中微补充讲义(7)关于广延性博弈的几个问题

中微补充讲义（7） 北京大学：平新乔

关于广延性博弈的几个问题

一、

完美信息的广延性博弈转化为策略性博弈应注意的几个问题

1. 策略与行动计划

在广延性博弈里，如果参与人的信息集不止一个，则其策略就会成为一整套计划，参与人必须考虑到当自己处于什么“站”应当用什么应对计划的问题。这样，“策略”与“计划”就有了区别：“计划”是指参与人在某个信息集上选取的行动；而“策略”是在每个信息集上只选取一个计划的前提下，由各个信息集下所选取的一个一个行动计划构成的。

2. 一个策略所含的计划个数与策略集所含的策略个数

为什么当完美信息的广延型博弈转化为策略性博弈时，有时策略所包含的计划个数不止一个？原因就在于参与人在广延型博弈里的信息集不止一个。参与人i的一个策略sij（ j?1,2,...J,其中J为i各用的策略个数）所含的行计划的个数等于参与人i拥有的信息集个数。i拥有n个信息集，其每一个策略便有n元。请看下例：

在图11.1里，参与人“1”便有两个信息集：一个数在博弈的初始点，用空心表示；另一个信息集是在“1”走了C，参与人“2”走了E之后，又轮到“1”决策的那个信息集。这里，由于信息是完美的，从而参与人“1”的每个信息集都只含有一个决策点。因此，在该博弈里，参与人1有两个信息集，而参与人2则只有1个信息集。

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１ C 2 （2，0） E 1 G H （0，0） F （3，1） Ｄ （1，2） 图11.1 参与人1拥有两个信息集的广延型博弈 这样，参与人2的每一个“策略”就只包含一元。即只含有一个行动计划，当“2”决策时，s2或者是“E”，或者是“F”。但参与人1的每个策略都必须只含有二元：即必须表示参与人1在博弈开始点的行动计划与当参与人2行动之后再由参与人1所做出的反应计划。这样，参与人1的策略就会是（C,G），（C,H)，（D,G），（D,H）这样的构成方式，其每个策略都是一套计划，而不是只含有一个计划。

那么，参与人i在信息完美的广延型博弈里的策略个数是怎么决定的呢？设具有K个信

K息集，在第k个信息集参与人i拥有nk个行动计划，则i策略集中策略个数为?nk，这里，

k?1K?k?1是连乘号。在上例中，参与人1有两个信息集，且其在每个信息集都拥有两个行动计

划，从而，他有四个策略：（C,G），（C,H)，（D,G），（D,H）。

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3. 纳什均衡的精炼程度

把图11.1所表示的广延型博弈转化为策略型博弈，便有表11.2：

E 参与人1 （C,G） （C,H） （D,G） （D,H） 1,2 0,0 2,0 2,0 表11.2 与图11.1所对应的策略型博弈

表11.2里有两个纳什均衡：一个是参与人1选D，这样无论参与人选2选E或F，无论参与人1在第二次做决策时是选G还是选H，都不会改变支付水平（2，0）。另一个纳什均衡是（（C，H），F），即参与人2用选F来结束博弈。但是，这后一个纳什均衡，如果按“反向归纳”法，是会被排除掉的。之所以要排除掉这后一个纳什均衡，是由于一旦参与人2处于自己主动采取行动的决策点，他的“理性”要求他选E，因“2”知道若我选“E”，则“1”会选G。下一章我们会详细讲“子博弈完美性”，就是分析每个决策人在每个信息集上都要讲理性，都要找出在每个信息集上的纳什均衡。而按这个原则，表11.2中的（（C，H），F）就不再是纳什均衡了。

因此，当我们把完美信息的广延型博弈转化为策略型博弈时，所带来的问题是，这种转化会导致经不起仔细推敲的纳什均衡，即不够精炼的纳什均衡。

参与人2 F 3,1 3,1 2,0 2,0 二、 信息完美的子博弈完美纳什均衡举例

1 C D 2 F G H 2 I J E 2 K （3，0） （1，0） （1，1） （2，1） （2，2） （1，3）

图12.3 先行者在某些子博弈中有多个最优行动的广延型博弈 在图12.3中，长度（历史长度）为1的子博弈有3个，即由参与人2选择行动的3个子博弈。长度为2的子博弈有1个，就是原博弈本身。

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我们来讨论该例的子博弈完美性：

由于历史(?,E)之后的子博弈（最右边的那个子博弈）中，参与人2的最优行动是K，而在另外两个子博弈里，“2”的行动选择不会影响其本人的支付水平，从而，按理性原则（利己但不损人），参与人2的最优策略应该有4个：FHK，FIK，GHK，GIK。注意，参与人2的每个策略都有3元，因他有三个信息集。

下面讨论对参与人1来说，什么是他的最优策略？

对于参与人2的最优策略FHK与FIK来说，“C”是参与人1的最优策略；

对于参与人2的最优策略GHK来说，则无论是C，还是D，还是E，均是参与人1的最优反应；对于参与人2的最优策略GIK来说，参与人1的最优策略是D。由参与人2与参与人1之间的最优策略组成的，满足在每个子博弈都达到纳什均衡要求的“子博弈完美的纳什均衡”便有6个：（C，（FHK）），（C，（FIK）），（C，（GHK）），（D，（GHK）），（E，（GHK））与（D，（GIK））。

如果我们把符合子博弈完美性要求的行动路径用黑线标出来，以上六个子博弈完美纳什均衡的均衡路径为下图：

1 C 2 F （3，0）

1 E 2 I （2，1） J （2，2） K （1，3） F （3，0） 2 G （1，0） H （1，1） C 2 I （2，1） J （2，2） D E 2 K （1，3） D 2 G （1，0） H （1，1） 图12.4（1） 图12.4（2） 4

1 C 2 F （3，0） 2 F （3，0）

三．信息不完美的广延型博弈与序贯均衡 其中，xH1 E 2 I （2，1） J （2，2） K （1，3） F （3，0） 2 G （1，0） H （1，1） C 2 I （2，1） J （2，2） D E 2 K （1，3） D 2 G （1，0） C G （1，0） ?x,LH （1，1） 1 2 H （1，1） yHL图12.4（3） 图12.4（4） 1 E 2 2 K （1，3） F （3，0） G （1，0） H （1，1） C 2 I （2，1） J （2，2） D E 2 K （1，3） D I （2，1） ?y。

J （2，2） 图12.4（5） 图12.4（6）

例：设某产业存在n?2个潜在的进入企业，它们需决定是否进入该产业。已知市场需求的

反函数为：p?x?y?q。 这里，p为价格，q为总供应量，而x与y都是随机参数。x与y之间是互相独立的，并且都只取两个值，相应的概率分布为：

?xH,?x??L?x,1???y,y??L?y,H

?1??显然，如x值与y值高，则企业产品的卖价便高；反之，则卖价就低。企业若想了解x的值与y的值，则需要耗费调查成本，设每了解一个变量（x或y）的成本为ｒ＞0。一旦企业决定进入该行业，首先需投入沉没成本K，而进入该产业后，生产的边际成本为零。

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假设进入后的企业按古诺模型进行产量博弈。

我们假定： (A.1):?xH?yH(A.2): (A.3): (A.4):

2?L16?K

2?xH?y???9?K 4?K??x?yLH?x?yLH2?29

?xL?yL24?K

这些假定是有经济含义的：这里要进一步扩展古诺均衡的解。若一个行业有n个一样的企业，边际成本等于单位成本等于c，进入的沉没成本为K，且需求反函数为

np?a?q?a??qi则必有?i?i?1?a?c?2?N?1?2?K对所有i的成立。在这个例子中，a?x?y，

因此当c?0时：

（A.1）表示如进入的企业有3个，当x?xH,（A.2）表示当x?xH,（A.3）表示当x?xL,则必然都亏损；

（A.4）表示当x?xL且y?yL时，连一家企业经营也要亏本。 下面给出一个数字例子，说明“序贯均衡”的含义： ????12,xH； y?y时，企业都会亏损（?i?0）

H； y?y时，可以允许两个企业进入，因?i?0（对i?1,2）

y?yHL时，只允许一家垄断企业盈利；但如两家企业竞争，

?17,x?7,yLH?11,yL?5,K?50（请注意，这个数字例子满足了

假定（A.1）－（A.4））。

命题：在上述数字例子中，下述策略与信念就形成了“序贯均衡”：

企业A知道x，并且只有当x?xHH?17时它选择进入。如果A未遇上与之竞争的企

业，则A相信状态为（x?x?17,y?y?5）并且生产出垄断产量qLM?xH?y2L=11；

如果A遇上了与之相竞争的企业B，则A“相信”状态为（x?xxHH?17,y?yH?11），并

且选择古诺均衡产量

?y3H?283。

企业B知道y，并且只有当y?yH?11时才进入，如果未遇上竞争对手，B便相信状

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态为（x?x,y?y），并且选择垄断产量qLHM?x?y2LH?9；如果B遇上了竞争者，则

B相信状态为（x?xH?17,y?yH，从而选择古诺均衡产量?11）

xH?y3H?283。

下面分两步来证明上述两个企业各自的信念与策略构成了“序贯均衡”： 第一步：两家企业各自的“信念”（beliefs）是与事实一致的。这是由于，A与B可以按对手是否进入来更新自己对市场状态的判断与信念。如果B不进入，A在产业内，A相信“x?xH,y?yL”就是与事实一致的，因B只有当y?yH才进入。同理，我们可以证明B的信念也是一致的。

第二步，要证明企业A与B各自的策略是满足序贯理性的。首先，一旦A与B决定进入，无论其选择垄断产量，还是选择古诺均衡产量，其利润都为正，并且对于给定的对手的决策，都是最优反应。要进一步证明的是：

（1）

当A知道x?xL,y?yH时，A不会选择进入，这可用反证法。如果这时A进入，则B会认为x?xH?17,y?yH?11，B会选择古诺均衡产量xH?y3H?283。由于B选择了qB?283，则A的产量只能为

28??LHx?y???2（这是古诺模型中的反应函数），而

3??1328??LHx?y?2???3?3?p?x?yLH，市

413场

133价格相应为

?283?133?7?11??，于是A的利润为

??13?2?????50??18.78?50?0。显然，这时若进入，不是最优的策略。 ????3??（2） 另一个反叛行为来自企业B。当B知道x?x,y?y时贸然进入，这不如不进入。为什么？因一旦B进入，企业A按自己最优反应策略选定qA?这样企业B的最优反应只能为?xH?yL??p?xHHL283。

?1928?，市场价格为2??3?3?y?L283?193?17?5?47?3193，从而企业B的利润为

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??19?2?????50??0，这不如不进入。 ????3??

当我们排除了上述两类反叛行为之后，便证明了前面表述的企业A与企业B的信念与策略构成了“序贯均衡”。

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