2

2GG

( ex)dx+∫A

x=0

G ( ey)dy

=∫xdx+∫22dy ∫xdx ∫0dy

2

=8Gex

G 又 ×A=

xx所以，∫

CS

Gey yx2Gez GG=ex2yz+ez2x zy2z

GG22G22GG

×A dS=∫∫(ex2yz+ez2x) ezdxdy=∫∫2xdxdy=8

S

GGGG

故有vA dl=8= ×A dS ∫∫

GGGG2222

再计算 ×A对此圆面积1.22 求矢量A=exx+exxy沿圆周x+y=a的线积分，

的积分。

第1章部分习题参考解答

GG2ππa424222

解：v∫CA dl=v∫Cxdx+xydy=∫0( acosφsinφ+acosφsinφ)dφ=4 Ga2ππa4G Ay Ax G222

ezdS=∫SydS=∫0∫0ρsinφρdφdρ=∫S ×A dS=∫Sez xy4

GGGGGGGGG

1.23 证明：（1） r=3；（2） ×r=0；（3） (k r)=k。其中，r=exx+eyy+ezz，G

k为一常矢量。

G x y z

证：（1） r=++=3

x y z GGGexeyez

G

（2） ×r==0

x y zxyz

GGGGGG

（3）设k=exkx+eyky+ezkz，则k r=kxx+kyy+kzz，故 GGG G

(k r)=ex(kxx+kyy+kzz)+ey(kxx+kyy+kzz)

x yG

+ez(kxx+kyy+kzz)

z

GGGG

=exkx+eyky+ezkz=k

GGG

1.24 一径向矢量场用F=erf(r)表示，如果 F=0，那么函数f(r)会有什么特

点？

G1dC

[ρf(ρ)]=0可得f(ρ)=，C为任意常数。解：在圆柱坐标系中，由 F= ρdρρG1d2C

在球坐标系中，由 F=2[rf(r)]=0可得f(r)=2，C为任意常数。

rdrr

GGG

1.25 给定矢量函数E=exy+eyx，试求从点P1(2,1, 1)到点P2(8,2, 1)的线积分

∫

C

GGG2

E dl：（1）沿抛物线x=2y；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？

GG22解：（1）∫E dl=∫Exdx+Eydy=∫ydx+xdy=∫yd(2y2)+2y2dy=∫6y2dy=14

C

C

C

1

1

（2）连接点P1(2,1, 1)到点P2(8,2, 1)的直线方程为

x 2x 8

= 即 x=6y 4 y 1y 2

第1章部分习题参考解答

故∫

C

GG

E dl=∫Exdx+Eydy=∫ydx+xdy

C

C

=∫yd(6y 4)+(6y 4)dy=∫(12y 4)dy=14

1

1

22

G

。 由此可见，积分与路径无关，所以，E是保守场（无旋场）GGG

1.28 利用直角坐标系，证明 (fA)=f A+A f 证：在直角坐标系中，

GG A A A f f f f A+A f=f x+y+z + Ax+Ay+Az

xyzxyz

f A f A f A

= fx+Ax + fy+Ay + fz+Az

x y y z z x

G

=(fAx)+(fAy)+(fAz)= (fA) x y z

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