2011中考模拟分类汇编矩形菱形正方形

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矩形、菱形、正方形

一选择题 A组

1、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ).

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形答案：C

2、(2011浙江杭州模拟16)下列图形中，周长不是32的图形是（）

答案：B

3.(2011浙江省杭州市8模)如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝4?22，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=2AM；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（）

AD M

F E

BGC

第3题图

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案:D 4、（2011年黄冈中考调研六）矩形ABCD中，AB?1，AD?2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A?B?C?M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）

P B y y A y y 1 1 1 1 x x x x O O 1 2 3 3.5 1 2 3 3.5 O 1 2 3 3.5 O 1 2 3 3.5 D A． B． C 答案A C D M 5、（2011年浙江杭州三模）如图，在菱形ABCD

第4题图

和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是

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第5题图

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线段DF的中点，连结PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则 A.2 B. 3 C.

PG?（） PC23 D. 23答案：B

6、（2011年浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝4?22，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=2AM；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：D B组

1. （2011浙江慈吉模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为2∶3∶4, 则它们的体积之比等于（）

A. 2∶3∶4 B. 2∶5∶7 C. 1∶10∶23 D. 1∶6∶11 甲乙

丙丙

乙甲第1题图答案：D

2、（2011北京四中一模）下列命题中，真命题是( )

(A)有两边相等的平行四边形是菱形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形

(C)四个角相等的菱形是正方形 (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3（2011深圳市中考模拟五）下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形答案：D

4. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为 (A)42．

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AMDHEFGB（第6题）C AEBODFC京翰教育初中数学辅导网www.jhshuxuefudao.cn

(B)52 (C)6．

(D)9．

（第4题）答案：D

5.（安徽芜湖2011模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB'C'D'，边B'C'与DC交于点O，则四边形AB'OD的周长是（）．．A．22 B．3 C．2 D．1?2 答案: A

6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60? 的菱形，剪口与折痕所成的角? 的度数应为（ ▲ ）

A．15?或30? B．30?或45? C．45?或60? D．30?或60? 答案：D

7.（浙江杭州金山学校2011模拟）（引黄冈市 2010年秋期末考试九年级数学模拟试题）

正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）

Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16 答案：D

DE?AB，8.（河南新乡2011模拟）如图，菱形ABCD的周长为40cm，垂足为E，

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sinA?35，

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则下列结论正确的有（） ①DE?6cm

②BE?2cm ④BD?410cm

260cm③菱形面积为

Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

答案：C

9.（浙江杭州进化2011一模）下列命题中的真命题是( ).

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形答案:C

10、（2011年黄冈市浠水县）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是? （） A. 2 答案：B

B. 3

C. 4

D. 5

11、（2011年北京四中33模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（） A．AB=CD

答案C

12．（2011年杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若

BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（） A.42 B.32 答案：D

C.5

D.7

C E

A C. AB=BC

D. AC=BD

B A

D C B. AD=BC

第12题）

13．（2011年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若a?0，b?0，则a?b?0；②若

a2?b2，则a?b；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线

互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（）

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A. ① ③④ 答案：C

B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤

14. （2011年杭州市模拟）如图，矩形的长与宽分别为a和

b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下

底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足的数量关系是

a1a2? B.? b2??1b2??1a1a2C.? D.? b2??2b??1A.答案：D

第14题

15. （2011年海宁市盐官片一模）如图所示，正方形ABCD的面积为A 12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线

P E

B 第15题图）

A．23 B．26 C．3 D．6 答案：A

二填空题

D AC上有一点P，使PD?PE的和最小，则这个最小值为

（ ▲ ）

1、(2011浙江杭州模拟16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个“V”字型的动作。我们将宽为2cm的长方形如图进行翻折，便可得到一个漂亮的“V”。如果“V”所成的锐角为60，

那么折痕AB的长是。答案：

2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图6，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．

43 3

答案: 定义或判定

3.(2011.河北廊坊安次区一模）如图8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再

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依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．

答案:

第3题图上

4. (2011湖北省天门市一模)如图4（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图4（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。

C1 C1

D C D1 D C D1 B2

A B A B B1 D2 B1

A1 A1

A2 的面积为12，△ABE5.（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）如图所示，正方形ABCD第4题图（1）内，在对角线AC上有一点图（2）P ，使PD?PE的和最ABCD是等边三角形，点E在正方形

小，则这个最小值为 ▲ . 答案： 23

答案: 625

6.（2011浙江杭州模拟7）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面________．

积和等于

（第6题图）

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7.(2011年宁夏银川)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点， DE?1．以

点A为中心，把△ADE顺时针旋转90?，得△ABE?，连接EE?，则EE?的长等于．答案：25 8．（2011年青岛二中）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，

使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．

（第8题图）答案：17

BC、CA上，9（2011年浙江仙居）如图在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、且DE∥CA，

DF∥BA．下列四种说法：

Ａ ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果?BAC?90，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分?BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果AD?BC且AB?AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）答案：①②③④

?Ｆ

ＥＢＤ

Ｃ

第9题图

10、(2011山西阳泉盂县月考)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，G、H在DC边上，且GH=35 。

11．（2011年江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °.

E A D

D′

F C B

C′

第11题

答案50 12、（2011年北京四中中考模拟19）在正方形的截面中，最多可以截出边形答案4 13、（2011年浙江杭州三模）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN= 答案：

1DC，AB=10，BC=12，则阴影部分的面积为 22

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（第14题图）

14、（2011年浙江杭州七模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于答案：7 B组

1．（2011安徽中考模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．答案：5

2. （2011湖北武汉调考模拟二）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫

一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心D所经过的路径总长为（结果保留?）___．

CBOD

A M B P N C 第1题图

答案：（83，+4）?

DA3、（北京四中2011中考模拟14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为____________（填上一个正确的结论即可）. 答案：对角线垂直且相等

4. （2011年杭州市模拟）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图y C O A A 第4题

，OC?22，所示，?AOC?45°则点B的坐标为．

答案：(22?2,2)

5．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形

塑料摸板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．

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B x D F E C B （第5题）

图）

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答案：16

6、（赵州二中九年七班模拟）若菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为。答案：52

7、（赵州二中九年七班模拟）用含30?角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形是（只填正确答案的序号）。答案：①③⑤

三解答题

1、(2011浙江杭州模拟15)

如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）

（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。答案：

（1）图略（4分）（2）等腰三角形（1分）

（1）

（2）

C Ｄ第1题图

E B A F Ｂ A

B A

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??BDE是?BDC沿BD折叠而成??BDE??BDC??FDB??CDB?ADCB是矩形?AB?DC??CDB??ABD??FDB??ABD?重叠部分，即?BDF是等腰三角形

2、(2011浙江杭州模拟15)

如图(1)，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S?ABD?S?ACD.（模拟改编）实践探究

（1）在图(2)中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S矩形ABCD之间满足

的

关

系式A A

D 图(1)

图(2)

图(3)

（2分）

B 为；

图(4)

（2）在图(3)中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；

（3）在图(4)中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间满足的关系式为；解决问题：

（4）在图(5)中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？

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图(5)

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答案：

1S矩形ABCD （2分） 21（2）S阴影?S平行四边形ABCD （2分）

21(3)S阴影?S四边形ABCD （2分）

2(1) S阴影?1S四边形ABCD， S四边形AHCG?S四边形ABCD，

2211∴S1+x+S2+S3+y+S4?S四边形ABCD．S1+m+S4+S2+n+S3?S四边形ABCD，

22（4）由上得S四边形BEDF?∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3）?S四边形ABCD．

∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴 ∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．

（4分）

3．（10分）（2011武汉调考模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠

BFE=90，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF (1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为_______，位置关系为_____（不证明）．

(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O

(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________． AD ADAD

P FEF BCBCEB ECF

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24.解：(1) PC=PF, PC⊥PF.

(2)延长FP至G使PG=PF，连DC.GC、FC. DB，延长EF交BD于N. 由?PDG≌?PEF,∴DG=EF=BF.

∠PEF= ∠PDG,∴EN// DG,∴∠BNE=∠BDG=450+∠CDG=900-∠NBF=900- (450-∠FBC) ∴∠FBC=∠GDC ∴△BFC≌△DGC,∴FC=CG, ∠BCF=∠DCG.

∴∠FCG= ∠BCD=900. ∴△FCG为等腰Rt△，∵PF=PG，∴ PC⊥PF, PF=PC. (3)

3 3 22. (2011年宁夏银川)（6分）如图，在□ABCD中，BE平分?ABC交AD于点E，DF平分?ADC交BC于点F.

求证：（1）△ABE≌CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.

DEA

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边， ∴?A??C，AB?CD，?ABC??ADC

DF平分?ADC，∵BE平分?ABC，

∴?ABE??CDF????????? 2分 BFC∴△ABE≌△CDF?ASA? ????????????????3分（2）由△ABE≌△CDF，得AE?CF ?????????????4分在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD?BC ∴DE∥BF，DE?BF

∴四边形EBFD是平行四边形????????????????5分若BD?EF，则四边形EBFD是菱形?????????????6分

1. （2011年兴华公学九下第一次月考）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。 (1)求证：AC∥DE；

(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。

答案：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB ∴∠DCA=∠CAB

又∵∠EDC=∠CAB ∴∠EDC=∠DCA

∴AC∥DE. --------------------------------------------------------------------------------（3分）（2）四边形BCEF是平行四边形证明：∵∠DEC=90° ，BF⊥AC ∴在Rt△DEC与Rt△AFC中

∠DEC=∠AFB，∠EDC=∠FAB，CD=AB

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∴Rt△DEC≌ Rt△AFC

∴CE=BF----------------------------------------------------------------------（6分）又∵DE∥AC ∴∠DEC +∠ACE=180° 又∵∠DEC=90°∴∠ACE=90° ∴∠ACE=∠AFB ∴CE∥BF

∴四边形BCEF是平行四边形.

2. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）

答案：答案不唯一，如

1．（2011年江苏连云港）(13分)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别

过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论； (2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．

解：（1）图①的结论是：BE?EF?DF， ? ? 2分

图②的结论是：DF?BE?EF， ? ?? ? 4分图③的结论是：EF?BE?DF， ? ?? ? 6分

（2）图①的结论是：BE?EF?DF的证明：

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E F D

A F B 图②

F P

D E A D

P C E C P

B 图③

C B 图①

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∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABC=90°，

∴∠DAF=∠ABE。 ? ? 8分在△DAF和△BAE中，

∵∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB=90°，AD=BA

∴△DAF≌△ABE ? ? 10分 ∴AF=BE，AE=DF

即BE?EF?DF. ? ? 13分图②与图③的证明与图①的证明方法类似，可参考图①的证明评分。

23. （2011年江苏盐城）(本题满分10分)如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相

交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F．连接CE． (1)求△CDE的周长；

(2)连接AF，四边形AECF是什么特殊的四边形？说明你的理由．

答案．(1)得到AO＝CO??1′，得到CE＝AE???2′，解得△CDE的周长为10cm????4′

(2)四边形AECF是菱形?????????5′，说明理由(略)???????????8′

27. （2011年江苏盐城）(本题满分12分)如图(1)，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、

AD的中点，连接CN、DM．

(1)判断CN、DM的关系，并说明理由；

(2)设CN、DM的交点为H，连接BH，如图(2)，求证：△BCH是等腰三角形； (3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图(3)，求 tan∠DEM．

27．解：(1)CM

DM??????1′ 证得△AMD≌△DNC?????2′

证得CN＝DM．???????????3′ 证得CN⊥DM????????4′ (2)延长DM、CB交于点P．证得BP＝BC．???7′ 证得△BCH是等腰三角形．???8′ (3)设AD＝4k，解得DE＝5k．??????10′ 解得A′E＝3k ????????

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O B

F F

＝DM，CN⊥

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11′

解得tan∠DEM＝

4 ????????????????????????????1、3（2011杭州模拟25）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF

（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）

（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点 ∴CF=AD （1分） ∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形 ∴∠FAD=∠C （1分） ∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG

∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分） ∴∠DEA=∠FGC （1分） ∴△AED≌△CGF （1分）（2）连结DF ∵DE=

11AF、 FG=DC 22DE=FG DE∥FG

∴四边形DEFG为平行四边形（3分）又∵∠DFC=90° 点G为DC中点

∴FG=DG （2分） ∴平行四边形DEFG为菱形 2、

1、（2011年浙江杭州七模如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格

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纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）. 答案：解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F 则△ABE和△AFD均为直角三角形 ?????1分在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25° sin∠ABE＝∴AB＝

AE ?????????1分 AB20＝50 ?????1分 0.4∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE ∴∠FAD＝∠α＝25°

AF AD在Rt△AFD中，cos∠FAD＝AD＝

????????1分

AF≈44.4 ????????????1分

cos25? ????1分

∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）

B组

1．（2011 天一实验学校二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上

1DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．

A4c （1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长。

的点,AE=ED,DF=

答案：

⑴证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=AD=CD

Ec Dc Fc Cc

1 又AE=DE,DF=DC

4AE1DF1AEDF?,?,∴?∴ AB2DE2ABDE∴△ABE∽△DEF

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⑵BG=10(过程略)

2．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

答案：BM=FN

证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心, ∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°．

∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO, ∠F=∠BDA ∴OB=OF ∠OBM=∠OFN

DFCGAEB??OBM??OFN?OB?OF在 △OMB和△ONF中? ??BOM??FON?∴△OBM≌△OFN ∴BM=FN

3.（2011北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.

答案：2000米2

D B

E H

4. （2011浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF

（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创） DA

E 答案：（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点

∴CF=AD （1分） ∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形

FB∴∠FAD=∠C （1分）

∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG

∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分） ∴∠DEA=∠FGC （1分）

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C京翰教育初中数学辅导网www.jhshuxuefudao.cn

∴△AED≌△CGF （1分）（2）连结DF ∵DE=

11AF、 FG=DC 22DE=FG DE∥FG

∴四边形DEFG为平行四边形（3分）又∵∠DFC=90° 点G为DC中点

∴FG=DG （2分） ∴平行四边形DEFG为菱形（1分）

5. （2011广东南塘二模）△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，当∠B与 ∠C满足怎样的关系时，四边形AEDF是菱形。并证明你的结论。

E F B C

D （第5题）答案：∠B＝∠C时，四边形AEDF为菱形。证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，

∵AD⊥BC，∴BD＝DC，

∵E、F分别为AB、AC中点，∴DF∥AB、DE∥AC、DE＝DF， ∴四边形AEDF为菱形。

6.（2011广东南塘二模）如图，矩形OABC的长OA=3，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿

（2）若P、A两点在抛物线

y P D C B 4y??x2?bx?c上，求抛物线的解析

3式，并判断点C是否在这抛物线上。（3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCPA的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。

O A x 答案：（1）连OM、MC、AB，设MC交x轴于D。

∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M直径，

1∵OA为⊙M的，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°，

3∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝3，∴M(3，1)， ∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2) （2）∵OA＝2·OD，∴A(23，0)，C(3，－1)，

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231把O、A、C三点坐标代入y＝as2＋bx＋c得：y＝x2－x。

331（3）∵∠AOC＝∠OAC＝∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30°

2∴若存在，则P必为抛物线与直线AB或与直线OM的交点。求得直线AB为：

?3x?2?y??3?3x＋2，由?y＝－ 31223?y?x?x?33?解得：P1(－3，3)，P2 (23，3)

∵P1O＝OA＝AP2＝23，∴P1、P2合题意。

7. （2011深圳市中考模拟五）如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．

答案：解：作CH⊥AB于H， ∵四边形DEFG为正方形，∴CM⊥GF 由勾股定理可得AB＝5

根据三角形的面积不变性可求得CH＝设GD＝x ∵GF ∥AB

∴∠CGF＝∠A ,∠CFG＝∠B ∴△ABC∽△GFC

12???????2分 512?xCMGFx5?∴ 即 ????????6分

12CHAB55

整理得：12－5x ＝解得：x＝

答：正方形的边长为

12x 560???????9分 3760???????10分 37京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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8. （2011深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD?AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．

（１）求证：四边形AFCE是菱形；

2（２）若AE?10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE＝AC·AP？

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

答案: （１）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO ∵AD∥BC

∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO ∴△AOE≌△COF ∵AE＝CE，又AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形 ∵AC⊥EF ∴四边形AEFC是菱形

（2）∵四边形AECF是菱形 ∴AF＝AE＝10???????4分设AB＝ａ，BF＝ｂ，∵△ABF的面积为24 a＋b＝100，ab＝48

(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去） △ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24???????8分

（３）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP

2222AEAO2? ∴ AE＝AO·AP APAE1∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC

212∴AE＝AC·AP

2∴△AOE∽△AEP ∴∴2AE＝AC·AP???????12分

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9. （2011深圳市全真中考模拟一）如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM?BE，垂足为M，AM交BD于点F．

(1)求证：OE=OF；

(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM?BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

AOFBM图1ECDAOMBF图2DCE

答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴?BOE=?AOF＝90?．OB＝OA ?????? (1分) 又∵AM?BE，∴?MEA+?MAE＝90?=?AFO+?MAE ∴?MEA＝?AFO??????（2分）

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (3分) ∴OE=OF ??????(4分)

(2)OE＝OF成立 ?????? (5分) 证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴?BOE=?AOF＝90?．OB＝OA ?????? (6分) 又∵AM?BE，∴?F+?MBF＝90?=?B+?OBE 又∵?MBF＝?OBE

∴?F＝?E??????（7分）

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (8分) ∴OE=OF ??????(9分)

10.（浙江杭州金山学校2011模拟）（10分）（根据2010年中考数学考前知识点回归＋巩固

专题13 二次函数题目改编）

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三．．．角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

，；F(1，2)．???????????????2分答案：解：（1）E(31)（2）在Rt△EBF中，?B?90，

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?EF?EB2?BF2?12?22?5．设点P的坐标为(0，n)，其中n?0， ∵顶点F(1，2)，

∴设抛物线解析式为y?a(x?1)2?2(a?0)．

①如图①，当EF?PF时，EF?PF，

22?12?(n?2)2?5．解得n1?0（舍去）；n2?4． ?P(0，4)．

?4?a(0?1)2?2．

解得a?2．

?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2 ???????????????????2分

22②如图②，当EP?FP时，EP?FP， ?(2?n)2?1?(1?n)2?9．

5解得n??（舍去）．????2分

2③当EF?EP时，EP?5?3，这种情况不存在．?????????????1分综上所述，符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)2?2．

（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．

如图③，作点E关于x轴的对称点E?，作点F关于y轴的对称点F?，连接E?F?，分别与

x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．……………………………………1分 ?E?(3，?1)，F?(?1，，2)NF?NF?，ME?ME?．

?BF??4，BE??3．

?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??32?42?5．

又?EF?5，

的周长最小值是 ?FN?NM?ME?EF?5?5，此时四边形MNFE5?5．????????????????????????2分

（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形 11. （河南新乡2011模拟）

纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝

3． 4（1）求B′ 点的坐标；

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（2）求折痕CE所在直线的解析式．

答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝

3，OC＝9， 493?∴ OB?4． ???????????????????????????３分

解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ???????????????４分（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕， ∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．

22?OB?OC由勾股定理，得 CB′＝＝15． ? ?????????????５分

设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．

∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．５分

?9?b,?4?15k?b. ????? ８分

设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 ??b?9,?1?k??.?13 解得? ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． ???????１0分

312. （河南新乡2011模拟）（ 10分）

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E． (1) 求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．

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答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2， ∵ AO＝OC＝2，

∴ △AOC是等边三角形．?……2分 ∴ ∠AOC＝60°，

∴∠AEC＝30°．??…?………4分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ∴ OC∥BD． ……………………5分 ∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°． ∵ AB为⊙O的直径，

∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ……………7分 ∴∠EAB＝∠AEC．

∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ………………………………９分又∵ OB＝OC＝2．

∴ 四边形OBEC是菱形． 13、（北京四中2011中考模拟12）已知：如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.

A 求证：DE=BF.

答案：

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°

∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE， ∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF. F B

图1

14、（2011北京四中模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，A F⊥CD于F。求证：DABE≌DACF

答案：∵菱形ABCD A ∴AB=AC,?B C ∵AE^BC,AF^CD

∴?AEB?AFC90 ∴DABE≌DACF（AAS） 15、（2011杭州模拟20）如图（1），已知正方形ABCD在直

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D E C B

E D 第14题图

F C

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线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG

（1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；

（2）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，

GGAFMBEC(1)请举例说明．

ADDFNMBE(2)CN（第15题）

答案：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG ????4分

（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，????1分

G 理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

D A 又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o F

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

M B E H N C EHFHFH∴＝＝图（2） ABBECH∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2

CH AB∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 ????5分 16、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． A 答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． ∵CE平分?BAC，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴EO?CO．同理，FO?CO．∴ EO?FO．

∵EO?FO，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.

M O F N E

又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP， ∴?ECF?90?． ∴四边形AECF是矩形． B C

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FHEH

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17、（2011年黄冈浠水模拟2）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G. （1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。

A 答案：（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF????2分

（2）四边形AGBD是矩形????3分

由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=900，又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形????7分

18.（2011深圳市模四）（本小题满分7分）