8-5隐函数的求导公式

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dxFx dy dx Fy

例1 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x ),并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.

解

令 F ( x, y) x 2 y 2 1则 Fx 2 x , F y 2 y ,F (0,1) 0,Fy (0,1) 2 0,

2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的 函数 y f ( x ) .

函数的一阶和二阶导数为x dy Fx , y dx Fydy 0, dx x 0

y x 2 d y y xy 2 2 2 y dx yd2y 1. 2 dx x 0

x y

1 3, y

练习

dy y 已知 ln x y arctan ,求 . x dx2 2

y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x2 2

x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy

2. F ( x , y , z ) 0隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 , z0 ) 0, Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,则方程 F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内能唯一确定 一个具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ,它满足 条件 z0 f ( x0 , y0 ), 并有

z Fx , x Fz

Fy z . y Fz

隐函数求导公式的推导 对复合函数

F ( x, y, z ) F ( x, y, f ( x, y)) 0的两端关于x和y求偏导数,得

z z Fx Fz 0, Fy Fz 0. x y故存在点 ( x0 , y0 , z0 )

由 Fz 连续,且

的一邻域,使得在其上 Fz 0 从而

Fy Fx z z , . x Fz y F(zx , y , z ) 0 F z 0 0 0

z 例 2 设 x y z 4 z 0,求 2 . x2

2

2

2

解 令

F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z,

则 Fx 2 x , Fz 2 z 4,

z Fx x , x Fz 2

z

x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )

z x y 例 3 设 z f ( x y z , xyz ),求 ， , . x y z z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， x

x 把 x 看成 z , y 的函数对 y 求偏导数 ， y

解

y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . z 令 u x y z , v xyz ,则 z f ( u, v ),

把 z 看成 x , y 的函数对x 求偏导数得

z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x z f u yzf v , 整理得 x 1 f u xyf v把 x 看成 z , y 的函数对 y 求偏导数得

x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y

整理得

x f u xzf v , f u yzf v y

把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得

y y 1 f u ( 1) f v ( xy xz ), z z整理得

y 1 f u xyf v . f u xzf v z

三、小结隐函数的求导法则 (分以下几种情况)(1) F ( x , y ) 0( 2) F ( x , y , z ) 0

思考题x y 已知 ( ),其中 为可微函数， z z z z 求x y ? x y

思考题解答1 则 Fx , z x y ( y ) y 1 Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y z ( ) F z z Fx z y z , , Fz x y ( y ) x Fz x y ( y ) y z z

x y 记 F ( x, y, z ) ( ) , z z

z z 于是 x y z. x y

练习题一、 填空题:

y 1、 设 ln x y arctan ,则 x dy ___________________________. dx 2、设 z x y z ,则 z ___________________________, x z ___________________________. y 二、 设 2 sin( x 2 y 3z ) x 2 y 3z , z z 1. 证明： x y2 2

三、 如 果 函 数 f ( x, y, z ) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x, y, z ) 为 k 次齐次函数,试证: k 次齐次函数满足方程 f f f x y z kf ( x , y , z ) . x y z 2z . 四、设 z 3 xyz a , 求 x y3 3

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