学而思小学奥数36讲（上） - 图文

第1讲 计算综合（一）

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．

2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．

3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．

5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．

726?27 1．计算：18135813?3?3416772317【分析与解】原式=46?2?12? ?4148812813?1233

?123?41?1

2．计算：

【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19顺序，如果分子与分母在195959．于是，我们想到改变运算

后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；

如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：

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195959595(?3(?69102750?5.22)?(?5.22)原式=

19191993?0.41995?0.5?1.61995)

?1.32?(=191993?0.41995?0.4?4?0.4?0.51995?0.5)

?1.3291993?20.40.41=1?(=1 ?)=1?19950.50.54

3．计算：1?1?1?111198711?198719861986397319873973

【分析与解】原式=1?=1?=

4．计算：已知=

1+2+111x+1411+2+11x+14?1?2?1144x?1?1?14x?18x?6?8x?612x?7?811?811，则x等于多少?

【分析与解】方法一：

交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1?2?11x?14?118?1?38，所以2?1x?14?83?2?23；所以x?14?32，那么x?1.25．

5．求4,43,443,...,44...43???这10个数的和．

9个4 【分析与解】方法一：

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4+43+443?...?44...43???

9个4 =4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4??1)

10个4 =4?44?444?...?44...4??9=

10个449?(9?99?999?...?999...9)????9

10个9 =

4949?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0??????1)]?9

10个0 =

?111.100??????9=4938271591.

9个1 方法二：先计算这10个数的个位数字和为3?9+4=31；

再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36?3?39； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32?3?35； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28?3?31； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24?3?27； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20?2?22； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16?2?18； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12?1?13； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为8?1?9；

最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?

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【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 3?(?3114?0.6?0.875)?1+0.75+1.8+2.625=6.175=6740

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”?0.4)384表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：

1235(?0.3)?(?2.25)3104【分析与解】原式

330.625?155384?5?155?27?25 1838412256?2.253(0.625?23)?(155

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，?．如果那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】

?(1(16)?1(17))?1(17)?(17)(16)?1=

16?17?1815?16?17?1?151(16)?1(17)?1(17)?，

.

9．从和式

12?14?1616??11218?11014?112中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?

12【分析与解】 因为

?，所以,

14,

16,

112的和为l，因此应去掉

18与

110.

10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?

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【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918??较大，于是最大的为

??9.291892915．

11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有

16?110?415，

110?115?16，

135?1141?1101

评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到

1a?b?1c?b?c?aa?b?c，当a?c?b时，有

a?b?c?b?c?aa?b?c?1a?c．

当a、b、c两两互质时，显然满足题意．

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有2?c?b，显然b、c为一对孪生质数． 即可得出一般公式：

12．计算：(1? 【分析与解】 原式=

===

(2?1)?(2?1)2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?112?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?112?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?112?2?10?101120?(3?1)?(3?1)?...?(10?1)?(10?1)12?2）?（1?13?3）?...?(1?110?10)

11，c与c+2均为质数即可. ??2?(c?2）c?(c?2)2?c1

=.

13．已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?7011?65?12?66?13?67?14?68?15?69?100.问a的整数部分是多少？

【分析与解】

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?（69?1）?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（1?=

11?12?13?14?1511?65?12?66?13?67?14?68?15?69）?100

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a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100

=100?因为

11?12?13?14?1511?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15?100.

11?12?13?14?15100 ?100＜?100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?656510035所以a＜100+. ?101656511?12?13?14?15100 ?100＞?100?11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?696910031所以a＞100?. ＝1016969同时

11?12?13?14?15综上有101

3169＜a＜1013565．所以a的整数部分为101．

14．问

12100101357992468100＝A，????...?＝B， 【分析与解】方法一：令????...?24681003579101?34?56?78?...?99与

1相比，哪个更大，为什么?

有A?B＝12?34?56?78?...?99100?23?451?67?89?...?100101＝11011.

而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，

（＝有A×A＜4×B

1101）＜

1100110＝110?10110，所以有A×A＜更大． ，

110?10，那么A＜

110．

即

12?34?56?78?...?1?399100?5与

?相比，

97方法二：设A＝724689810011335599992?则A＝??????...?

224466100100?...??99=显然

1?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?12?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999，

11002?2、

4?4、

6?6、?、

98?98、

100都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜

110.

15．下面是两个1989位整数相乘：111...11??????111...11?????．问：乘积的各位数字之和是多少?

1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为111...11?????能被9整除，所以将一个111...11?????1989个11989个1乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

999......99??????123456790......012345679???????????

1989个9共1988位数（1000......00?123456790......012345679=??????1）???????????

1989个0共1988位数Page 6 of 69

=123456790......012345679???????????000......00??????123456790......012345679???????????

共1988位数1989个0共1988位数=123456790......012345679123456789876543209......9876543209????????????????????????87654321

共1988位数共1980位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：

（1?2?3?4?5?6?7?9）?220?（9?8?7?6?5?4?3?2）?220 （1?2?3?4?5?6?7?8）（?9?8?7?6?5?4?3?2?1）?17901 +

评注：111111111÷9=12345679；

M×999...9???的数字和为9×k．(其中M≤999...9???)．可以利用上面性质较快的获得结果．

k个9k个9

第2讲 计算综合（二）

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算． 1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：

12?22?32???n2?16?n??n?1???2n?1?

3．平方差公式：a2

-b2

=(a+b)(a-b)．

1． 已知a=

1,b?12?12?1,试比较a、b的大小.

3?13?1????199????199?1100

【分析与解】 a?11,

2?1,b?13?12?3?1????1????198?11A98?B其中A=99,B=99+

111100.因为A98+B，

97?1?97?1,96?1?96?1,

98?1A98?197?197?1B98?1A98?1BPage 7 of 69

?

2?3?4?111????198?1A?2?3?4?111????198?1B,所以有a < b．

2.试求

2?3?4?????11111200513?4?????1112005?1?1?3?11114?????112005的和？

【分析与解】 记x?,则题目所要求的等式可写为：

12?x?1?111?x,而

12?x?1?111?x?12?x?1?x2?x?1.

所以原式的和为1．

评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．

2． 试求1+2+3+4+?4+100的值?

【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．

方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+? 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+?4+ 3+ 2+ 1,

上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050．

方法三：整数裂项(重点)，

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2)÷2

=?1?2?2?(3?1)?3?(4?2)?4?(5?3)?????100?(101?99)??2

=(1?2?2?3?1?2?3?4?2?3?4?5?3?4?????100?101?99?100)?2 =100?101?2 =5050.

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3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项

原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+?+99×100×3)÷3

=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+?+99×100×(101-98)]÷3

(1?2?3?2?3?4?1?2?3?3?4?5?2?3?4?4?5?6?3?4?5?5?6?7?4?5?6?????99?100?101?98?99?100)?3?99?100?101?3?33?101?100?3333?100?333300.方程二：利用平方差公式12+22+32+42+?+n2=n? 原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+?+99+99 =12+22+32+42+52+?+992+1+2+3+4+5+?+99 =

99?100?1996?99?10022

2

2

2

2

2

2n?(n?1)?(2n?1)6.

=328350+4950 =333300．

5．计算下列式子的值：

0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+?+97?99+98×100。再除以100．

方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×100)÷100

=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+?+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+?+97×98+98×99)+(1+2+3+4+?+97+98)]÷100 =(

13×98×99×100+

12×98×99)÷100

=3234+48.51 =3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算．

0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×l00)÷100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+?+992-1)÷100 =(11+22+32+42+52+?+992-99)÷100 =(

16×99×100×199-99)÷100

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=16.5×199-0.99 =16.5×200-16.5-0.99 =3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．

1×2+2×3+3×4+?+(n-1)×n ==

1313×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+?+(n-1)×n×3]

×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+?+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}

?1?2?3?2?3?1?2?3?4?3?4?2?3?4?5?????=??? 3??(n?1)?n?(n?2)?(n?1)?n?(n?1)?1=?(n?1)?n?(n?1)

31

6.计算下列式子的值：

24?(12?3?14?5?????120?21)?(112?1????) 222221?21?2?????10121114151

【分析与解】 虽然很容易看出

12?3??34?5,????????可是再仔细一看，并没有什么效果，

因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+?+n2=

16×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有

11?2?3?????n2222?6n?(n?1)(2n?1).

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?

24?(12?31?1111????)?(2?2?????) 22224?520?2111?21?2?????10111111????)?6?(??????)

2?34?520?211?2?32?3?510?11?12111111?????)?24?(??????) =24?(2?34?520?212?4?34?6?520?22?21=24?(?=24??(=24?(=6?(?1?2?312?41??12?4?31)?(14?5?14?6?5)?????(120?21??)?

20?22?21?1?1????) 4?620?2211?21=6?(1?)

111????) 2?310?11=

6011

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7．计算下列式子的值：

(1??(1412??1513?14?15?????119801211980122)?(16212?13?114?215?????11980121)?(2213?1214??1315??????14?11198012?????)2?????)?(15??????198012)?????(198012)?(1?1198012

)5

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然1+1=2; (1?(1?(1?112121212)?()?(1?)?4;222??1313)?(?1422

12?112112)?()?(1??)?6;332312?13?1112121112)?(?)?()?(1???)?8;4344234

)?(2所以原式=198012×2=396024． 习题

计算17×18+18×19+19×20+?+29×30的值．

提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式. 答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.

第3讲 多位数的运算

k

?9＝10-1，提出公因数，递推等方法求解问题． 多位数的运算，涉及利用999?????k个9

k

?9 一、999＝10-1的运用 ?????k个9?9＝10-1来转化问题； 在多位数运算中，我们往往运用999?????k个9k

?3×59049 如：333?????2004个3?3转化为999?9÷3， 我们把333??????????2004个32004个933??3×59049=（999?9÷3）×59049=999?9×59049=（1000?0-1）× 于是原式为3???????????????????200个432004个92004个92004个0Page 11 of 69

19683=19683×1000?0-19683 ?????2004个0 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；

2004个9????????? 1968299?999999+1

2004个9?????????1968299?999999?1 如：

?196831999个9?????????1968299?980316?11999个9?????????1968299?980317，于是为1968299?980317?????????．

1999个9

简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．

?3×2×3×3×333?3 原式=333??????????2004个32008个3

?3×2×3×999?9 =333??????????2004个32008个9?98×（1000?0-1） =1999??????????2003个92008个0?98×1000?0-1999?98 =1999???????????????2003个92008个02003个92003个92008个9????????????1999?979999999?99?1?1999?98?????=

2003个92003个92003个0????????????1999?979998000?01?1?979998??02. ,于是为1999???????000????2003个92003个01999?979998??02???????000????2003个92003个0

?1－222?2=A×A，求A． 2．计算111????????2004个11002个2?1，从而找出突破口. 【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有111???n个1?1－222?2=111?1000?0－111?1 111???????????????????2004个11002个21002个11002个01002个1?1×（1000?0-1） =111????????1002个11002个0Page 12 of 69

=111?1×（999?9） ????????1002个11002个92 =111×（×3×3）=A ?1111?1??????1002个11002个1 所以，A＝333?3. ?????1002个3

3．计算666?6×666?6×25的乘积数字和是多少? ??????????2004个62003个6 【分析与解】我们还是利用999?9=1000?0?1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成??????????k个9k个0999?9，于是我们就创造条件使用： ?????k个9666?6×666??67×25=[?????????2004个62003个623×（999?9）]×[?????2004个923×（999?9）+1]×25 ?????2004个9=[

23?0?1）]×[×（1000?????2004个023?0）+1]×25 ×（1000?????2004个0=

13×

13?0-2]×[2×（1000?0）+1]×25 ×[2×1000??????????2004个02004个0=

259?0-2×1000?0-2] ×[4×1000??????????4008个02004个0=

1009?9-×999?????4008个9509?9 ×999?????2004个9?1-50×111?1 =100×111??????4008个12004个1100??50(求差过程详见评注) =111???????555????4008个12004个5??10555??50 =111????????2004个12004个5??10555??50 所以原式的乘积为111????????2004个12004个5那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．

100??50的计算，我们再详细的说一说． 评注：对于111???????555????4008个12004个5111100??50 ???????555????4008个12004个5?1000?0?111?100?555??50 =111???????????????2005个12005个02003个12004个5?10999?9?1?111?100?555??50 =111???????????????2004个12005个92003个12004个5Page 13 of 69

=111?10444??49?111?101 ??????????2004个12004个42003个1=111?105555 ?????????2004个12004个5

4．计算222?2?222?2的积? ??????????1998个21998个2【分析与解】 我们先还是同上例来凑成999?9； ?????k个9222?2?222?2 ??????????1998个21998个2＝

????999?9?222?2 ?????????????9?1998个9?1998个22????1000?0?1?222?2 ?????????????9?1998个01998个2?2????1000?0?1??444?4 ????????????9?1998个01998个4?1?? ??444?4000?0?444?4??????????????????9?1998个41998个01998个4?1＝

＝

＝

＝

19?444?43555?56(求差过程详见评注) ??????????1997个41997个5?4能被9整除，商为：049382716． 我们知道444?????9个4 又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除．

?4355能被9整除，商为04938271595； 444?????8个4?5能被9整除，商为：061728395； 我们知道555?????9个5 这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．

??56能被9整除，商为0617284． 555????6个5 于是，最终的商为：

??049382716??061728395 49382716049382716??????????04938271595061728395??????????0617284

220个049382716221个061728395?4000?0-444?4计算，我们再详细的说一说． 评注：对于444???????????????1998个41998个01998个4?4000?0-444?4 444???????????????1998个41998个01998个4Page 14 of 69

＝444??43999?9+1-444?4 ??????????????1997个41998个91998个4＝444??43555?5+1 ?????????1997个41998个5＝444??43555??56. ????????1997个41997个5

二、提出公因式

有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．

5.计算：（1998+19981998+199819981998+?19981998???1998???????）÷

1998个1998（1999+19991999+199919991999?19991999???1999???????）×1999

1998个1999【分析与解】19981998???1998???1001 ???????＝1998×10011001?????1998个19981998个1001???1001）÷［1999×（1+10001+100010001+?原式＝1998（1+10001+100010001+?10011001?????1998个100110011001???1001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. ?????1998个1001

6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少? 【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．

设1993×123=M，则(1000×123＝)123000

令M＝abcdef

则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M ＝abcdef000000-abcdef ＝abcdef＝abcdef＝abcdef?f?f?f?1?999999+1－abcdef

?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?+1

?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?1?

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．

所以原式的计算结果的数字和为54．

?9的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)． 评注：M×999?????k个9Page 15 of 69

9．幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班中男生数与女生数的比为5：3，中班中男生数与女生数的比为2：1，那么大班有女生多少名?

【分析与解】设大班女生有x名，则中班女生有(18-x)名．根据男生数可列出 方程：x×

5321+(18-x)×=32，解得x=12．

所以大班有女生12名．

10．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的号与原二班的丢组成新一班，将原一班的{与原二班的吉组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10％，那么原一班有多少人? 【分析与解】

有新三班的为原一、二班总人数的1- 所以原来两班总人数是：30÷

512712?512，为30人．

=72(人)．

则新一班与新二班人数总和是72-30=42(人)． 现在再把新二班人数算作1份． 新一班人数=42?1?101?10?????1 =22(人)，新二班人数=42-22=20(人)．

(原一班人数)-(原二班人数)=(22-20)÷? 原一班人数=(72+24)÷2=48(人)．

?1?3?1??=2×12=24(人)． 4?

11．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：①第一包糖的粒数是第二包糖的

23；

②在第一包糖中，奶糖占25％，在第二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍．当两包糖合在一起时，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百分比等于多少?

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【分析与解】表述1：设第一包有2a粒糖，则第二包有3a粒糖，设第二包有3b粒巧克力糖，则第一包有4b粒巧克力糖．

4b?3b2a?3a?28％，所以

ba?57×28％=20％．

=40％，水果糖占1-40％-25％=35％．

2a?35??于是第一包中，巧克力糖占

4b2a在两包糖总粒数中，水果糖占

?3a?50??2a?3a?44％．

表述2：设第一包糖总数为“2”，那么第二包糖总数为“3”，并设第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c．

那么有2×2c+3×c=28％×(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有如下所示的每种糖所占的百分数．

所以水果糖占总数的(35％×2+50％×3)÷(2+3)=44％．

12．某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等：⑦甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20％；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50％；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．

那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【分析与解】 表述1：不妨设甲校有60人获奖，由①、②，乙校有50人获奖． 由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20％=22人； 由⑤知甲校获二等奖的有22÷(4.5+1)×4.5=18人； 由④知甲校获一等奖的有60-60×50％-18=12人， 从而所求百分数等于12÷50×100％=24％． 表述2：

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(这有一个“5”)

1.2÷5×100％=24％，即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24％．

13．①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?

【分析与解】表述1：由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1． ③知，四至九班的男生总数比七、八、九班总人数少1．

因此，一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数，则女生总数 等于四个班的人数．

所以，男、女生之比是5：4．

表述2： ．

有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数，恰为“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数”，即为五个班总人数，则女生总数等于四个班的人数．

所以，男、女生之比是5：4．

14．某商品按原定价出售，每件利润为成本的25％；后来按原定价的90％出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1．5倍．问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

【分析与解】设这种商品的成本为“1”，共卖出商品“1”，则利润为25％，总利润为0．25，定价为1．25．

那么按原定价的90％出售，即以1.25× 90％=1.125的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1.5倍，利润为0.125×(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为O.25，现在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.0625÷0.25：25％．

所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25％．

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15．赢利百分数=

卖出价?买入价买入价?100??

某电子产品去年按定价的80％出售，能获得20％的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的75％出售，却能获得25％的赢利．那么

【分析与解】 根据题中给出的公式知： 赢利百分数×买入价=卖出价一买入价 则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价，

那么买入价=

卖出价赢利百分数+1今年买入价去年买入价是多少?

今年买入价去年买入价?定价?75???125??＝＝去年卖入价??1+25???定价?80???120????今年卖出价??1+25＝

910

第5讲 比和比例

两个数相除又叫做两个数的比． 一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、比和比例在行程问题中的体现 在行程问题中，因为有速度=

路程时间，所以：

当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比； 当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比； 当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．

1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．

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【分析与解】

方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85． 方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．

2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的

511再向前56千米处

所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?

【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？ (

511x+56)：x=60：120，即(

511x+56)：x=1：2，即x=

1011x+112，解得x=1232．

即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，

3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?

【分析与解】 如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．

4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．

【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的 =15:(3?总数的

31023?5?4?13?4)?45:46:(3?13?5?4?23?4)?46:47.468458?7?5?11?3?110，母鸡占

；

8?3?3公鸭占总数的

8?7?53?4202021332342?（?）??（?）?公鹅占总数的，母鹅占总数的，公鹅、母鹅数量之比3?21020203?2102020Page 25 of 69

，母鸭占总数的

4；

为

2：：3：2． 20203

5．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头)．另外，此时树立l根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度与深度都是50cm，求柱子的高度为多少？

【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm; 所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．

于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．

6．已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和C，重量比为I：2；第三种只含成分A和C，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，这三种成分的重量比为3：5：2 ?

【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到 3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质.

第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．

于是此时含有C为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一种混合物6.25．

即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．

7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?

【分析与解】 直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．

设开始男工为“1”，此时女工为“k”，有1名男工相当k名女工．男工、女工人数对调以后，则

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男工为“k”，相当于女工“k”，女工为“I”．

有k2：1=36：25，所以k= 于是，开始有男工数为

8．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?

【分析与解】 标准的时钟每隔65 假设经历了x分钟． 于是，甲钟每隔65 同理，乙钟重合了

24?60?524?60511?24?6024?60?511?k652

．

×1100=500人，女工600人．

511分钟重合一次．

分钟重合一次，甲钟重合了

24?60?524?60×x次；

24?60?5×x-

24?6024?60?524?60×x次； 于是，需要乙钟比甲钟多重合

1024?60×x=×x=10;

所以，x=24×60；

511所以要经历24×60×65分钟，则为天. ?651124?6011510106于是为65天(?24?)10()小时(?60?)54分钟．

11111111

524?60?655

9．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人

23与二队工人

13组成新一

队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?

【分析与解】 一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16． 一队干前一个工程需9÷

11613=144天．

新一队与新二队的工作效率之比为：

(3?23?5?4?147?4):(3?13?5?4?23?4)?46:47.

新一队干后一个工程需6÷=282天．

一队与新一队的工作效率之比为

15:(3?23?5?4?13?4)?45:46

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所以一队干后一个工程需282×

4645天．

4645前后两次工程的工作量之比是144：(282×)=(144×45)：(282×46)=540：1081.

第6讲 工程问题

多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．

1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2乙一共加工零件多少个?

【分析与解】乙单独加工，每小时加工－

8111212412425小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问

=. )=

845 甲调出后，剩下工作乙需做(8—2个，则2

2525)×(

18÷(小时)，所以乙每小时加工零件420÷

845=25

小时加工2

25×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．

2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20 天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，

即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程． 现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．

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3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为

1411011211514++=，那么它们6天完成的工程量为

×6=

32，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．

32 所以－1=

12是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需

12÷

110=5(天)才能完成

12的工程量，所以

甲队在6天内撤出了5天．

所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．

4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天．

即甲的工作效率是乙的应是： 8÷(1+l+

2323，从而乙单独做12×

23=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间

)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．

5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的

【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量

8115．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

之和，因此甲两天抄写书稿的

18，即甲每天抄写书稿的

116；

18 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的可知乙每天抄写书稿的

18148；于是

－

116－

148124＝

124.

所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成．

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6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

【分析与解】 乙管每小时注满水池的-8112040131163=,

.

丙管每小时注满水池的 因此，单开丙管需要1÷

11120-

40=

120=

12011=10

1011(小时)．

7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是

18、

16、

112.

对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．

即

18+

112－

16=

124，所以甲、丁合作的工作效率为

124．

所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一：对于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即为

211441819118+－=

1372为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率

．

19 而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为 那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷

148－

13144＝

148

=48天．

18 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝÷2＝

21144＋

19＋

118＝

2172，所以(甲，乙，丙)=

2172，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为

2114421144．

那么丙单独工作的工作效率为

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－

18＝

148，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．

又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外

3123的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，

16?92?34③=2?阴影部分面积.于是，整个为4?（1?16）?2?9212?92块地.那么需要

16）?2?92?（1?34群牛吃新长的草，于是

=现在（?1?34.所以需要吃：）（1?）=30天.

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少

时间?

【分析与解】 我们注意到：

牛、马45天吃了 原有+45天新长的草① ?牛、马90天吃了

2原有+90天新长的草⑤ 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草② 牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③ ? ? ?

马 90天吃了 原有+90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l÷(190?160)=36天.

所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是313公顷、10公顷和24

公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．

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所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．

所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．

第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维

导引详解》五年级[第15讲 余数问题]. 解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．

本讲讲解顺序：③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．

复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．

整数分拆问题：11、12、13、14、15．

1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为ab，则数字和为a?b，这个数可以表达为

10a?b，有?10a?b???a?b??4

即10a?b?4a?4b，亦即b?2a．

注意到a和b都是0到9的整数，且a不能为0，因此a只能为1、2、3或4，相应地b的取值为2、4、6、8．

综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．

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2．设A和B都是自然数，并且满足

A11?B3?1733,那么A+B等于多少?

【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支．

有7x+3y=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：

将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：

得x=2(mod 3)，所以x可以取2，此时y取12；x还可以取2+3=5，此时y取5； 即??x?2?y?12、??x?5?y?5,对应x?y为14、10

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，

列方程如下： 由???a?b?c?d?60?1???a?10b?100c?1000d?10000?2?

(2)(1)得9b?99c?999d?9940??③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不

计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．

另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米． 因此剩余部分的管子最少是2厘米．

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6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人(注意，为何设孩子数为y人，而不是设女

职工为y人)， 那么有13x?10?3y?x??6y=216，化简为3x?36y=216，即x?12y=72．

??x?12?x?24?x?36?x?48?x?60 有?. ????y?5y?4y?3y?2y?1?????? 但是，女职工人数为3y?x必须是自然数，所以只有?那么男职工数只能为12名

?x?12?y?5时，3y?x?3满足．

7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y=3.4 3.6，?

即7x+8y=34，36，37，38，39

将系数，常数对7取模，有y≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是y最小分别取6,1, 2，3，4．

但是当y取6时，8×6=48超过34，x无法取值．

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．

所以，2分，10n+2分应该为平信的邮费，n最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．

于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

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9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18 ??4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k克重． 设3克的砝码x个，5克的砝码y个，则3x?5y?4?7k． 当k=0时，有3x?5y?4，无自然数解；

当k=1时，有3x?5y?11，有x=2，y=1，此时7克的砝码取17个，所以共

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

当k>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取

砝码情形．

所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?

【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件，则有

2.9?10?b?c?d?e??4.7b?7.2c?10.6d?14.9e=60． 18b?43c?77d?120e=310，显然e只能取0，1，2． Ⅰ

有18b?43c?77d=310，其中d可取0，1，2，3，4．

(1)当d=0时，有18b?43c=310，将系数，常数对6取模得：

c≡4(mod 6)，于是c最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然 数．所以d=0时。不满足； (2)

有18b?43c=233，将系数，常数对6取模得：

最小

,那么有18b=233-43×5=18,

c≡5(mod 6),于是

；

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