第十二章无穷级数自测题（含答案）

第十一章练习题

一、 填空题

1．级数

?11． ?(n(n?1)?2)的和为（ ）

nn?1?2．若?un为正项级数，且其部分和数列为?sn?，则?un收敛的充要条件是（ ）．

n?1n?1??3.级数?2nsinn?1?22n的敛散性为（ ）．

）．

4.幂级数?n?1?1x?2n的收敛区间为（

()n3n?5.幂级数?(?1)n?1x2n2n的收敛域为（ ）．

6.将函数

1(1?x)2展开成x的幂级数为（ ）．

7．f(x)满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x=0处左连续，且． f(0)??1,S(0)?2,则lim?f(x)=（ ）

x?08．设f(x)是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当f(x)是奇函数时，它的傅里叶系数为 an?（ ），bn?（ ）．

二、 单项选择题

?1. 若级数?an条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.

n?1A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。

2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．

?A.

?n?1?12n?1(?1)n?n； Ｂ．?(?1)()；

n?132nＣ．

?n?11n3?； Ｄ．?(?1)n?1nn?1n．

3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.

1

?A. ?(?1)n?1nnn?1? ；Ｂ．?(?1)n?1?n1n? ；Ｃ．?(?1)n?1?n1n2? ；Ｄ．?(?1)nn?11n(n?1)

?4. 已知级数?(?1)n?1n?1an?2,?an?12n?1?5，则级数?an?（ ）

n?1A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9

?5．幂级数?n?1xnn的和函数是（ ）．

Ａ．?ln(1?x)； Ｂ． ln(1?x)； Ｃ．ln(1?x); Ｄ． ?ln(1?x) 6. 函数f(x)?e?x展开成x的幂级数为（ ）.

?2A. ?n?0?x2n?n! Ｂ．?n?0(?1)?xn!n2n?Ｃ．?n?0xn?n! Ｄ．?n?0(?1)?xn!nn

n7. 若?an(x?1)在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）.

n?1A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。

?2n?n 8.已知级数?a收敛，常数λ>0,则级数?(?1)n?1ann??2（ ）.

n?1 A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设un?0(n?1,2,3,?)，且limnun?n???1，则级数?(?1)n?1n?1(1un?1un?1) （ ）.

A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。

三、计算题

1. 判定下列级数的收敛性。

?ncos2n?3, (2)

3? (1)

?n?1(n?1)?n?1(?n?sin?n?); (3)

?n?1(n3n?1)2n?1

2．讨论下列级数的敛散性

?1（1）?n?1?nx1?x2?0dx （2）?[n?11n?ln(1?1n)]

?3．求幂级数?n?1n2nx2n的收敛域。

2

?4．求幂级数?n?112?nn(x?1)的收敛域。

n5.将函数f(x)?ln(1?x)展开成(x?3)的幂级数。

1?x(1?x)2?6．将f(x)?展成x的幂级数并求级数?n?02n?12n的和．

7.将函数f(x)?arctan?1?x1?x展开成x的幂级数。

8.求幂级数?n?11n2nxn?1的收敛域，并求其和函数。

9．设f(x)是周期为２π的周期函数，它在［－π，π］的表达式为

?x,f(x)???0,???x?0,0?x??.? 将f(x)展成傅里叶级数．

10．设有级数2?（1）求此级数的收敛域；（2）证明此级数满足微分方程 ?(2n)!，

n?1x2n（3）求此级数的和函数。 y???y??1；参考答案

参考答案

一． 填空题

?1. 0；2. sn有界；3. 发散；4. (?1,5)；5. [?1,1]；6.

?(?1)n?1n?1nxn?1；7.5；8.

二、单选题

1.A；2.C；3.B；4.C；5.A；6.B；7.B；8.C；9.C。

三、计算题

ncos2n?3|?31(n?1)2?1.（1）收敛。由于|(n?1)，而?n?1?1(n?1)2收敛。

（2）收敛。由于

?n?sin?n~1?6n3，而?n?1?6n3收敛。

3

（3）收敛。利用根值判别法nan?(1n3n?12n?1)2n12?()?1.

3?2.（1）收敛。由于?n0x1?x21dx??n0xdx?3，而?n?123收敛。

3n21n)~12n23n2（2）收敛。由于

1n??ln(1?，而?n?112n2收敛。

3.收敛域为(?2,2)。 4. 收敛域为[?3,1)。

x?345. f(x)?ln(1?x)?ln(4?x?3)?ln4?ln(1?x?34?(?1)n?1(n)n)?ln4??n?1

??ln4??n?1(?1)n?1(x?3)nnn4 （ ?1?x?7）。

6. f(x)?1(1?x)11?x2?x(1?x)?2

而

1(1?x)x2?n?n?1?()??(?x)??n?0??nxn?1??(n?1)xn?0n （?1?x?1）

?(1?x)2?x?nxn?1n?1??n?1nx （?1?x?1）

nf(x)?1(1?x)2?x(1?x)2??1??(2n?1)xn?1n （?1?x?1）

当x?12?时，?n?02n?12n1?f()?6.

27. f?(x)?11?xx02???(?1)n?0nx2n （?1?x?1）

?x0f?(t)dt??11?t2dt??(?(?1)0n?0nx?n2n?t)dt??(?1)?n?0nx0?tdt?2n?(?1)n?0nx2n?12n?1

?即f(x)?f(0)???(?1)n?0x2n?12n?1 （?1?x?1），而f(0)??4，当x??1，级数收敛。

4

所以f(x)??4???(?1)n?0nx2n?12n?1 （?1?x?1）

?8. 收敛域为[?2,2)，当x?0时，S(x)?1221x?n?1x1xxn1[?ln(1?)]??ln(1?)， ()??x2x2n21x?0时，S(0)?。

cosx?sinx)?12sin2x?(23?29. f(x)???(25?2?4?(15?cos3x?13sin3x)?14sin4x

cos5x?sin5x)?? ???x??,x?(2k?1)?,k?0,?1,?2,?

12(e?ex?x10. 收敛域为(??,?)，和函数S(x)?)?1

5

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