饮料安排生产计划问题

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数学建模论文

论文题目：饮料安排生产计划问题

胡益共 学号： 08053328 专业： 化工 张莹娇 学号： 08053214 专业： 化工 林霞 学号： 08053315 专业： 化工

2010 年 6 月 22 日

摘要

本文根据生产过程中原料、产品用量、产量的限制 产品的利润，使用线性规划中的单纯形法建立模型、用matlab和lingo求解模型、分析结果，得出最优生产计划；

针对问题一：我们根据生产原料，工人总数等约束条件，建立线性规划模型，用MATLAB编程求出甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时，可使利润最大，利润为102.85万元；

针对问题二：这是在最优解下“资源”增加1个单位时“利润”的增量的问题，我们用lingo中的直接求出影子价格为1.57万元，因此投资0.8万元可增加原料1千克时应作这项投资；

针对问题三：这是一个最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围问题，我们用lingo软件进行灵敏度分析，求出11不在甲饮料系数的变化范围之内，所以应该改变生产计划，求得生产计划为甲饮料生产800箱，乙饮料生产240箱时，可使利润最大，利润为109.6万元。

关键词：饮料生产优化 线性规划 影子价格 MATLAB lingo

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一、问题重述

某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问题一：安排两种饮料的生产计划，使获利最大；

问题二：若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资； 问题三：若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。

二、模型的合理假设

1、生产过程中的饮料全部合格，无返工情况；

三、符号说明

x1：甲饮料生产的百箱数；

x2：乙饮料生产的百箱数；

Z：利润；

三、问题分析

问题一）由题意可知，这是一个生产过程中，原料有限，合理安排生产计划使得利润最大的问题，需要用线性规划的单纯形法来解决，用matlab软件求得最优解，即为使得利润最大的生产计划；

问题二）若投资0.8万元可增加原料1千克, 问是否可以作这项投资，这是在最优解下“资源”增加1个单位时“利润”的增量，“利润”的增量可以看作“资源”的潜在价值，被经济学上称为影子价格，可以用lingo中的直接求解；

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问题三）问若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划 ，这是个最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围，可以用lingo进行灵敏度分析，求出甲饮料系数的变化范围，若11在变化范围之内，则不改变生产计划，反正，改变生产计划，并用matlab软件求得最优解。

四、模型的建立与求解分析

问题一： 1、模型Ⅰ （1）模型的建立

线性规划的基本算法——单纯形法

minz=f(x)

xs.t. gi(x)?0 （i?1,2,?,m)

其中目标函数f(x)和约束条件中gi(x)都是线性函数

目标函数 maxZ?10x1?9x2 s.t.6x1?5x2?60

10x1?20x2?150 x1?8 x1,x2?0 （2）模型的求解

使用matlab编程求解(程序见附录) 运行结果：

x = fval = 6.4286 -102.8571 4.2857

（3）模型的结果

由运行结果可得甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时，可使利润最大，利润为102.85万元

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问题二：

使用lingo求影子价格（程序见附录），运行结果如下：

Row Slack or Surplus Dual Price 1 102.8571 1.000000 2 0.000000 1.571429 3 0.000000 0.5714286E-01 4 1.571429 0.000000 由运行结果可知，使用LINGO求的生产计划的最优解和MATLAB的的结果一致，并且可以看出增加原料1千克时可增加利润1.57万元，因此投资0.8万元可增加原料1千克时应作这项投资。

问题三

1、求出最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围 使用lingo作灵敏度分析（程序见附录） 运行结果如下

Variable Coefficient Increase Decrease X1 10.00000 0.8000000 5.500000

X2 9.000000 11.00000 0.6666667 上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（10-5.5,10+0.8）=（4.5,10.8），则x1的系数变为11，不在x1的允许范围（4.5～10.8）内，因此应改变生产计划。

2.、改变生产计划的情况下，生产计划如下 使用matlab编程（程序见附录） 运行结果：

x = fval = 8.0000 -109.6000 2.4000

由运行结果可知，在每100箱甲饮料获利可增加1万元条件下，甲饮料生产800箱，乙饮料生产240箱时，可使利润最大，利润为109.6万元

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六、模型的评价与推广

一、模型的优缺点

1、优点：

⑴本模型优点使用单纯形法解决生产过程中最优的生产计划问题，能够求出相应最优的生产计划，

2、缺点：

本模型缺点在于没有考虑在生产过程中还有许多因素，如产品不合格需要返工，牛奶进价的波动等。 二、模型的推广：

在实际生产中，可以根据原料、产品生产量、单位产品利润，使适当增加最可能影响生产的因素，合理安排生产计划，考虑建立整数规划，多目标规划模型。

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参考文献

[1]赵静 但琦等编著.数学建模与数学实验.:高等教育出版社,2000. 1~17； [2]赫孝良，戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002.6。

附录A 问题一：

c=[-10 -9]; A=[6 5;10 20;1 0]; b=[60;150;8]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 问题二： model:

title：生产计划; max=10*X1+9*X2; 6*X1+5*X2<60; 10*X1+20*X2<150; X1<8; end 问题三： model:

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程序代码

title：生产计划; max=10*X1+9*X2; 6*X1+5*X2<60; 10*X1+20*X2<150; X1<8; end

c=[-11 -9]; A=[6 5;10 20;1 0]; b=[60;150;8]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/945f.html