湘教版第四章图形的认识含答案

湘教版第四章图形的认识

一．解答题（共17小题）

1．直线AB上有A、B、C、D四个点，如图，现要在直线AB上找一点M，使得A、B、C、D四点到M点的距离之和最小，试分析M点可能的位置．

2．已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？

3．已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由．

4．已知线段CD，按要求画出图形并计算：延长线段CD到B，使DB=CB，延长DC到点A，使AC=2DB．若AB=8cm，求出CD与AD的长．

5．如图：点A、C、E、B、D在一直线上，AB=CD，点E是CB的中点，若AE=10，CB=4，请求出线段BD的长．

6．已知点C在线段AB上，且AC：CB=7：13，D为CB的中点，DB=9cm，求AB的长．

7．如图，C，D，E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN=21，求线段PQ的长度．

8．如图，直线l上有A，B两点，线段AB=10cm．

（1）若在线段AB上有一点C，且满足AC=4cm，点P为线段BC的中点，求线段BP长． （2）若点C在直线l，且满足AC=5cm，点P为线段BC的中点，求线段BP长．

9．如图，B、C为线段AB上的两点，且AB=BC=CD，AD=18． （1）求线段BC的长？

（2）图中共有多少条线段？求所有这些线段的和．

10．如图，已知线段AB=12，延长AB至点C，使BC=AB，反向延长AB至点D，使AD=AB，点E、F分别是AD和BC的中点，求EF的长．

11．OC把∠AOB分成两部分，且有以下两个等式成立：①∠AOC=×90°+∠BOC；②∠BOC=×180°﹣∠AOC，问：

（1）OA与OB的位置关系怎样？ （2）OC是否为∠AOB的平分线？并写出判断的理由．

12．如图，将长方形纸片的一角斜折过去，使点B落在点D处，EF为折痕，再把FC折过去与FD重合，FH为折痕，问：

（1）EF与FH有什么样的位置关系？ （2）∠CFH与∠BEF有什么样的数量关系？

13．如图，已知

=，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠MON=30°，求∠AOC的度数．

14．如图1，OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线，OE平分∠AOC，沿顺时针方向作∠EOF，使得∠EOF=135°，以点O为端点引射线OD，使得OF是∠BOD的角平分线． （1）判断OC、OD的位置关系并说明理由； （2）若如图2所示，∠EOF=45°，OC、OD的位置关系是否发生变化？并说明理由．

15．计算：82°50′13″÷4+31°21′45″．

16．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．

17．如图，已知OA⊥OD，∠FOD=2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF． （1）若∠COD=30°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOE=85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD=x°）

湘教版第四章图形的认识

参考答案与试题解析

一．解答题（共17小题）

1．直线AB上有A、B、C、D四个点，如图，现要在直线AB上找一点M，使得A、B、C、D四点到M点的距离之和最小，试分析M点可能的位置．

考点： 直线、射线、线段． 分析： 分别讨论M的位置：①A、D之间；②D、C之间；③C、B之间，然后即可确定位置． 解答： 解：①若M在A、B（包含A，不包含B）之间，如图①所示： 则总路程为：AM+DM+CM+BM=AB+CD+2DM； ②若M在B、C（包含B，包含C）之间，如图②所示： 则总路程为：AM+DM+CM+BM=AB+CD； ③若M在C、D（不包含C，包含D）之间，如图③所示： 则总路程为：AM+DM+CM+BM=AB+CD+2CM． 综上可得M在C、D处或C、D之间使得A、B、C、D四点到M点的距离之和最小． 点评： 本题考查的是比较线段的大小，关键是分类讨论，要使总路程和最短，就要保证重复走的路程最小． 2．已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？ 考点： 直线、射线、线段． 分析： 先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，求解即可． 解答： 解：此题相当于一条线段上有4个点， 有多少种不同的票价即有多少条线段：5+4+3+2+1=15； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有15×2=30． 答：要有15种不同车票票价（来回票价一样），需准备30种车票． 点评： 主要考查运用数学知识解决生活中的问题；需要掌握正确数线段的方法． 3．已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由．

考点： 两点间的距离． 分析： 分三种情况当C在线段AB上时，当C在线段AB的延长线上时，当C在线段BA的延长线上时，进行推论说明． 解答： 解：∵M是线段AC的中点，∴CM=AC， ∵N是线段BC的中点，∴CN=BC， 以下分三种情况讨论， 当C在线段AB上时，MN=CM+CN= 当C在线段AB的延长线上时，MN=CM﹣CN= 当C在线段BA的延长线上时，MN=CN﹣CM= 综上：MN=AB． 故答案为：MN=AB． 点评： 考查了两点间的距离．首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算与证明． 4．已知线段CD，按要求画出图形并计算：延长线段CD到B，使DB=CB，延长DC到点A，使AC=2DB．若AB=8cm，求出CD与AD的长． 考点： 两点间的距离． 分析： 根据延长CD到B，使DB=CB，可得D是BC的中点，根据延长DC到A，使CA=2DB，=AB； =AB； ==AB； 可得C是AB的中点，根据线段的和差，可得答案． 解答： 解：如图： ∵DB=CB， ∴CD=CB， ∵AC=2DB， ∴AC=BC=AB， ∵AB=8cm， ∴CD=AB=2cm， AD=AB=6cm． 故CD的长是2cm，AD的长是6cm． 点评： 本题考查了两点间的距离，画图是解题关键，根据线段的和差，可得答案．

5．如图：点A、C、E、B、D在一直线上，AB=CD，点E是CB的中点，若AE=10，CB=4，请求出线段BD的长．

考点： 两点间的距离． 分析： 根据点E是CB的中点和CE的长求CE的长，然后根据AE的长即可求得AC和BD的长． 解答： 解：∵点E是CB的中点，CB=4， ∴CE=EB=2 ∵AB=CD ∴BD=AC=AE﹣CE=10﹣2=8． 点评： 本题考查了两点间的距离，属于基础题，关键是弄清各个线段之间的和、差、倍、分关系． 6．已知点C在线段AB上，且AC：CB=7：13，D为CB的中点，DB=9cm，求AB的长． 考点： 两点间的距离． 专题： 数形结合． 分析： 先由“D为CB的中点，DB=9cm”求得CB=2DB，然后根据“AC：CB=7：13”求得AC的长度；最后计算AB=AC+BC即可． 解答： 解：设AC的长为x． ∵D为CB的中点，DB=9cm， ∴CB=2DB=18cm； ∵AC：CB=7：13， ∴x：18=7：13， 解得，x=（cm）， +18=， ∴AB=AC+BC=即AB=． 点评： 本题考查了两点间的距离．解题时，充分利用了线段间的“和、差、倍”的关系．另外，采取了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化，降低了题的难度、梯度，提高了解题的速度． 7．如图，C，D，E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN=21，求线段PQ的长度．

考点： 两点间的距离． 专题： 方程思想． 分析： 设AC=2x，则CD=3x，DE=4x，EB=5x，由M，N分别是AC，EB的中点可知有MC=x，EN=2.5x，再由MN=21且MN=MC+CD+DE=x+3x+4x+2.5x列出方程，求出x的值，再由PQ=0.5CD+0.5DE=3.5x=7即可得出结论． 解答： 解：设AC=2x，则CD=3x，DE=4x，EB=5x， 于是有MC=x，EN=2.5x， 由题意得，MN=MC+CD+DE+EN=x+3x+4x+2.5x 即10.5x=21， 所以x=2， 线段PQ的长度=0.5CD+0.5DE=3.5x=7． 故答案为：7． 点评： 本题考查的是两点间的距离，解答此题的关键是利用各线段比值及中点关系建立起关于x的方程，求出未知数的值． 8．如图，直线l上有A，B两点，线段AB=10cm．

（1）若在线段AB上有一点C，且满足AC=4cm，点P为线段BC的中点，求线段BP长． （2）若点C在直线l，且满足AC=5cm，点P为线段BC的中点，求线段BP长． 考点： 两点间的距离． 分析： （1）作出图形后首先求得BC的长，然后求其一半的长，最后求线段BP的长即可； （2）分点P在AB的左侧和点P在AB的右侧两种情况讨论即可； 解答： 解：（1）如图， ∵AB=10cm，AC=4cm， ∴BC=6cm， ∵P为线段BC的中点， ∴BC=BP=3cm； （2）如图，当点C位于A点的左侧时， ∵AB=10cm，AC=5cm， ∴BC=AC+AB=10+5=15cm， ∵P为线段BC的中点， ∴BP=CP=BC=7.5cm； 当点C位于点A的右侧时，如图， ∵AB=10cm，AC=5cm， ∴BC=AB﹣AC=10﹣5=5cm， ∵P为线段BC的中点， ∴BP=CP=BC=2.5cm； ∴BP的长为2.5cm或7.5cm 点评： 本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 9．如图，B、C为线段AB上的两点，且AB=BC=CD，AD=18． （1）求线段BC的长？

（2）图中共有多少条线段？求所有这些线段的和．

考点： 两点间的距离． 分析： （1）AB=BC=CD，可得BC=2AB，CD=3AB，求得AB的长，即可得BC的长； （2）按从左到右找出所有的线段，再求和即可． 解答： 解：（1）∵AB=BC=CD， ∴BC=2AB，CD=3AB， ∵AD=18， ∴AB+2AB+3AB=18， AB=3， ∴BC=6，CD=9． 答：线段BC的长为6； （2）图中共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条线段， AB+AC+AD+BC+BD+CD=3+9+18+6+15+9=60． 点评： 本题主要考查了两点间的距离以及对线段的认识，关键是根据AB=BC=CD，可得BC=2AB，CD=3AB，求得AB的长． 10．如图，已知线段AB=12，延长AB至点C，使BC=AB，反向延长AB至点D，使AD=AB，点E、F分别是AD和BC的中点，求EF的长．

考点： 两点间的距离． 分析： 结合图形和题意，利用线段的和差知CD=AD+AB+BC，即可求CD的长度；再利用中点的定义，求得DF和DE的长度，又因为EF=DF﹣DE，即可求得EF的长度． 解答： 解： ∵E、F分别是AD和BC的中点 ∴， ∴EF=AE+AB+BF=2+12+3=17． 点评： 本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想． 11．OC把∠AOB分成两部分，且有以下两个等式成立：①∠AOC=×90°+∠BOC；②∠BOC=×180°﹣∠AOC，问：

（1）OA与OB的位置关系怎样？ （2）OC是否为∠AOB的平分线？并写出判断的理由． 考点： 角的计算；角平分线的定义． 专题： 常规题型． 分析： 将②代入①得：∠AOC=45°，然后将∠AOC=45°代入②得∠BOC=45°，从而得出OA与OB的位置关系为互为垂直，OC为∠AOB的平分线． 解答： 解：（1）OA⊥OB， 将②∠BOC=×180°﹣∠AOC，代入①∠AOC=×90°+∠BOC得： ∠AOC=×90°+（×180°﹣∠AOC）， ∠AOC=×90°+20°﹣∠AOC， ∠AOC=50°， ∴∠AOC=50°÷=45°， 将∠AOC=45°代入②得， ∠BOC=×180°﹣×45° =60°﹣15° =45°． ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=45°+45°=90°， ∴OA⊥OB． （2）OC是∠AOB的平分线， 由（1）知，∠AOC=45°，∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线（角平分线的定义）． 点评： 本题考查了角的计算，解题的关键是：将两式进行等量代换即可． 12．如图，将长方形纸片的一角斜折过去，使点B落在点D处，EF为折痕，再把FC折过去与FD重合，FH为折痕，问：

（1）EF与FH有什么样的位置关系？ （2）∠CFH与∠BEF有什么样的数量关系？

考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）由折叠的性质可得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH，从而可得出∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°，进而可得EF与FH互相垂直； （2）由（1）可知：∠CFH+∠BEF=90°． 解答： 解：（1）∵由折叠的性质可得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH， ∴∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°， ∴EF⊥FH； （2）∵∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°， ∴∠CFH+∠BEF=180°﹣∠EFH=90° 点评： 此题考查了折叠的性质，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH，难度一般，注意仔细观察所给图形． 13．如图，已知

=，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠MON=30°，求∠AOC的度数．

考点： 角的计算；角平分线的定义． 分析： 已知=，可设∠AOB=3x，∠BOC=2x，则∠AOC=5x，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠AOM=∠AOC=2.5x，∠AOM﹣∠CON=1.5x=30°即可求解． ，然后由∠M0N=∠AOC﹣

解答： 解：∵=， ∴可设∠AOB=3x，∠BOC=2x， ∴∠AOC=5x， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠AOM=∠AOC=2.5x，， ∵∠MON=∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON=1.5x=30°， ∴x=20°， ∴∠AOC=5x=100°． 点评： 此题考查了角的计算的问题，解题的关键是：正确理解角平分线的定义． 14．如图1，OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线，OE平分∠AOC，沿顺时针方向作∠EOF，使得∠EOF=135°，以点O为端点引射线OD，使得OF是∠BOD的角平分线． （1）判断OC、OD的位置关系并说明理由； （2）若如图2所示，∠EOF=45°，OC、OD的位置关系是否发生变化？并说明理由．

考点： 角的计算；角平分线的定义． 分析： （1）利用已知结合图形得到∠AOE﹣∠BOF=45°，再根据角平分线的性质得到∠COE﹣∠DOF=45°，即可求得∠COD=90°，OC⊥OD； （2）由已知得用角的加减即可求得． 解答： 解：（1）OC⊥OD． ∵∠BOE+∠AOE=180°，∠BOE+∠BOF=135° ∴∠AOE﹣∠BOF=45° 又∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠COE﹣∠DOF=45°． ∴∠COD=∠EOF﹣∠COE+∠DOF=135°﹣45°=90°． ∴OC⊥OD； ，于是得∠BOD+∠AOC的值，再利（2）OC、OD的位置关系不变． ∵OE平分∠AOC，OF是∠BOD， ∴． ∴∠BOD+∠AOC=270°． ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°， ∠AOD+∠BOC=180°﹣∠BOD+（180°﹣∠AOC）=360°﹣270°=90°， ∴∠COD=90°． ∴OC、OD的位置关系不变． 点评： 本题主要考查了角的有关计算．用到角平分线的性质． 15．计算：82°50′13″÷4+31°21′45″． 考点： 度分秒的换算． 分析： 同有理数的混合运算顺序一样先算除法再算加法． 解答： 解：82°50'12''÷4+31°21'45'' =20°42′33″+31°21′45″ =52°4′18″． 点评： 此类题考查了进行度、分、秒的除法以及加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可． 16．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．

考点： 角的计算；角平分线的定义． 分析： 求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD=∠AOD﹣∠AOC求出即可． 解答： 解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°， ∴∠BOC=2×40°=80°， ∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD=∠AOB=×120°=60°， ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=60°﹣40°=20°． 点评： 本题考查了角的平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOD的度数和得出∠COD=∠AOD﹣∠AOC． 17．如图，已知OA⊥OD，∠FOD=2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF． （1）若∠COD=30°，求∠BOE的度数；

（2）若∠BOE=85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD=x°）

考点： 角的计算． 专题： 计算题． 分析： （1）根据∠COD=30°，OA⊥OD，可求出∠AOC，根据OB平分∠AOC和∠FOD=2∠COD，可求出∠FOD，再根据OE平分∠COF，求出∠COE，即可求出∠BOE； （2）设∠COD=x°，根据已知条件可得∠BOC=解方程即可求出答案． 解答： 解：（1）∵∠COD=30°，OA⊥OD，∴∠AOC=60°， ∵OB平分∠AOC，∴∠BOC=30°， ∵∠FOD=2∠COD，∴∠FOD=60°， ∵OE平分∠COF，∴∠COE=45°， ∴∠BOE=30+45=75°； （2）设∠COD=x°，由已知可得： ∠BOC=∴+，∠COE=， ，∠COE=，然后列方程，=85，解之x=40 答：∠COD=40°． 点评： 此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题涉及到方程思想，有一定拔高难度，属于中档题．

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