2010届中考数学特殊平行四边形

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中考数学专题复习——特殊平行四边形

一、选择题

1.(08山东省日照市）只用下列图形不能镶嵌的是 （ ）

A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形

2、(2008浙江义乌)下列命题中，真命题是 ( )

A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

3、（2008山东威海）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 （ ）

A．1 B．2 C．2 D．3

D C D F C

O A

B

A

E

B

4．（2008年山东省临沂市）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD

的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ） A． 23 B． 33 C． 43 D． 3

ABECFD

5. （2008年山东省潍坊市）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( )

A.80° B.70° C.75° D.60°

6.(2008年辽宁省十二市)下列命题中正确的是（ ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

7.(2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线EF将ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（ ）

A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形

?D3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

BC3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

D E

A

F B

C

8.(2008年天津市)在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（?23，0），C（0，?2），D（23，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ） A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．梯形

9(2008年沈阳市)如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 A

F E C

D

B

10.（2008年四川巴中市如图2．在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定ABCD是矩形的是（ ）

A．AC?BD B．AC?BD C．AC?BD且AC?BD D．AB?AD

??

11.（2008年江苏省南通市）下列命题正确的是（ ） A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形

12.（2008年江苏省无锡市）如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，

CD，DA上的点，且AE?BF?CG?DH?ABCD的面积之比为（ ）

241Ａ． Ｂ． Ｃ．

5921AB，则图中阴影部分的面积与正方形3Ｄ．

3 53eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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13.（2008广州市）如图2，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A 3 B 2 C 5 D 6

图2

14.(2008云南省)菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A．24 B．20

C．10

D．5

15.(2008宁夏)平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） A． AB=BC B．AC=BD C． AC⊥BD D．AB⊥BD

D A

B

16．（2008年江苏省连云港市）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中?1与?2一定不相等的是（ ）

D C C D C D D 2 2 2 2

1 1 1 1 A A B 1 B B A A

A． B． C． D． 17..（2008山东东营）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运

y D C C C

B

P 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ A 图 1

B O 4 图 2

9 x 3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）

A．10 B．16 C．18 D．20

18..（2008泰安）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）

?①AC?BD ②?BAD?90 ③AB?BC ④AC?BD

A．①③

A B．②③

D

C．③④ D．①②③

B

C

19.（2008年湖南省邵阳市）如图（二），将ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ） ．．．．．

?A．AF?EF C．AE?AF

A F D

B．AB?EF D．AF?BE

B

E C 图（二）

??????????20．（2008年上海市）如图2，在平行四边形ABCD中，如果AB?a，AD?b， ??那么a?b等于（ ）

????A．BD

D ????B．AC

C ????C．DB

????D．CA

A 图2

B

21．（2008年山东省威海市）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为

A．1 B．2

C．2 D．3

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22.(2008广东深圳)下列命题中错误的是 （ ） ．．

Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形

23.（2008湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）

A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形

24.(2008黑龙江哈尔滨)如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）． （A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm

二、填空题

1. （08浙江温州） 如图，菱形ABCD中，?A?60，对角线BD?8，则菱形ABCD的周长等于 ．

D A

B

2、(2008浙江义乌)如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8， AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折， 点A的落点记为P．

（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ▲ ；

（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ▲ ．

C ?

3、(2008山东烟台)红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm.

2

4．（2008年山东省临沂市）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.

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AOBED

FC

5、（2008浙江杭州）如图，一个4?2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5?3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 ．

或

或 ?

?

?6（2008浙江宁波）如图，菱形OABC中，∠A?120，OA?1，将菱形OABC绕点O按

??，B?A?，?顺时针方向旋转90，则图中由BB A?C，CB围成的阴影部分的面积是 ．

B

B?

C O A? C?

D

C F

G A

E

B

7.(2008年天津市)如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG?1，BF?2，?GEF?90?，则GF的长为 ．

8 .(2008年沈阳市)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件 是 （只填一个条件即可）．

A O B

C

D

，G，H分别是边9.（2008年四川省南充市）如图，四边形ABCD中，E，FAB，BC，C，DDAEFGH为菱形，应添加的条的中点．请你添加一个条件，使四边形件是 ．

H D G

F

C

A E B 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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10.(2008新疆乌鲁木齐市)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，?D?90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可） A D

?B

图3

C

11.(2008黑龙江黑河)如图，矩形ABCD中，AB?3cm，AD?6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且

EF?2BE，则

S△AFC?

A E

D cm2．

F

G

B C

12.（2008桂林市）如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ＝6,ＢＣ＝8,则梯形的高为 。

13.（2008桂林市）如图，矩形ＡＢＣＤ1111的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形

ＡＢＣＤ2222，再顺次连结四边形ＡＢＣＤ2222四边中点得到四边形ＡＢＣＤ3333，依此类推，求

四边形ＡＢＣＤnnnn的面积是 。

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14.（2008福建省泉州市）四边形ABCD为边长为1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，??，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于____________。

15．（2008年陕西省）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，?ADC??BCD?90，且

?DC?2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，

则S1，S2，S3之间的关系 是 ．

S2 S1 D

A B S3 C

?16．（2008年陕西省）如图，菱形ABCD的边长为2，?ABC?45，则点D的坐标为 ． y A D O (B) C x

17．（2008年山东省青岛市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝4cm，则AC的长为________cm．

18．（08莆田市）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD = 2AB，若沿过点D的折痕DE

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将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.

19.（2008佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，

则∠ACP度数是 ° ．

A

P D

20.（2008佳木斯市9）下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号）．

21.(2008①泰安4，并且两条对角线所夹锐角为 ) 若等腰梯形ABCD②的上、下底之和为 ③ ④ 60，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．

022.（2008山西太原）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知?AOD?120，AB=2.5，则AC的长为 。 A B D C

?B C

23.（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部 分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形 面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么sin?= 。 。

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24.（2008江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．

25.（2008四川内江）如图，在3?4的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．

26.(2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

MC 的值是 。 AM27. (2008 河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm

28.(2008 河南实验区)如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F，连接CE,已知?CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是 cm

29.（2008山西太原）在梯形ABCD中，AD?BC，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为 。

30.（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 三、简答题 1.（2008年四川省宜宾市） 已知:如图,菱形ABCD中, E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.

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(1)求证:AE=AF.

(2)若∠B=60°,点E，F分别为BC和CD的中点，求证:△AEF为等边三角形.

2.（2008年浙江省衢州市）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD?CD，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

D

A C

B 3.（08山东省日照市） 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．

求证：CE⊥BE．

D

C

E

A

B

4.（08浙江温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） A B C

5、（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N

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分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积； C D （2）求四边形MEFN面积的最大值． M N （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

A B F E

6.（2008年山东省潍坊市）如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.

(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.

(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.

图（1）

E图（2）

D

F BCG7.（2008年四川巴中市）已知：如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F． （1）求证：△BCD≌△FDE．

（2）连结BD，CF，判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论．

B

8.(2008年成都市) 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E、F分别是AB和BC边上的点. （1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD的面积S梯形ABCD的值；

（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.

H(A)FE(B)DGC3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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9.(2008年乐山市)如图（11），E、F分别是等腰△ABC的腰AB、AC的中点。 （1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形； （不写作法，保留作图痕迹）

A E B F C

（2）若AB＝5cm，BC＝8cm，求菱形AEMF的面积

10.(2008年乐山市)题甲：如图（13），梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G。 （1） 求证：

GEAE? GBBCG （2）若GE＝2，BF＝3，求线段BF的长

A F

B

E D

C

11．（2008年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由．

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A

D

E? G B

F E

C

12.（2008年江苏省无锡市）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF?AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

13.（2008年江苏省无锡市）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分?BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

14. （2008年江苏省苏州市）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB?DC?5，AD?6，BC?12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．

（1）梯形ABCD的面积等于 ；

（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒； （3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？

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A D P B

Q

C

?15.（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，?A?90，

CD?AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．

（1）求证：四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG?CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

D E C

A

G F

B

16.．（2008湖北咸宁）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

17．（08莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA?PC?PB?PD，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA、PB、PC和PD又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论。

MOFNE答：对图（2）的探究结论为____________________________________.

B 对图（3）的探究结论为_____________________________________. (第19题图）C证明：如图（2）

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22222222

A

E D

B

F 3eud教育网 C http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

18．（08厦门市）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD?AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

2（2）若AE?10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE?AC?AP？ 若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

19.（2008佳木斯市）有一底角为60的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．

20.（2008湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG

是都是正方形.连接BG、DE.

A（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论. D（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

GF

21.（2008湖北孝感）宽与长的比是?25?1的矩形叫黄金矩形，2B图12CE心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD；

第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；

第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过E作EF?AD交AD的延长线于F ，

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）。

22.（.2008资阳市）如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点

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E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形．

图7

23．（2008泰州市）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ．

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）

24.(2008 河南实验区)如图,已知:在四边形ABFC中，?ACB=90?,BC的垂直平分线EF 交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

(2) 当?A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)

25.(2008 山东 聊城)如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

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F

A

O

B E

C

D

26.(2008广东深圳)如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

ABED图 5C27.（2008贵州贵阳)如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．

（1）求证：△ADE≌△CBF．（5分）

（2）若AD?BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）

D F C

?

A

28.（2008湖北黄冈）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF?DE交BC的延长线于点F．求证：DE?DF． A E

1 D 3

2 E

（图8）

B

B

29. (2008黑龙江哈尔滨)在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q． (1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

3PQ； 3C

F

（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x

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的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。

30.（2008年湖南省邵阳市）学生在讨论命题：“如图（十二），梯形ABCD中，AD∥BC，?B??C，则AB?DC．”的证明方法时，提出了如下三种思路．

思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形； 思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形； 思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形． 请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．

A D

B

图（十二）

C

31.（2008年四川省南充市）如图，ABCD的对角线相交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“?”“?”“?”），说明理由．

A E D

O

32.（2008江苏淮安）已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线B F C

AD的对称点是E，

连结AE、DE．

(1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC．

?

33. (2008黑龙江黑河)已知：正方形ABCD中，?MAN?45，?MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．

当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图1），易证BM?DN?MN．

（1）当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎

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样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当?MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． A D N

N

B

M 图1

C

B

M 图2

图3

N

34.（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.

（1）求证AE=BF；

（2）若BC=2cm，求正方形DEFG的边长.

35.（2008广州市）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形

36.（2008湖南益阳市） △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； A G F

3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ B

D E 图10(1)

A D A D

C

M B

C

图7

C

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Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．问题解答. Ⅱa的解答记分. ．．．．．如果两题都解，只以．．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE

的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

A G F B

D

图10(2)

E

C Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由. A

G F

F′ G′

B C E′ D E D′

图10(3)

38．（2008年上海市）如图11，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

E

（2）若?AED?2?EAD，求证：四边形ABCD是正方形． A

D O

B C 图11

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特殊平行四边形答案

一.选择题

1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A 13.C 14.B 15.B 16.D 17.D 18.A 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.A 二.填空题

13231.32；.2. （1）2 （2）45?8；3. 3；4.6；5. 4或9或15个小正方形；

23π?2；7. 3 ；8. ?BAD?90?（或AD?6. 3

AB，AC?BD等）；9.

AC?BD或EG?HF或EF?FG等（任填一个满足题意的均可）；10. ?A?90?14n?1S?S1?S3；16.

或AD?BC或AB∥CD；11. 9；12. 7；13. 2；14. 4；15. 243或433；22. 5；23. 0.6；

(2?2，2)；17. 8cm；18. 60；19. 22.5 20. ③；21.

224. 平行四边形（或矩形或菱形）；25.14；26. 2或3；27.20；28.48；29.15；30.6；

三.解答题

1. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,?B??D, 又∵BE=DF

∴?ABE≌?ADF ∴AE=AF (2)连接AC

∵AB=BC,?B?60? ∴?ABC是等边三角形， E是BC的中点

∴AE⊥BC, ∴?BAE?90??60?30?,同理

??DAF?30?

∵?BAD?120?

∴?EAF??BAD??BAE??DAF?60? 又∵AE=AF

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∴?AEF是等边三角形。

2. 解：正确。 证明如下：

方法一：设AC，BD交于O，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAC AB=AD，∴AO⊥BD

D O C S?ABD?11BD?AOS?BCD?BD?CO22，

A

?S四边形ABCD?S?ABD?S?BCD?11BD?AO?BD?CO22

11?BD(AO?CO)?BD?AC2 2

方法二：∵AB=AD，

∴点A在线段BD的中垂线上。

又∵CB=CD，∴点C与在线段BD的中垂线上， ∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC；

B 设AC，BD交于O，∵

S?ABD?11BD?AOS?BCD?BD?CO22，

?S四边形ABCD?S?ABD?S?BCD??11BD(AO?CO)?BD?AC22

11BD?AO?BD?CO22

3. 证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．?????? 1分

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， ∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°． ∴四边形AFCD是矩形．

AD=CF, BF=AB-AF=1．???????????? 3分 在Rt△BCF中， CF2=BC2-BF2=8， ∴ CF=22．

∴ AD=CF=22．?????????????????????? 5分 ∵ E是AD中点，

D C

E

A

F

B

1∴ DE=AE=2AD=2．?????????????????? 6分

在Rt△ABE和 Rt△DEC中， EB2=AE2+AB2=6， EC2= DE2+CD2=3，

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EB2+ EC2=9=BC2．

∴ ∠CEB＝90°．????????????????????? 9分 ∴ EB⊥EC． ??????????????????????? 10分 4. 答案：（本题答案不唯一）

A A A B C B C B C 图甲（是中心对称图形 图乙（是轴对称图形但 图丙（既是轴对称图形 但不是轴对称图形） 不是中心对称图形） 又是中心对称图形）

5. 解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ?????1分 ∵ AB∥CD，

∴ DG＝CH，DG∥CH．

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． ∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

C D ∴ △AGD≌△BHC（HL）．

M N AB?GH7?1?22＝3． ???2分 ∴ AG＝BH＝

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，

∴ DG＝4．

A E G H F B

∴

S梯形ABCD??1?7??4?162． ??????????????????3分

D M C N （2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ∴ ME＝NF，ME∥NF． ∴ 四边形MEFN为矩形． ∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF． ????????4分 设AE＝x，则EF＝7－2x． ?????5分 ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA．

AEME?AGDG． ∴

A E G H F B

4x3∴ ME＝． ????????????????????6分

S矩形MEFN48?7?49?ME?EF?x(7?2x)???x???33?4?6． ????????8分

2∴

7749当x＝4时，ME＝3＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为6．?????9分

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（3）能． ?????????????????????????10分

4x3由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． 若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．

4x21?x?10． ???????????????11分 即 37－2x．解，得

∴ EF＝

7?2x?7?2?2114?105＜4．

S正方形MEFN?14?196????25． ?5?2∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为

6. 解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知

△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠

EFAFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴EG?AEGH,∴EF=5,∴

11S△EFG=2EF·EG=2×5×10=25.

(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH, ∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,

∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形； 连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE=

图（1）

22AE?AB=85，∴BO=45，∴

图（2）

FG=2OG=2BG2?BO2=45。

7.（1）证明：?点E是DC中点

?DE?CE 1分

FED又?AD∥BC，F在AD延长线上， BGC??DFE??EBC，?FDE??ECB 3分

在△BCE与△FDE中错误！不能通过编辑域代码创建对象。 5分

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AFBEDGC

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?△BCE≌△FDE(AAS)

6分

（2）四边形BCFD是平行四边形．理由如下： 7分

?△BCE≌△FDE

?DE?CE，FE?BE 9分

?四边形BCFD是平行四边形． 10分

8. （1）解：由题意，有△BEF≌△DEF. ∴BF=DF. ??1分 如图，过点A作AG⊥BG于点G. 则四边形AGFD是矩形。 ∴AG=DF,GF=AD=4.

在Rt△ABG和Rt△DCF种， ∵AB=DC,AG=DF,

∴Rt△ABG≌Rt△DCF.(HL)

∴BG=CF. ??2分

11(BC?GF)(8?4)∴BG=2=2=2.

∴DF=BF=BG+GF=2+4=6. ??2分

11(AD?BC)?DF??(4?8)?6?362∴S梯形ABCD=2. ??1分 1BE??CGk(2)猜想：CG=k?BE(或). ??1分

证明：如图，过点E作EH∥CG,交BC于点H.

则∠FEH=∠FGC. 又∠EFH=∠GFC, ∴△EFH∽△GFC.

EFEH?, ∴GFGC GF?kEF而FG=k?EF,即.

EH1?∴GCk 即CG?k?EH. ??1分

∵EH∥CG, ∴∠EHB=∠DCB.

而ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB.

∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG=k?BE ??1分

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9. 解：（1）作图（略）． 3分

注：本题作法较多，如：方法一，作BC的中垂线：方法二，以E为圆心，EA为半径画弧，交BC于点M．等等．

（2）如图（1），?AEMF为菱形，

A E D M 图（1）

F C ?AM平分?BAC， 5分

?AM?BC，MB?MC， 又?AB?AC，?在Rt△ABM中，AB?5，BM?4，

则AM?3， 6分

又?E，F分别是AB、AC的中点，

?EF?1BC?42， 7分

S?1?3?4?62（cm2）．

故菱形的面积9分

（我感觉此题不正确,这样能保证以E.F为圆心,以AE的长为半径的弧交点一定在BC上吗）

10. ．甲题：

（1）证明：?AD∥BC?△GED∽△GBC， 2分

?GEED?GBBC， 3分

?GEAE?GBBC． 4分

又?AE?ED，

?AEF∽△CBF （2）解：?AD∥BC，△?AEEF?BCBF， 5分

GEAE?由（1）知GBBC， ?EFGE?BFGB， 6分

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设EF?x，则GB?5?x，

x2?则有35?x， 8分

即x?5x?6?0， 解得：x?1或x??6，

经检验，x?1或x??6都是原方程的根，但x??6不合题意，舍去． 故EF的长为1． 9分

11. 解：（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° 2分 ∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. ??????4分 （2）答：四边形E′BGD是平行四边形

理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB∥CD， ∴BE′＝DG，BE′∥DG，??????6分

∴四边形E′BGD是平行四边形 ??????8分

12. 解法一：?矩形ABCD中，AB∥CD，?D?90， （2分）

?2??BAF??AED． （4分）

??BF?AE，??AFB?90，??AFB??D． （5分）

?△ABF∽△EAD．

（6分）

?解法二：?矩形ABCD中，?BAD??D?90． （2分）

??BAF??EAD?90?，?EAD??AED?90?，??BAF??AED． （4分）

13. （1）?AB∥CD，即AE∥CD，又?CE∥AD，?四边形AECD是平行四边形．

（2分）

?AC平分?BAD，??CAE??CAD， （3分）

又?AD∥CE，??ACE??CAD，??ACE??CAE，?AE?CE，

?四边形AECD是菱形． （4分）

（2）证法一：?E是AB中点，?AE?BE．

又?AE?CE，?BE?CE，??B??BCE， （5分）

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??B??BCA??BAC?180?， （6分）

?2?BCE?2?ACE?180?，??BCE??ACE?90?．

即?ACB?90，?△ABC是直角三角形． （7分） 证法二：连DE，则DE?AC，且平分AC， （5分） 设DE交AC于F．

??E是AB的中点，?EF∥BC． （6分）

?BC?AC，?△ABC是直角三角形．

（7分）

1514. 解：（1）36；（2）8秒；

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况： ①当PQ?BC时，设P点离开D点x秒， 作DE?BC于E，?PQ∥DE．

CPCQ5?x2x15????x?CDCE，53，13． 15?当PQ?BC时，P点离开D点13秒．

②当QP?CD时，设P点离开D点x秒，

B

A D P C

E Q

??QPC??DEC?90?，?C??C．

A D P ?△QPC∽△DEC． ?PCCQ5?x2x25???x?ECCD．35．11．

B

Q E

C

25?当QP?CD时，点P离开点D11秒．

1525由①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开点D13秒或11秒．

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15. 证明：（1）??A?90，AB∥DC，??ADE?90．

由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD?DE，?DEF?90．

D E C

???A

G F

B

?四边形ADEF是矩形，且邻边AD，AE相等． ?四边形ADEF是正方形． 3分

（2）?CE∥BG，且CE?BG，?四边形GBCE是梯形． 4分

?四边形ADEF是正方形，?AD?FE，?A??GFE?90．

又点G为AF的中点，?AG?FG．连接DG．

在△AGD与△FGE中，?AD?FE，?A??GFE，AG?FG，

??△AGD≌△FGE，??DGA??EGB．

6分

?BG?CD，BG∥CD，?四边形BCDG是平行四边形． ?DG∥CD．??DGA??B．??EGB??B．

?四边形GBCE是等腰梯形． 8分

注：第（2）小题也可过点C作CH?AB，垂足为点H，证△EGF≌△CBH 16. 解（1）证明： ∵CE平分?BAC，∴?1??2， 又∵MN∥BC，∴?1??3，∴?3??2，∴EO?CO． 同理，FO?CO．∴ EO?FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

∵EO?FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.

1?2??4??180??90?2又∵?1??2，?4??5．∴，即?ECF?90?．∴四边形AECF是矩形．

17.结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N， 因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC

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在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2 在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2 在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2 在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2

所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2

因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形 所以MD=NC，同理AM = BN，

所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2 即PA2+PC2=PB2+PD2

18. 解：（1）连结EF交AC于O，

当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

E O B

F

P C

A D

?OA?OC，?AOE??COF?90? 1分

?在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

??EAO??FCO， ?△AOE∽△COF． ?OE?OF 2分

?四边形AFCE是菱形． 3分

（2）四边形AFCE是菱形，?AF?AE?10． 设AB?x，BF?y，??B?90，

?x2?y2?100 4分

?(x?y)2?2xy?100 ①

1?S△ABF?24，?xy?242又，则xy?48． ② 5分

2(x?y)?196 6分 由①、②得：

?x?y??14，x?y??14（不合题意舍去） ?△ABF的周长为x?y?AF?14?10?24． 7分

（3）过E作EP?AD交AC于P，则P就是所求的点． 9分

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证明：由作法，?AEP?90，

由（1）得：?AOE?90，又?EAO??EAP，

???△AOE∽△AEP，

?AEAO?APAE，则AE2?AO?AP 10分

?AO?11AC?AE2?AC?AP22，． 11分

?四边形AFCE是菱形，

?2AE2?AC?AP 12分

219. 解：解：当BE?15cm时，△ABE的面积是50cm； 2当CF?15cm时，△BCF的面积是75cm； 2当BE?15cm时，△BCE的面积是255cm．

（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6 20. 解：（1）BG=DE

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°） ∴△BCG≌△DCE ∴BG=DE

（2）存在. △BCG和△DCE

△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合 21. 证明：在正方形ABCD中，取AB=2 ∵N为BC的中点，

1BC?1∴NC=2

2222DN?NC?CD?1?2?5 Rt?DNC在中，

又∵NE=ND， ∴CE=NE-NC=5?1,

?CE5?1?CD2,

故矩形DCEF为黄金矩形。

22. 解：(1) 内. 2分

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(2) 证法一：连接CD， 3分 ∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形， 4分 又∵ 点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 5分 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD， 6分

∴ □DECF为菱形． 7分 证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I． 3分 ∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC， ∴DI=DG， DG=DH．

∴DH=DI． 4分

图7

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形， 5分 ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI， ∴CE=CF． 6分

∴□DECF为菱形． 7分

23. （1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。?????????1分

由∠D=900 ，DE=1，AD=3，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠AEC。???????????3分

CECP1（2）①∵CE∥BF，∴BF=BP=2 ∴BF=2CE。???????5分

∵AB=2CE，∴点B平分线段AF???????????????6分 ②能。??????????????????????????7分

1证明：∵CP=323，CE=1，∠C=900 ，∴EP=3DEC3。

P在Rt △ADE中，AE=

?3?2?12 =2，∴AE=BF，

ABF233又∵PB=，∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS≌△PFB。??????????9分

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为1200 且是 ???????????????????10分 24. （1）四边形BECF是菱形。· 证明：EF垂直平分BC， ∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90°

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∴∠1+∠4=90° ∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ∴BE=AE ∵CF=AE

∴BE=EC=CF=BF

∴四边形BECF是菱形

（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形 证明：∵∠A=45。, ∠ACB=90。 ∴∠1=45。

∴∠EBF=2∠A=90。 ∴菱形BECF是正方形

25. （1）证明：?四边形ABCD是矩形，

F

A

O

B E

C D

?OB?OD（矩形的对角线互相平分），

AE∥CF（矩形的对边平行）． ??E??F，?OBE??ODF．

?△BOE≌△DOF（A．A．S）．

（2）当EF?AC时，四边形AECF是菱形． 证明：?四边形ABCD是矩形，

?OA?OC（矩形的对角线互相平分）．

又由（1）△BOE≌△DOF得，

F

A

O

B E

C D

OE?OF，

?四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的

四边形是平行四边形） 又EF?AC，

?四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四

边形是菱形）．

26. （1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E

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∴∠ADC＝∠BCD

∴梯形ABCD是等腰梯形

（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5 ∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴∠DBC＝90°

∴DC＝2BC＝10

27. 解:21．（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． ∵E，F分别为AB，CD的中点 ∴AE=CF

??AD?CB??A??C?在△AED和△CFB中，

?AE?CF

?△AED≌△CFB(SAS)．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：?AD?BD，

?△ABD是Rt△，且AB是斜边（或?ADB?90?）

?E是AB的中点，

?DE?12AB?BE．

由题意可知EB∥DF且EB?DF，

?四边形BFDE是平行四边形， ?四边形BFDE是菱形．

28. 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900 又∵DF⊥DE，

∴∠1+∠3=∠2+∠3 ∴∠1=∠2

在Rt△DAE和Rt△DCE中， ∠1=∠2 AD=CD ∠A=∠DCF

∴Rt△DAE?Rt△DCE ∴DE=DF．

29. 解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°

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∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°

∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB

∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP ??????1分 过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM

33 ∵∠EPM=30°∴PM=2PE ∴PE=3PQ???1分 3 ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+3 PQ??????1分 1 （2）解：由题意知AE=2BE ∴DE=BE=2AE

∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 ????1分 当点P在线段ED上时（如图1）

11 过点Q做QH⊥AD于点H QH=2PQ=2x

33 由（1）得PD=BE-3PQ=4-3x

132?x?x ∴y=2PD·QH=12??????1分

当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’

1=2x

33 过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ=3PQ ∴BE=3PQ-PD 1332x?x2312 ∴PD=x-4 y=PD·QH’=????????1分

（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23

PD122 ∴PC=PD?DC=4 ∴cos∠DPC=PC=2 ∴∠DPC=60°

∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°??????????1分

1 ∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=2PD=1?????1分

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QC=

PQ2?PC2=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC

∴∠PCN=∠PCF?????1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC

PGPN121??27PQ ∴PG=23 ∴QC=3??????????1分

30. 解：过点D作DE∥AB交BC于点E，

??B??DEC，

1分

??DEC??C， 又??B??C，?DE?DC． 3分 ?AD∥BC，AB∥DE，

?四边形ABED为平行四边形， 5分

?AB?DE，

?AB?DC．（答案不唯一） 6分

31. 解：填“?”

理由：?四边形ABCD是平行四边形

?OA?OC，AD∥BC 3分 ??1??2，?3??4

在△AOE和△COF中

4分

A E 1 3 O 4 2 D

B F C

（第31题图）

??3??4???1??2?OA?OC?

5分

?△AOE≌△COF． ?OE?OF 6分

32. (1)解：四边形AODE是菱形； (2)证明：∵四边形AODE是菱形 ∴AE=ED

∴∠EAD=∠EDA

∵四边形ABCD是矩形

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∴∠BAD=∠CDA，AB=CD

∴∠BAD+∠EAD=∠CDA+∠EDA 即：∠BAE=∠CDE ∴△BAE≌△CDE ∴EB=EC

33. 解：（1）BM?DN?MN成立．

如图，把△AND绕点A顺时针90，得到△ABE， 则可证得E，B，M三点共线（图形画正确） 证明过程中，

证得：?EAM??NAM 证得：△AEM≌△ANM

N

E

B

M

C

A D

??ME?MN

?ME?BE?BM?DN?BM ?DN?BM?MN

（2）DN?BM?MN 34.

解：（1）∵ 等腰Rt△ABC中，∠C?90°，

∴ ∠A＝∠B， （1分） ∵ 四边形DEFG是正方形，

∴ DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°， （２分） ∴ △ADE≌△BGF，

∴ AE＝BF． （3分）

（2）∵ ∠DEA＝90°，∠A=45°， ∴∠ADE=45°． （4分）

∴ AE＝DE． 同理BF＝GF． （5分）

1112?2BC?2?2∴ EF＝3AB=3=3=3cm， （6分） 2cm3∴ 正方形DEFG的边长为． （7分）

?CAE?35. .提示：

1?DAB?30002得?E?60??DAB，由DC//AE,AD不平行CE得

证

36. Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形， ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 2分

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∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° 3分 ∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分

Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH， 求得AH?3

7分

G A F 由△AGF∽△ABC得：

x?23?x3 9分

解之得：错误！不能通过编辑域代码创建对象。(或x?43?6) B C H E D

解图10(2)

2?xBD?2 7分 解法二：设正方形的边长为x，则

GD 在Rt△BDG中，tan∠B=BD，

x?32?x∴2 9分

x?232?3(或x?43?6) 10分

10分

解之得：

解法三：设正方形的边长为x，

2?xBD?,GB?2?x2则 7分 由勾股定理得：

(2?x)2?x2?(2?x2)2

9分

解之得：x?43?6 10分 Ⅱb.解： 正确 6分

由已知可知，四边形GDEF为矩形 7分 ∵FE∥F’E’ ，

FEFB?∴F?E?F?B， FGFB?同理F?G?F?B，

FEFG?∴F?E?F?G?

G G’ B

F’ C A F 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形 10分

D’ D E’ E

解图10(3)

37. 证明：（1）?四边形ABCD是平行四边形，?AO?CO． （2分） 又?△ACE是等边三角形，?EO?AC，即DB?AC． （2分）

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?平行四边形ABCD是菱形； （2分）

（2）?△ACE是等边三角形，??AEC?60． （1分）

??EO?AC，

??AEO?1?AEC?30?2． （1分）

????AED?2?EAD，??EAD?15．??ADO??EAD??AED?45． （1分） ??四边形ABCD是菱形，??ADC?2?ADO?90 （2分）

?四边形ABCD是正方形．

）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/94ua.html