《机械工程测试技术基础》第三版熊诗波 黄长艺 课后答案

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机械工程测试技术基础第三版课后题答案

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：???±±±==

∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;)(0n e

C t x n t

jn n

ω

式

中：

所以：

幅值频

谱：

相位频谱：

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ

|x |和均方根值

x rms

解：

[]

()????????±±±=???±±±=-=--=+?+-=??????-+??????--=?

??+???-==

---------???

,6,4,2;

0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12

000

2

00

2002

022

00000

000000n n n A j n n A

j

e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e

t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t

jn T T t

jn n πππ

ππωωππωωωωω???±±±±=??? ?

?

-=∑+∞

-∞=,7,5,3,1;2)(0n e

n A j t x t jn n ωπ?

??±±±==+=,5,3,1;222n n A

C C C nI

nR

n π

????????---=???=-=?????? ??-==,5,3,1;2

,5,3,1;2

02n n n A arctg C C arctg

nR

nI n πππ?ω

π

π

ωμ2;2sin 1

)(lim 00

00

=

=

=

=?

?

∞→T x tdt x T dt t x T

T T x 式中：()2

sin 1)(1002

00

20

x dt dt x T dt t x T x T T rms =

=

=

??

ω

12

1.3求指数函数 的频谱。

解：

1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t

ααf

j A

dt e

Ae

dt e

t x f X ft

j t

ft

j παπαπ2)()(0

22+=

?==?

?∞

+--∞

+∞

--f

j dt e e dt e e dt

e t x

f X t x e

t x ft j t

ft j t ft j t

ππαπααπαα1)1(lim )()(;

)(lim )(022002110

1=??

? ??+-===???∞+---∞--→--→f

j dt e e dt e

t x f X t x e

t x ft j t ft

j t

ππααπαα21lim )()(;

)

(lim )(0202220

2=??? ??===??∞+--→--→??

?≥<=T

t T

t t t x ;

0;cos )(0ω

12

解：

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱

解：

1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？

解：

()[]

210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ?+?=??????--+++=+===--+-+--+∞∞--???c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft j t f j t f j T T T T ft j ft j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t αωα()()

???? ??-+-++=-?===-∞+---+∞-+∞∞--???)(21)(21222sin )()(002022200200f f j f f j j dt e e e j e dt e t f e dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t ft j παπαππππαπαπ[]())22(21)22(2121)(2cos )()()(0022220200f f F f f F dt e e e t f dt e t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft j ft j ππππππππππ-++=???????+=?==-∞+∞---+∞∞-+∞∞

--???

12

当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μ

x 和均方值φx 2和概率密度函数p (x ) 解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）

=arcsin(x (t )/ x 0) 等式两边对x 求导数：

2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？

解：()()()

ωωωτωωX Y j j H =+=+=135.01

11

()()2277.01135.011

??? ??+=+=πωωA

当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59%

当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33%

当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%

2.3求周期信号()() 45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为

)(1)(1112200200

0t x x x t x x dx dt -=???

? ??-=ωω)(1221lim lim 1lim )(22000t x x dx dt T T t x T T x x p x x T x -=?=???=??

?????=→?∞→→?π

12 ()1

05.01+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。 解： 利用叠加原理及频率保持性解题

()()() 45100sin 2.090

10sin 5.0+++=t t t x ()()()22005.01111

ωτωω+=+=A ，()()ωωφ005.0arctg -=

101=ω，()11=ωA ，()

86.21-ωφ ()() 86.29010sin 15.01-+??=t t x ，

1002=ω ，()89.02=ωA ，()

57.262-=ωφ ()() 4557.26100sin 89.02.02+-??=t t y

()()() 43.18100sin )178.0(14

.8710sin 5.0+-++=∴t t t y

2.7将信号t ωcos 输入一个传递函数为()121+=

s s H 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出()t y 的表达式。

解： ()()() 90

sin cos +==t t t x ωω ()11+=s s H τ，()()

211τωω+=A ，()τωφarctg -= ()()()()τωωτωarctg t t y -++= 90sin 112

=

()()τωωτωarctg t -+cos 112

2.8求频率响应函数()()

2176157753601.013155072ωωω-++j j 的系统对正弦输入()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式

()()()()[]22221n n n

j j j a H ω

ωξωωτωωω+++?=

12 ()()()()()21256125621256101.01222

?+?+-?+=ωξωωj j ∴ ()()2157753617612568.621101.08.6211

222?+??????????? ??-??+=ωA

7.199.069.1=?=

对正弦波，12210

7.12=?==A

u x

2.9试求传递函数分别为2224.15.1n n S S ωω++和22224.141n

n n S S ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： ()()()ωωω21H H H ?=

()1

735.05.35.11+=+=S S H ω，31=S ()22224.141n

n n S S H ωωωω++=，412=S 12341321=?=?=S S S

2.10想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解： 由振幅误差

()%511||00≤-=-=-=ωA A A A A A E I

I I ∴ ()%95≥ωA

即 ()()%9511

2=+=τωωA ， ()95.0100211

2=?+t π，s 41023.5-?=τ

当πππω1005022=?==f ，且s 41023.5-?=τ时

12 ()()%7.981001023.511

24≈??+=-πωA

∴ 此时振幅误差%3.1%7.9811=-=E

()()

3.91001023.54-≈??-=-πωφarctg 2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比

14.0=ξ，

问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其振幅比()ωA 和相角差()ω?各为多少？若该装置的阻尼比可改为7.0=ξ，问()ωA 和()ω?又将作何种变化？

解： 作频率为400Hz 的正弦力测试时

()2

222411

???? ??+???????????? ??-=n n A ωωξωωω ()222280040014.0480040011??? ???+??????????? ??-=

31.1≈

()212???

? ??-???? ??-=n n arctg ωωωωξω? 2800400180040014.02??

? ??-??? ????-=arctg 6.10-≈

当阻尼比改为7.0=ξ时

()()97.08004007.04800400112222≈??? ???+???

???????? ??-=

ωA

12 () 4380040018004007.022-≈??

? ??-??? ????-=arctg ω? 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，

相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为

1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s 。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量 5.1211==???? ??--ξπξe

M 即 13.015.1ln 1

2≈+??

? ??=πξ 且 28.62==d d T ωπ

∴ 128.6212≈=-=πξ

ωωn d ()01.113.01111

22≈-=-=ξωn

系统的传递函数

()()()1

222++==n n S S

k s X s Y s H ωξω ()101

.113.0201.1322+??+=S S

该装置在无阻尼固有频率处的频率响应

12 由()()()()122++???

? ??==n n j j K X Y j H ωωξωωωωω n n j K ωωξωω212+???? ?

?-= ∴ ()j j K j H n n n 26.03212=+???

????????? ??-=ωωξωωω d ω为有阻尼固有频率

M=0.5，12==

T d πω 215.01ln 1

212=+??? ??=?=???? ??--M e M πξξξπ

21ξωω-=n d ，∴ 02.112=-=

ξωωd n

S=3 ∴()S S S s H n

n n ?++=2222ωξωω 304

.144.004.12?+?+=S S ()98.6341

2=?=ξωn A （n ωω=时代入得）

()() 90,21-==ω?ξ

ωA ()2πω?-

=∞-=arctg n ()??? ??-

=202.1sin 98.6πt t y 4.1解 ：=2m 时，

12 单臂，00

4U R R U y ?= 04U R R S U g y ε

??=

)(1033*120

4102120266V U y --?=????= 双臂，00

2U R R U y ?= 02U R R S U g y ε

??=

)(1063*120

2102120266

V U y --?=????= ：=2000m 时，

单臂，00

4U R R U y ?= 04U R R S U g y ε

??=

)(1033*120

4102000120236V U y --?=????= 双臂，00

2U R R U y ?= 02U R R S U g y ε

??=

)(1063*120

2102000120236

V U y --?=????= 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

12 4.4解：00

U R R U y ?= 0U R R S U g y ε??=

t E t B t A S U g y 10000sin )100cos 10cos (?+?=

)]29900()29900()210100()210100([41)]29990()29990()210010()210010([41)()9900sin 10100(sin 2

1)9990sin 10010(sin 2110000sin 100cos 10000sin 10cos πδπδπδπδπ

δπδπδπδ-+++--++-+++--+=+++=

?+?=f f f f BE jS f f f f AE jS f U t t BE S t t AE S t

t BE S t t AE S g g y g g g g 4.5解：))(cos 3cos 20cos 30100(t t t x c a ωΩ+Ω+=

)

1000cos 5000(cos 10)1000cos 3000(cos 152000cos 1002000cos 3000cos 202000cos 1000cos 302000cos 100t t t t t t t t t t ππππππππππ++++=++= )]

8500()8500([5)]11500()11500([5)]9500()9500([5.7)]

10500()10500([5.7)]10000()10000([50)(-+++-+++-+++-+++-++=f f f f f f f f f f f X a δδδδδδδδδδ4.10 解：11011111)(3+=+=+=

-s RCs s s H τ 1

101)(3+=-ωωj H )10(11)(11

)(32ωτωω-+=+=A

)10arctan()arctan()(3ωτωω?--=-=

)451000sin(07.7)

451000sin(707.010))1000(1000sin()1000(1000+=+?=+=t t t A U y ?

4.11 解：2)(11

)(τωω+=A )arctan()(τωω?-=

12 ?=?-==?+==56.26)1005.0arctan()10(816.0)1005.0(11)10(10?ωA 时，

?

=?-==?+==69.78)10005.0arctan()100(408.0)10005.0(11

)100(100?ωA 时，

)

69.33100cos(0816.0)56.2610cos(408.0)

69.7845100cos(408.02.0)56.2610cos(816.05.0)(?????+++=+-?++?=t t t t t y

5.1

5.2 )2sin()2sin()(222111π

?ωπ

?ω-++-+=t A t A t x

由同频相关，不同频不相关得：

τωτωτ22212

cos 2cos 2)(1A A R x += 5.3：由图可写出方波的基波为)2sin(4

)(1π

ωπ-=t t x

)2cos(2

)(π

ωτπτ-=xy R

5.4: )()()(f S f H f S x xy =

)(/)()(f S f S f H x xy =

)]([)(τxy xy R F f S =

T j xy xy x x e R F T R F R F f S ωτττ)]([)]([)]([)(=+==

ατττ

ααταταα2)()()(020)(-∞+--+∞∞-+∞+--===+?=???e dt e e dt e e dt t h t h R t t t x ???<>≥=-)0(;0)0,0(;)(t t e t h t αα

12 T j e f H ω

-=)(

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知: A A R x x ===0cos )0(2

? A x x rms ==2

?

5.7:由对称性性质:

1)}({sin 2=t c F f 22π

π

<<-f

ππ

π

==??-∞

∞-2

2

2)(sin df dt t c

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/94dl.html