任意角三角函数(1)

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任意角的三角函数（第一课时）

一. 教学目标设计 1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值； （4）加深对函数一般概念的理解。 2、能力目标:

在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。 3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地展示知识的形成过程。 三. 教学对象分析

该班学生的数学基础一般，思维水平有明显差异，一些学生活泼好动，一些学生又比较好静，但大部分学生能在老师的启发帮助下，完成学习任务。 四. 教学策略及教法设计

教学的主要策略是：以惑激学、以景激情、师生共同探讨。这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学发现过程，能调动学生学习的积极性与主动性。

通过对旧知的复习及科学史的学习，使其明确学习三角函数的目的。同时，通过几何画板创建情景，从认知冲突入手，引起学生学习兴趣，激发其求知欲，点燃其思维火花。 五. 教学媒体设计

学生知识的获得靠自身主动建构，不是任何外来因素强加的。媒体的作用是有助于学生获取知识，它应为突破重、难点服务，它应使用在不利学生掌握的知识点上。本节课主要是应用几何画板的动态演示功能，力求让学生的知识和能力与时俱进。 六. 教学过程设计与分析 学习过程1

【师引导】前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。

（学习过程1分析）

课题的引入，尊重学生的知识水平，坚持面向全体学生。

复习：1是让学生结合图形，回忆初中所学锐角三角函数的定义；2是学生通过对课件1的操作，利用第二章所学函数的一般概念来认识锐角三角

函数，进一步 体会函数的本质--\对应\。从而使学生拥有较统一的预备知识。

请大家打开【课件1】，按照提示进行操作，仔细观察发生的现象，然后回答相关问题。

【学生动手操作、观察思考，教师适当帮助】

当∠A变化时，三个比值也随着变化；当∠A一定时，不论RtΔABC的大小如何变化，三个比值 、 、

是不变的。因此，锐角三角函数是以

角为自变量，以比值为函数值的函数

课件1分析：学生通过对课件1的操作，利用第二章所学函数的一般概念来认识锐角三角函数：锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数，同时体会函数的本质--\对应\，让学生对即将要学习的任意角的三角函数有一个本质的认识。 学习过程2

【教师提出问题】随着角的概念的推广，锐角已推广到了任意角，对任意角的三角函数是如何研究？学习任意角的三角函数有何意义？

【学生查找资料】请大家浏览资料---《三角学的发展简史》，利用5分钟的时间快速阅读，并回答： （1）三角学研究的对象是什么？

（2）是谁首先研究了三角函数？它是用什么方法来研究的？

【教师启发并进行适当帮助】前面我们在学习角的概念的推广时，强调了我们以后常在直角坐标系中来研究角。 大家思考：

（1）在直角坐标系中研究角的做法是_____________________________________

（2）若在坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数的定义会发生什么变化？

（学习过程2的分析）

教师利用三角学的发展简史创设情景，调动学生学习的兴趣。同时通过三角学的发展简史，让学生明白为什么要学三角函数？怎样学？从而把握三角学的本质。同时，古今中外的数学家的不懈努力，谱写了三角发展史。数学家们的人格魅力将深深地影响学生。特别地，我国数学家的聪明才智和他

们的杰出贡献，又能培养学生的民族自豪感和爱国主义精神，从而树立自信心。

学习过程3

根据在直角坐标系中研究角的做法，把锐角的顶点与坐标原点重合，锐角的始边与x轴的非负半轴重合。要得到锐角三角函数值，则要构造直角三角形，如图，在角α的终边上取一点P，过点P作x轴的垂线PM，则有

【学生动手操作并思考】

（1）角α的正弦、余弦、正切值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变？

（2）直角三角形的边MP、OM、OP的长度与点P的坐标之间有什么关系？ （3）设点P的坐标是(x,y),点P到原点O的距离是r（

则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是： sinα=_________，cosα=_______，tanα=____________。

（4）在以上（1）、（2）（3）的基础上，试着用坐标给出锐角三角函数的定义。

（学习过程3的分析）

通过一系列问题的设计，引导学生发现锐角三角函数的定义。媒介从直角三角形改为平面直角坐标系后，锐角三角函数的定义可以用角的终边上的点的坐标来表示，从而得出锐角三角函数的坐标定义。 学习过程4 类比验证

【教师启发学生形成锐角三角函数坐标定义】 锐角三角函数的坐标定义：

把锐角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，在其终边上任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r（

），则

）,

，标法\。

这种用坐标定义锐角三角函数的方法---叫 \坐

【学生比较两种定义，教师适当帮助】初中学习的锐角三角函数是用直角三角形的边的比值来定义，受直角三角形的约束，不能类似地定义钝角及任意角的三角函数。坐标法是用角终边上的点的坐标来刻划的锐角三角函数，不受直角三角形的约束，那么任意角的三角函数是否可类似地用坐标来定义？

（学习过程4的分析）

在前面的知识的基础上进行类比，为新授内容作铺垫 【学生操作课件2】

打开【课件2】观察任意角α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情况。（注意：仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮助。）

【教师总结课件2】

随着α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在y轴上时，y/x除外），根据函数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。 课件2的分析：

随着α的终边在轴上及各象限内的变化，利用几何画板的动态演示和度量功能，展示三个比值的变化情况。学生通过对课件2的操作，将新授的抽象内容形象化，有利于学生准确理解和掌握新知识；它也能为以后学习（三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。 学习过程5

【教师启发学生形成任意角三角函数定义】实际上欧拉就是用这种方法来定义任意角的三角函数的。任意角的三角函数的定义：

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),点P到原点的距离为r (

)，

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