画法几何 线面关系

画法几何及土木工程制图

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（第四版）

第四章直线与平面、平面与平面

的相对位置

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目录概述 §4-1 直线与平面、平面与平面平行 §4-2 直线与平面、平面与平面相交 §4-3 直线与平面、平面与平面垂直

第四章 直线与平面

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第四章 直线与平面、平面与平面的相对位置本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。 直线与平面、平面与平面的相对几何关系有： 平行：直线与平面平行 平面与平面平行 相交：直线与平面相交 平面与平面相交 垂直：直线与平面垂直 平面与平面垂直

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§4-1 直线与平面、平面与平面平行一、直线与平面平行如果平面外一直线平行于平面上的任一直线，则该直线 平行于该平面，如下图。

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§4-1 直线与平面、平面与平面平行在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的一个投影 与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面就彼此平行，如图。

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§4-1 直线与平面、平面与平面平行二、平面与平面平行如果某一平面上的相交两直线，分别平行于另一平面上的 相交两直线，则这两个平面互相平行。

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§4-1 直线与平面、平面与平面平行例4-1 试检验图示的平面△ABC 和□DEFG 是否平行。 解：

检查作图结果，符合两面平行的条件点击后自动演播

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§4-1 直线与平面、平面与平面平行如果被检验的两平面，是同一投影面的垂直面，则只需视其 积聚投影是否平行即可。 同面积聚投影平行，两铅垂 面平行 同面积聚投影不平行，两铅 垂面不平行

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§4-1 直线与平面、平面与平面相交直线与平面不平行，则一 定相交于一点。 平面与平面不平行，则一 定交于一直线。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面相交—求交点 平面与平面相交—求交线 交点和交线是相交双方的共有元素，所以相交的问题 首先是求共有元素。 另外，在画法几何中平面图形通常被当作是不透明 的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面与 平面互相遮挡的情况，即判断其投影的可见性。 求共有元素和判断可见性的方法，与相交元素相对于 投影面的倾斜状态有关。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交一、参与相交的元素中有积聚投影的情况直线与平面或平面与平面相交的投影图中有积聚投影 时，交点或交线的一个投影一定包含在该积聚投影中。根据交 点或交线是相交元素所共有这一条件，便能直接从积聚投影中 得出

交点或交线的一个投影，而另一投影则可由此求得。可见 性也可根据积聚投影直接加以判断。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交例4-2 试求直线MN 和△ABC 的交点K ,并判断直线投影的 可见性。 解：△ABC 是铅 垂面，水平投影有积 聚性，…

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交同一投影面的两垂直面相交， 两平面积聚投影的交点，就是它们 的交线的积聚投影。该交线垂直于 两已知平面所垂直的投影面。右图 中交线KL为铅垂线，平面各部分的 可见性可通过观察两平面的积聚投 影的相对位置予以判断 。

动画第四章 直线与平面13

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交任意倾斜平面与投影面 垂直面相交，交线 KL 的水平 投影kl是铅垂面的具有积聚性 的水平投影的一部分。 从水平投影中可以看出： △abc位于交线投影kl右前方 的部分，在正面投影中是可 见的。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交

当铅垂面用迹线PH 表 示时，因迹线平面没有明 确的范围，所以也可模糊 区分可见性。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交二、参与相交的元素中均无积聚投影的情况任意倾斜的直线与平面或平面与平面相交时，因各投影都没 有积聚性，所以它们的共有元素(交点或交线)不能从投影图中直 接确定。此时常用的解决办法，是引入一个能产生积聚投影的辅 助平面(投影面垂直面或投影面平行面)作为媒介，从而作出所

求的共有元素。这种方法可称为辅助平面法。可见性问题，也因原投影图中没有积聚投影可以利用，通常要借助交错直线的重影 点来解决。

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交1.任意倾斜直线与任意倾斜平面相交利用辅助平面求交点的方法：

包含已知直线 MN作辅助铅垂面 P, 则 P 与△ ABC 就构成右图所示的 情况，可直接作出它们的交线 ⅠⅡ ,此交线与同属辅助平面 P 的已知直线 MN 相交于一点 K , 点K就是已知直线与平面的交点。

动画第四章 直线与平面17

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交

求任意倾斜直线 MN与任意倾斜平面△ABC 交点 K的作图三步骤： (3)直线MN与交线DE 的交点 (k,k′)即为所求的交点； (2)求辅助平面P与已知平面K△ABCP的交线DE(de,d'e'); (1)包含已知直线MN 作辅助铅垂面 ；

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交上例，利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:

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§4-2 直线与

平面、平面与平面相交上例，利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:

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§4-2 直线与平面、平面与平面相交2. 两任意倾斜平面相交 在相交两平面都是任意倾斜的情况下，不能直接确定其交 线，也要借助于辅助平面。 两平面的交线是一条直线，只要求得直线上的两点即可确定 该交线，而这些点可以看作是一个平面上的直线与另一平面的交 点。这样便把求平面与平面的交线问题，转化为求直线与平面的 交点问题。

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