全国通用2022高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教师

第六节双曲线

————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，

其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.

1

2

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“3”)

(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )

(2)方程x 2m －y 2n

＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n

＝0.( )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )

[答案] (1)3 (2)3 (3)√ (4)√

2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 23

＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1

D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a ＝2， ∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]

3．(20172福州质检)若双曲线E ：x 29－y 2

16

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3 B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]

4．(20162全国卷Ⅰ)已知方程x 2

m 2＋n －y 2

3m 2－n

＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )

A ．(－1,3)

B ．(－1，3)

C ．(0,3)

D ．(0，3) A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.

∴????? m 2＋n ＋3m 2－n ＝4， m 2＋n 3m 2－n >0，则????? m 2＝1，－m 2

3 因此－1

5．(20162北京高考改编)已知双曲线x 2a －y 2

b ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则双曲线的方程为__________．

x 2－y 24＝1 [由于2x ＋y ＝0是x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线， ∴b a ＝2，即b ＝2a ，①

又∵双曲线的一个焦点为(5，0)，则c ＝5，

由a 2＋b 2＝c 2，得a 2＋b 2＝5，②

联立①②得a 2＝1，b 2＝4.

∴所求双曲线的方程为x 2－y 24

＝

1.]

(20172哈尔滨质检)已知双曲线x 2－24＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43

|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48

B ．24

C ．12

D ．6 B [由双曲线的定义可得

|PF 1|－|PF 2|＝13

|PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，

由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12

|PF 1|3|PF 2|＝24.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立|PF 1|2|PF 2|间的联系．

[变式训练1] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )

4 A.14

B.13

C.24

D.

23

A [由e ＝c a

＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .

又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，

|F 2A |＝2a ，

∴cos ∠AF 2F 1＝ 4a 2＋ 2a 2－ 4a 2234a 32a ＝14.]

(1)(20172广州模拟)已知双曲线C ：a 2－b 2＝1的离心率e ＝4

，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) 【导学号：31222317】

A.x 24－y 23

＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 2

4＝1 (2)(20162天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )

A.x 24

－y 2＝1 B ．x 2－y 2

4＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 (1)C (2)A [(1)由焦点F 2(5,0)知c ＝5.

又e ＝c a ＝54

，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 2

9＝1. (2)由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12

. 又c 2＝a 2＋b 2

，解得a ＝2，b ＝1，

5 所以双曲线的方程为x 24

－y 2

＝1.] [规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．

2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．

[变式训练2] (1)(20152全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．

(2)设椭圆C 1的离心率为513

，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．

(1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，3)，

∴λ＝16－43(3)2＝4，

∴双曲线的标准方程为x 24

－y 2＝1. (2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.

由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.

故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]

(1)(20162全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：a 2－b

2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3 D ．2

(2)(20172石家庄调研)设双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：31222318】

6

(1)A (2)x ±y ＝0 [(1)如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a

. 在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13

得 tan ∠MF 2F 1＝24

. 所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24

， 整理得c 2－22

ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22

e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．

(2)由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ? ????c ，b 2a ，C ?

????c ，－b 2

a . 因为A 1B ⊥A 2C ， 所以

b 2a

c ＋a 2－b 2

a c －a

＝－1，整理得a ＝b . 因此该双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，即x ±y ＝0.]

[规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a ，b ，c 的齐次方程，但一定注意e >1这一条件．

2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系b a ＝e 2－1? ?

?

??e ＝c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．

[变式训练3] (20152全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )

A. 5

B ．2 C. 3 D. 2

D [不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，则|BM |

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