2016教师资格证数学学科知识与教学能力（高中数学）

第一章 课程知识

1. 高中数学课程的地位和作用：

⑴ 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内

容，是培养公民素质的基础课程。

⑵ 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决

问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 ⑶ 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 ⑷ 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2. 高中数学课程的基本理念：

⑴ 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 ⑵ 高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、

特长提供空间。

⑶ 让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 ⑷ 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习

兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 ⑸ 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、

数学建模。

⑹ 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；

强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 ⑺ 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的

重要作用。

⑻ 全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和

过程性评价。

3. 高中数学课程的目标：

⑴ 总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的

数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

⑵ 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观

⑶ 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。

⑷ 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能

力

4. 高中数学课程的内容结构：

⑴ 必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算

法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） ⑵ 选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：

① 选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、

推理与证明、复数、框图） ② 选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、

2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） ③ 选修系列3（6个专题） ④ 选修系列4（10个专题） 5. 高中数学课程的主线：

函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6. 教学建议：

⑴ 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

⑵ 帮助学生打好基础，发展能力：

① 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 ② 重视基本技能的训练

③ 与时俱进地审视基础知识与基本能力 ⑶ 注重联系，提高对数学整体的认知

⑷ 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 ⑸ 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 ⑹ 改善教与学的方式，使学生主动地学习 ⑺ 恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7. 评价建议：

⑴ 重视对学生数学学习过程的评价

⑵ 正确评价学生的数学基础知识和基本能力

⑶ 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评） ⑷ 实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） ⑸ 根据学生的不同选择进行评价

第二章 教学知识

8. 教学原则

抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”） 9. 教学过程

备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用） 10. 教学方法

⑴ 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教

学语言）

⑵ 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。

⑶ 自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学 ⑷ 发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问

题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。

11. 概念教学

⑴ 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩

小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。

⑵ 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉

关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”） ⑶ 概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，

如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“ ”）

⑷ 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义） 12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施

之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命

题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习） 13. 推理教学

⑴ 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的

⑵ 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前

提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）

14. 问题解决教学

⑴ 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则

⑵ 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所

得到的解）

⑶ 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解

数学模型；检验；交流和评价；推广）

15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习

第三章 教学技能

16. 教学设计

⑴ 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科

学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。 ⑵ 教学设计与教案的关系：

① 内容不同：

教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。 ② 核心目的不同：

教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。 ③ 范围不同：

从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。

⑶ 数学课堂教学设计的意义：

① 使课堂教学更规范、操作性更强 ② 使课堂教学更科学 ③ 使课堂教学过程更优化

⑷ 数学课堂教学设计的基本要求：

① 充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 ② 适应学生的学习心理和年龄特征 ③ 重视课程资源的开发和利用 ④ 注重预设与生成的辩证统一

⑤ 辩证认识和处理教学中的多种关系 ⑥ 整体把握教学活动的结构 ⑸ 数学教学设计的准备：

① 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求 ② 全面关注学生需求

③ 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图

④ 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计 ⑤ 制定学期教学计划、单元教学计划 ⑹ 教材分析

① 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 ② 整体系统的观念用教材 ③ 理解教材的编排意图 ④ 突出教材的重点和难点 ⑺ 学情分析

① 分析学生原有的认知基础 ② 分析学生的个体差异 ③ 了解学生的生理、心理

④ 了解学生对本学科学习方法的掌握情况 ⑤ 分析学习知识时可能要遇到的困难 ⑻ 制定合理教学目标的要求

① 反映学科特点，体现内容本质 ② 要有计划性，可评价性 ③ 格式要规范，用词要考究

④ 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 ⑤ 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究） ⑥ 要实在具体，不浮华 ⑼ 教学反思

① 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思

② 教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；

个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文

⑽ 教学设计的撰写：

① 教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感

态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） ② 学情分析

③ 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 ④ 教学理念 ⑤ 教学策略 ⑥ 教学环境 ⑦ 教学过程 ⑧ 教学反思

17. 教学实施

⑴ 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬

念导入法

⑵ 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进

性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则

⑶ 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分

析综合提问、评价提问 ⑷ 学生活动：

① 学生活动体现了学生在学习中的主体地位

② 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 ③ 学生活动的目的是促进学生的理解 ④ 从总体上说，学生活动必须是思维活动

⑸ 课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和

启下法、发散法和拓展法

⑹ 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外

沟通，立疑开拓

18. 教学评价

⑴ 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、

学生行为、教学效果

⑵ 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能

第四章 常用数学公式

一、 函数、导数 1. 函数的单调性

⑴ 设 、 且 。那么

? 在 上是增函数； ? 在 上是减函数。

⑵ 设函数 在某个区间内可导，若 ，则在该区间内 为增函数；若

，则在该区间内 为减函数

2. 函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）

对于定义域内任意的 ，都有 ，则 是偶函数； 对于定义域内任意的 ，都有 ，则 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。 3. 函数在点 处的导数的几何意义

函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是 。 4. 几种常见函数的导数

（C为常数）； ； （ ）； ； ； ；

；

；

；

；

5. 导数的运算法则

； ； ， ， 6. 幂函数 （ ， ） 性质

为奇数， 为奇数 奇函数 为奇数， 为偶数 为偶数， 为奇数 偶函数 第一象限图像 减函数 增函数 增函数 过定点 7. 求函数 的极值的方法:解方程 。当 时： ⑴ 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值； ⑵ 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值； 8. 凹凸函数：设 在开区间 上存在二阶导数：

⑴ 若对任意 ，有 ，则 在 上为下凸函数； ⑵ 若对任意 ，有 ，则 在 上为上凸函数； 二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量 9. 同角三角函数的基本关系式

，

10. 正弦、余弦的诱导公式

， 为偶数 为奇数 为偶数 为奇数 11. 和角与差角公式

； ；

（辅助角 所在象限由点 的象限决

定, ） 12. 二倍角公式

；

；

13. 三角函数的周期

函数 ， 及函数 ， （ ， ， 为常数，且

， ）的周期

；函数 ， ， （ ， ， 为

常数，且 ， ）的周期 。

14. 三角函数的图像变换：

⑴ 函数 ， 即 横坐标伸长（ ）或缩短（ ）到

原来的 倍，再向左（ ）或向右（ ）平移 个单位，最后纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍。

⑵ 函数 ， 即 向左（ ）或向右（ ）平移 个

单位，再横坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的倍，再，最后纵坐

标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍。

15. 正弦定理

（ 是 外接圆的半径）

16. 余弦定理

; ; 17. 三角形面积公式

18. a与b的数量积（或内积）

（ 是向量a，b的夹角） 19. 向量的坐标运算

⑴ 设 ， ,则 ， ， ；

⑵ 设 ， ,则 ；

⑶ 设 ，则 。 20. 两向量的夹角公式

设 ， ,且 ，则 21. 向量的平行与垂直

。

；

三、 数列、集合与命题

22. 数列的通项公式与前 项的和的关系

（数列 的前 项的和为 ）

23. 等差数列的通项公式和前 项和公式

；

24. 等比数列的通项公式和前 项和公式

；

，

，

25. 数列求和常见结论：

； （ ）

；

；

。

26. 有 个元素的集合，含有 个子集， 个真子集。

27. 原命题：若 则 ；否命题：若 则 ；命题的否定：若 则 。

28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“ ”；存在量词又称特称量词，写作“ ”。 四、 不等式 29. 均值不等式

设 ， ，

(当且仅当 ＝b时取“=”号)

，

其

中

30. 柯西不等式

， ， ， ， ， ，当且仅当31. Jensen不等式

32. 三角不等式：

33. 指数不等式： 五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程

⑴ 点斜式： （直线l过点 ，且斜率为k） ⑵ 斜截式： （b为直线l在y轴上的截距）

⑶ 两点式：

时不等式取等号。

（直线l过点 ，且 ， ）

⑷ 截距式： （ 、b分别为直线的横、纵截距， ）

⑸ 一般式： （其中A、B不同时为0） 35. 两条直线的平行和垂直

若 ： ， ：

⑴ ， ； ⑵

36. 点 到直线 ： （的距离

37. 角平分线所在直线的方程

，其中 、 分别为角的边所在直线的斜率， 为原角的大小

38. 圆的三种方程

⑴ 圆的一般方程： ⑵ 圆的标准方程：

⑶ 圆的参数方程：

39. 两个圆的公共弦所在方程

40. 直线与圆的位置关系

直线 ： 与圆 的位置关系有三种： 相离 ； 相切 ； 相交 ，弦长= ; 其中

41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：

， ，离心率 ，准线 ，参数方

程是 ，椭圆上的点与两个定点 、 的距离之和等于常数

（ ）。

双曲线： ， ，离心率 ，准线 ，渐近线方程是 ，椭圆上的点与两个定点 、 的距离之差等于常数（ ）。

抛物线： ，焦点 ，准线 ，焦半径 ，过抛物线焦点的弦

长 ，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

⑴ 若双曲线方程为 。

⑵ 若渐近线方程为 双曲线可设为 。

⑶ 若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点 在轴上； ，

焦点 在轴上）

43. 若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于 、 两点，则弦长公式为

（ ） 44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积= ，表面积= ，体积= （ 是柱体的底面积， 是柱体的高）；

圆锥侧面积= ，表面积= ，体积= （ 是锥体的底面积， 是锥体的高）； 球的半径是 ，则其体积 ，其表面积

六、 空间几何 45. 平面方程：

⑴ 点法式： ， 是平面的法向量 ⑵ 一般式： （ 不全为0）

⑶ 参数式：已知平面 上一点 以及平行于平面的两不共线向量

和 ，则有

46. 两平面间的关系:

⑴

；（法向量共线但两平面不重合）

⑵ ⑶ 与 的夹角（ ）： 47. 直线方程：

⑴ 一般式（交面式）：

⑵ 参数式：

⑶ 对称式（标准式）：48. 直线与平面的关系：

⑴ 且 ； ⑵

⑶ 与 的夹角（ ）： 49. 曲面方程：

⑴ 单叶双曲面： （ ） ⑵ 双叶双曲面： （ ） ⑶ 椭圆抛物面：

（ ），当 时，曲面为旋转抛物面

⑷ 双曲抛物面：

（ ）

七、 概率统计

50. 平均数、方差、标准差、期望的计算

平均数：

方差：

标准差： 期望

51. 回归线方程

，其中 52. 独立性检验： 53. 排列数、组合数

排列数公式：

组合数公式：

，其中 ， ；

，

，其中

54. 二项式定理：

⑴

⑵ 第 项： （ ， ）

⑶ 系数和： ， ⑷ 当 的绝对值与1相比很小且 不大时，有 ， 55. 相对独立事件同时发生的概率

56. 正态分布记为 ，其中期望 ，方差 ，曲线关于直线 对称并在 时取最大值。

57. 离散型随机变量的期望与方差的性质：

⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量

取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

⑵ ； （ 为常数）

⑶ ； （ 为常数） ⑷ 设 ，则 ， ， ⑸ 若 ，则 ， ；若 服从几何分布，且 ，则

，

。

八、 复数

58. 复数的除法运算：

59. 复数 的模： 60. 复数之间不能进行大小比较

61. 设一元三次方程 （ ）的三个根分别是 ，则有：

⑴ ， ，

⑵ 令 ，其中

，

当 时，方程有一个实根，一对共轭复根； 当 时，方程有三个实根，其中有一个二重根； 当 时，方程有三个不等实根。

九、 极限与级数

62. 柯西收敛准则：数列 收敛的充分必要条件是：对于任意 ，存在整数 ，使

得当 ， 时，有 。

63. 极限的定义： ：对于任意 ，存在正数 ，当 时，有

。 64. 当 时，有 ，

，则有

，

65. 函数极限的计算：

⑴ （ ）其中各函数极限均存在 ⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件：

① ，其中 或 ； ② 在点 的某去心邻域内两者均可导，且 ；

则有

66. 拉格朗日中值定理：如果函数 满足在闭区间 上连续；在开区间 内可导；

那 么在开区间 内至少有一点 （ ）使等式 成立。

67. 正项级数敛散性判断：

⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 ⑵ 比值与根值判别法：

若

，级数 发散，且 ；

，此判别法失效 ，级数 收敛 ，此判别法失效

，级数 收敛

若 ，级数 发散，且 ；

⑶ 与 级数比较：设 ，当 时收敛，当 时发散。 68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数 满足 ，

； ，则 收敛，且其和

，余项 。

69. 幂级数收敛半径及收敛域：

设幂级数 ，则有

，

⑴ 若 ，则其收敛半径为 ， ；

，

⑵ 判断 在 处的敛散性；

⑶ 若该级数在 处收敛，则其收敛域为 ；若该级数在

处收敛，则其收敛域为 ；若该级数在 处都

收敛，则其收敛域为 。

十、 矩阵、线性空间与线性变换 70. 矩阵的转置：

⑴ 对于 阶实矩阵 ，若满足 或 （为单位矩阵），则矩阵 称为正交矩

阵，其中 为 的转置；

⑵ 若 阶方阵 满足 ，则称 为对称矩阵；若 阶方阵 满足 ，则称 为

反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0； ⑶ 转置的运算规律：

71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩 72. 特征值和特征向量：

⑴ 给定矩阵 ，若存在一个非零向量 和实数 ，满足 ，则称 为矩阵 的特征

值， 为矩阵 的属于特征值 的特征向量。

⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩

阵的行列式的值。

⑶ 若同阶矩阵 和 的特征值相同，则有 等价于 。

73. 非异矩阵：若 阶矩阵 的行列式不为零，即 ，则称 为非奇异矩阵或满秩矩阵，

否则称 为奇异矩阵或降秩矩阵。 74. 相似、合同：

⑴ 相似： 非异矩阵 ，使得 ，则有 相似于 。

⑵ 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 ⑶ 合同： 非异矩阵 ，使得 ，则有 与 合同。 ⑷ 合同的判断：正、负特征值的个数相等 75. 线性空间：

⑴ 柯西 布涅科夫斯基不等式：设 是欧式空间， 、 ，则 ，

当且仅当 、 线性相关时，等号才成立

⑵ 本身与 都是 的子空间，称之为 的平凡子空间，而 的其他子空间称为非平凡

子空间。

⑶ 设 与 是线性空间 的两个子空间，则

76. 施密特正交化法：

对 维欧式空间 的任一组基 ， ， ， ， ， 令 ， ，

，

，

，

， ， ， ，

即为 的一组标准正交基。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/94b6.html