高中数学课时训练(人教版必修二)第一章 1.3 1.3.2 球的体积和表

数学·必修2(人教A版)

1.3空间几何体的表面积与体积

1.3.2球的体积和表面积

基础达标

1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是()

A.C2

4π B.C2

2π C.C2

πD．2πC

2

解析：由2πR＝C，得R＝C

2π，∴S球＝4πR

2＝

C2

π.

答案：C

2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为()

A．4 B．3

C．2 D．1

解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r＝2.

答案：C

3．正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) A.3∶1 B.3∶2 C ．2∶ 3 D.3∶3

解析：内切球与外接球的半径之比为正方体棱长与体对角线长之比，即为3∶3.

答案：D

4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )

A.8π3

B.82π3 C ．82π D.32π3

解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，

∴R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3

. 答案：B

5．球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的________ 倍．

解析：设球原来半径为R ，则扩大后半径为2R ，

V 球原＝43πR 3，V 球扩＝43

π(2R )3＝8V 球原． 答案：8

6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．

解析：圆柱形玻璃容器中水面升高 4 cm ，则钢球的体积为V ＝

π×32×4＝36π，即有43

πR 3＝36π，∴R ＝3. 答案：3 cm

巩固提升

7．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．

答案：14π

8．球面上有四个点P ，A ，B ，C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的表面积．

解析：PA ，PB ，PC 两两互相垂直，将三棱锥补成一个以P 为顶点的正方体，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，

∴正方体的对角线长就是球的直径， ∴2R ＝3a ，R ＝32

a ， ∴这个球的表面积为S 球＝4πR 2

＝4π? ????32a 2＝3πa 2.

9．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铜球熔制成一个较大的

铜球，再把球削成一个棱长最长的正方体，求此正方体的体积．

解析：设熔制后的大铜球半径为r，则4

3

π(33＋43＋53)＝

4

3

πr3，∴r

＝6 cm.

据题意：此正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角

线的长，故正方体的棱长a＝2r

3

＝

12

3

＝4 3 cm.

∴V正方体＝a3＝(43)3＝192 3 cm3.

10．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.

(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；

解析：由题意，知S正四棱台＝4×1

2×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)

2＋(3R)2＝21.85R2，S球＝4πR2，

所以这个盖子的表面积为S表＝(21.85＋4π)R2，

(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精确到0.1 kg)．

解析：取R＝2，π＝3.14，得S表＝137.64(cm2)．

100个这样的盖子共需涂料约为(137.64×100)÷10 000×0.4≈0.6 kg.

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