天津市河西区2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题

天津市河西区2015-2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=

·如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P ?= ·柱体的体积公式Sh V

= ·锥体的体积公式Sh V 31=

其中S 表示柱（锥）体的底面面积

h 表示柱（锥）体的高

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知全集Z x U ∈={|}51≤≤x ，1{=A ，2，}3，1{=B C U ，}2，则=B A

（A ）1{，}2

（B ）1{，}3 （C ）}3{

（D ）1{，2，}3

（2）4)12(x

x -的展开式中的常数项为 （A ）6 （B ）24

（C ）24- （D ）6-

（3）已知命题p ：“存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02≥x ”，则下列说法正确的是

（A ）p 是假命题；p ?：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2

（B ）p 是真命题；p ?：“不存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02

（C ）p 是真命题；p ?：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2

（A ）31(，)3

2 （B ）31(-，)32 （C ）31(，)34 （D ）31(-，)34 （5）已知双曲线1C ：116322

2=-p

y x 0(>a ，)0>b 的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为

（A ）3

4 （B ）3 （C ）332 （D ）4 （6）已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=

B ，4π=

C ，则ABC

?的面积为

（A ）232+ （B ）13+ （C ）232- （D ）13-

（7）若“1>x ”是“不等式x a x ->2成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是

（A ）3>a

（B ）3a

（D ）4

和''D A 上移动，则C A B A ''?的最大值是

（A ）4

（B ）21+ （C ）π （D ）2

河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数 学 试 卷（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

（9）统计某学校高三年级某班40名学生的数学

期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到

的频率分布直方图如图所示．则图中a 的值 为 . （10）已知z 是纯虚数，

i

z -+12

是实数（i 是虚数单位），那么=z . （11）执行如图所示的程序框图，输出的S 值 为 .

（12）若圆C 的方程为：?

??+=+=θθ

sin 1cos 1y x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为 ．（极角范围为0[，)2π） （13）如图，四边形ABDC 内接于圆，CD BD =，

AB BD ⊥，过点C 的圆的切线与AB 的延长线

交于点E ，BE BC =，2=AE ， 则=AB .

（14）函数???>≤-=1

,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程21

)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范

围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A

B

C

D

E

（15）（本小题满分13分）

已知函数)4

tan()(π

ω+

=x x f （0>ω）的最小正周期为

2

π

.

（Ⅰ）求ω的值及函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若3)2(=α

f ，求α2tan 的值.

（16）（本小题满分13分）

长时间用手机上网严重影响学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时，则称为“过度用网”.

（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值； （Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”

的概率；

（Ⅲ）从A 班，B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生

人数为X ，求X 的分布列和数

学期

望.

（17）（本小题满分13分） 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，?=∠=∠90BAD ADC ，F 为PA 中点，2=PD ，

12

1===CD AD AB ，四边形PDCE 为矩形. （Ⅰ）求证：AC ∥平面DEF ；

（Ⅱ）求二面角P BC A --的大小；

（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为?30？ 若存在，求出FQ 的长；若不存在，说明理由．

1 3 6 P

A B C D

F

E

（18）（本小题满分13分）

O，)0，焦点为0(F，)1.

已知抛物线C的顶点为0(

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l于M、N两点，求MN的最小值.

y

=x

:-

2

（19）（本小题满分14分）

已知直线n l ：n x y 2-=与圆n C ：n a y x n +=+222交于不同的两点n A ，n B ，*N n ∈.数列}{n a 满足：11=a ，214

1n n n B A a =+. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a ；

（Ⅱ）若n

n a n b 4=，求数列}{n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，在（Ⅱ）的条件下，求证：对任意正整数n ，

2)1(21<+++∑=n k k k k T S k .

（20）（本小题满分14分）

已知函数x m x x x f ln 12)(2++-=（R m ∈）.

（Ⅰ）当1=m 时，求过点0(P ，)1-且与曲线2)1()(--=x x f y 相切的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调递增区间；

（Ⅲ）若函数)(x f y =的两个极值点a ，b ，且b a <，记][x 表示不大于x 的最大

整数，试比较)]([)]([sin

b f a f 与)])()][(cos([b f a f 的大小.

河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

CBCA CBAD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）03.0 （10）i 2- （11）6- （12）2(，

)4π （13）15- （14）21(，)e e 三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为函数)(x f 的最小正周期为2

π， 所以2

πωπ==T ，解得2=ω. …………3分 令πππk x +≠+2

4

2，Z k ∈， 所以28ππk x +≠，Z k ∈， 所以)(x f 的定义域为R x ∈{|28ππ

k x +≠，}Z k ∈. …………6分

（Ⅱ）解：因为3)2(=αf ，即3)4

tan(=+πα， 3tan 11tan =-+αα，解得2

1tan =α， …………9分 所以3

4tan 1tan 22tan 2=-=ααα. …………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：经计算，18=A x ，22=B x ， 据此估计，A 班的学生平均每周上网时长为18小时，B 班的学生平均每周上网时长为22小时. …………3分

（Ⅱ）解：A 班的样本数据中上网时长不小于21小时的有2个，从中有放回地抽取2个数据，恰有

1个数据为“过度用网”的概率为9

4)621()62(1112=-?=C P . …………6分 （Ⅲ）解：随机变量X 的取值为0，1，2，3，4，

==)0(X P 225626

262224=C C C C ， ==)1(X P 2255626

26121424221412=+C C C C C C C C ， ==)2(X P 26

262424222212141412C C C C C C C C C C ++225101=， ==)3(X P 2255626

26241412121422=+C C C C C C C C ， ==)4(X P 225626

262422=C C C C ， 随机变量X 的分布列为：

…………11分

X 的数学期望是?+?+?

=2225

56122560)(X E 222564225563225101=?+?+.…………13分 （17）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， …………1分

由题意得，0(D ，0，)0，1(A ，0，)0，1(B ，1，)0，0(C ，2，)0，0(E ，2，)2，0(P ，

0，)2，2

1(F ，0，)22， 则1(-=AC ，2，)0，平面DEF 的一个法向量n 1x (=，y ，)z ，

0(=，2，)2，21(=，0，)22，

由?????=?=?0011DF n n ，即?????=+=+0222

1022z x z y ， 取2=z ，得n 122(-=，2-，)2， 因为AC ·n 1)2(2)22(1-?+-?-=020=?+， 所以⊥n 1，

AC ∥平面DEF . …………4分

（Ⅱ）解：设平面PBC 的一个法向量n 2x (=，y ，)z ，

1(=PB ，1，)2-，1(-=BC ，1，)0，

取1=x ，得n 21(=，1，)2，

设平面ABC 的一个法向量n 30(=，0，)1， 所以>=<32,cos n n 22423232==??n n n n ， …………6分 由图可知二面角P BC A --为锐二面角，

所以二面角P BC A --的大小为4π. …………8分

（Ⅲ）解：设存在点Q 满足条件，由2

1(F ，0，)22，0(E ，2，)2， 设FE FQ λ=（10≤≤λ），整理得2

1(λ-Q ，λ2，)212）（λ+， 2

1(λ+-=，12-λ，)212）（λ+， …………10分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为?30，

所以><=m ,cos 6sin π

==2

17101921

52=+--λλλ， 则12=λ，由10≤≤λ，所以1=λ，即Q 点和E 点重合，

故在线段EF 上存在一点Q ，且2

19

==EF FQ . …………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，设抛物线C 的方程为py x 22=（0>p ）， 则

12

=p

，2=p ， 所以抛物线C 的方程为y x 42=.

…………4分

（Ⅱ）解：由题意，直线AB 的斜率存在，设1(x A ，)1y ，2(x B ，)2y ， 直线AB 的方程为1+=kx y ，

…………5分

由???=+=y

x kx y 412，消去y ，整理得0442=--kx x ， k x x 421=+，421-=x x ，

…………8分 从而14221+=-k x x ，

…………9分

由?????

-==2

11x y x

x y y ，解得点M 的横坐标1112y x x x M -=12

111484

2x x x x -=-=， 同理点N 的横坐标2

48

x x N -=

， 所以N

M x x MN -=216)(428212121++--=x x x x x x 3

41

282-+=

k k ， …………11分

令t k =-34，0≠t ，则4

3+=

t k ， 当0>t 时，16

252

22

++=t t

MN 22>， 当0

8

≥，

综上所述，当325-=t ，即34-=k 时，MN 的最小值是

25

8

. …………13分（19）（本

小题满分14分）

（Ⅰ）解：圆n C 的圆心到直线n l 的距离n n d n ==

2

2，半径n a r n n +=2，

所以214

1n n n B A a =

+n n n a d r 22

2=-=，即21=+n n a a ，

…………3分

又11=a ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，

12-=n n a .

…………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，12

4+==

n n n n

a n

b ，

…………6分

所以432232221++=

n T 1

2++

+n n

， 54323222121++=n T 2

1221+++-++n n n n ， 两式相减，得43221212121++=n T 21221++-++n n n 222

21++-=n n ，

所以12

2

1++-=n n n T .

…………9分

（Ⅲ）证明：因为1

2-=n n a ，所以122

121-=--=

n n

n S ， 所以)1(2+++k T S k k k )

12

21)(12(2

1+++--+=

+k k k k k

)12)(12(211--=++k k k )1

21

121(21---=+k k ， …………11分

所以

∑

=+++n

k k k k T S k 1)

1(2121121(221---=12112132---+)121

1211---+++n n

2)1

2

11(21

<--

=+n . …………14分

（20）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：当1=m 时，曲线2)1()(--=x x f y x ln =， 设切点坐标为0(x ，)ln 0x ， 由x

x f 1

)('=

，所以斜率01x k =，则切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-，

因为切线过点0(P ，)1-，所以1ln 10-=--x ，解得10=x ，

所以切线方程为01=--y x . …………3分 （Ⅱ）解：函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，

x

m x x x f +-=22)('2， 令0)('>x f ，

?1当2

1≥m 时，0)('≥x f 恒成立， 函数)(x f 的单调递增区间为0(，)∞+；

?2当2

10<

)2211m --，2211(m -+，)∞+； ?3当0≤m 时，

函数)(x f 的单调递增区间为2

211(

m -+，)∞+. …………7分

（Ⅲ）解：x m x x x f +-=22)('2， 令0)('=x f ，得0222=+-m x x ，

由题意，方程有两个不相等的正数根a ，b ，且b a <， 则??

???>>-=?020)21(4m m ，解得210<

10<<<

…………9分 所以b m b b b f ln 12)(2++-=++-=122b b b b b ln )22(2+-，2

1(∈b ，)1， b b b f ln )2

1(4)('--=， 当2

1(∈b ，)1时，0)('>b f ，即函数)(b f 是21(，)1上的增函数， 所以0)(42ln 21<<-b f ，故)(b f 的取值范围是4

2ln 21(-，)0， …………11分 则1)]([-=b f ，

同理可求12)(2+-=a a a f a a a ln )22(2+-+，0(∈a ，)21

，

0ln )21

(4)('<--=a a a f ， 当21

(∈b ，)1时，0)('>b f ，即函数)(a f 是0(，)21

上的减函数， 所以1)(42

ln 21<<-a f ，故)(a f 的取值范围是42

ln 21(-，)1，

…………12分 则1)]([-=a f 或0)]([=a f ，

当1)]([-=a f 时，)]([)]

([sin b f a f )])()][(cos([b f a f >；

当0)]([=a f 时，)]([)]

([sin b f a f )])()][(cos([b f a f <.

…………14分