福建省厦门市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷

2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（ ） A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}

2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8

3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表： 广告费用x 2 3 5 6 销售额y 20 30 40 50 由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（ A．56万元 B．58万元 C．68万元 D．70万元

5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（ ）

A．﹣2 B．0 C．1

D．3

6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9

，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b

7．已知函数f（x）=3x

，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论： ①f（x1+x2）=f（x1）?f（x2） ②f（x1?x2）=f（x1）+f（x2） ③

＞0

④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2） 其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

）

8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为下列判断正确的是（ ）

，

，

A．C．

＞＜

，甲比乙成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定

B．D．

＞＜

，乙比甲成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定

9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（ ） A．

10．函数f（x）=2

的图象大致是（ ）

B．

C．

D．

A． B． C． D．

11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（ ） 参考数据： x x f（x）=2﹣3x 0.25 0.44 0.375 0.17 0.4375 0.04 0.46875 ﹣0.02 0.5 ﹣0.08

A．0.375 B．0.4375

C．0.46875 D．0.5

=a在（1，

12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，+∞） B．（2，+∞）

C．（，2]

D．[，2]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 人．

14．已知函数f（x）=x﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为 ．

15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= ．

16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=

，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，

2

使得g（x）?f（x0）=1，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}． （Ⅰ）若a=2，求A∩（?RB）；

（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下： 分组（分数段） 频数（人数） 频率

a 0.08 [50，60） 13 0.26 [60，70） 16 0.32 [70，80） 10 0.20 [80，90） b c [90，100） 50 1.00 合计 （Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？

19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x）﹣f（﹣x+x﹣1）＞0．

20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=

（万），60岁以上的人

2

2

a

口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%?（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．

（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由； （Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）． 参考数据“0.94=0.88，0.94=0.83，1394=0.29，0.94=0.16．

21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．

（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．

（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是

2

3

20

30

0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．

22．设函数f（x）=

（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；

（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．

2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（ ） A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 【考点】并集及其运算． 【专题】计算题；集合．

【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可． 【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}， ∴A∪B={﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D．

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】函数的值．

【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用． 【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案． 【解答】解：∵f（x﹣1）=2x， 令x﹣1=3，则x=4， ∴f（3）=2×4=8， 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．

3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】几何概型．

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．

【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度， 区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，

由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．

故选：C．

【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表： 3 5 6 广告费用x 2

销售额y 20 30 40 50 由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（ ） A．56万元 B．58万元 C．68万元 D．70万元 【考点】线性回归方程．

【专题】函数思想；综合法；概率与统计．

【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案． 【解答】解： =

=4， =

=7x+7．

=35．

∴35=4×7+，解得=7．∴回归方程为

∴当x=7时，y=7×7+7=56． 故选：A．

【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．

5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（ ）

A．﹣2 B．0 C．1 D．3 【考点】伪代码；程序框图．

【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．

【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=

， ，由x=1满

x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3． 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．

6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【考点】对数值大小的比较．

【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．

【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案． 【解答】解：∵log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1， ﹣0.900.5＞0.5=1，

﹣0.9

∴a＜b＜c． 故选：B．

【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．

7．已知函数f（x）=3，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论： ①f（x1+x2）=f（x1）?f（x2） ②f（x1?x2）=f（x1）+f（x2） ③

＞0

x

④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2） 其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【考点】指数函数的图象与性质．

【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．

【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；

x

根据函数f（x）=3的单调性可以判断③正确．

x

【解答】解：关于函数f（x）=3，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）： ①f（x1+x2）=②f（x1?x2）=

x

=≠

?+

=f（x1）?f（x2），∴①正确； =f（x1）+f（x2），∴②错误；

＞0，∴③正确；

③f（x）=3是定义域上的增函数，f′（x）=k=

④f（﹣x1）+f（﹣x2）=

+≠+

=f（x1）+f（x2），∴④错误；

综上，正确结论的序号是①③． 故选：A． 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．

8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为下列判断正确的是（ ）

，

，

A．C．

＞＜

，甲比乙成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定

B．D．

＞＜

，乙比甲成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定

【考点】茎叶图．

【专题】对应思想；定义法；概率与统计．

【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论． 【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33， 乙的得分为14、17、24、28、28和33； ∴

=（16+17+18+22+32+33）=23， =（14+17+24+28+28+33）=24， ∴又

＜

；

，

=（49+36+25+1+81+100）==（100+49+0+16+16+81）=

∴＞，乙比甲成绩稳定些．

故选：D．

【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．

9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．

【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果． 【解答】解：由已知基本事件总数n=∴他随机作答，则他答对的概率p=

．

=15，

故选：C．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

10．函数f（x）=2

的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．

【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，

t

又因为y=2为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢， 故选：B．

【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．

11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（ ） 参考数据： x x f（x）=2﹣3x 0.25 0.44 0.375 0.17 0.4375 0.04 0.46875 ﹣0.02 0.5 ﹣0.08 A．0.375 B．0.4375 【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．

【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．

x

【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2﹣3x， d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，

不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，

不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.4375，

不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．

C．0.46875 D．0.5

故选：B．

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．

12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，+∞） B．（2，+∞）

C．（，2]

D．[，2]

=a在（1，

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．

【解答】解：∵关于x的方程

=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，

∴y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点， 作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，

，

结合图象可知，kl=2，km=， 实数a的取值范围是（，2]，

故选C．

【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 16 人． 【考点】分层抽样方法． 【专题】计算题．

【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．

【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16；

故答案为16．

【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．

14．已知函数f（x）=x﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为 [2，6] ． 【考点】函数的值域．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．

2

【解答】解：f（x）=（x﹣1）+2； ∵x∈[0，3]；

∴x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6； ∴f（x）的值域为[2，6]． 故答案为：[2，6]．

【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．

15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= 5 ． 【考点】进位制．

【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图． 【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k+3k+2=42，解得答案． 【解答】解：∵132（k）=42（10）， 2

∴k+3k+2=42，

解得：k=5，或k=﹣8（舍去）， 故答案为：5

【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．

16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=

，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，

2

2

2

使得g（x）?f（x0）=1，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．

【考点】对数函数的图象与性质．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据g（x）的值域和g（x）?f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a． 【解答】解：f（x0）=

=，∵x∈[a，+∞），∴f（x0）≤，

作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：

∵对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）?f（x0）=1， ∴0＜≤1，解得a≥2．

故答案为[2，+∞）．

【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}． （Ⅰ）若a=2，求A∩（?RB）；

（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．

【分析】（Ⅰ）若a=2，求出A，?RB，即可求A∩（?RB）； （Ⅱ）若A∪B=B，则A?B，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵log2x≥1，∴x≥2，即A=[2，+∞）， ∵a=2，∴B={x|x＞6}，∴?RB=（﹣∞，6]， ∴A∩（?RB）=[2，6]；

（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A?B， ∵A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}， ∴a+4＜2， ∴a＜﹣2．

【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．

18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下： 分组（分数段） 频数（人数） 频率 a 0.08 [50，60） 13 0.26 [60，70） 16 0.32 [70，80） 10 0.20 [80，90） b c [90，100）

50 1.00 合计 （Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？

【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图． 【专题】对应思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图． （Ⅱ）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数． 【解答】解：（Ⅰ）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14， 如图示：

；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，

选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统． 【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．

19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．

（1）求函数f（x）的解析式；

22

（2）解不等式f（x）﹣f（﹣x+x﹣1）＞0．

【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．

【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数的解析式；

a

（2）不等式f（x）﹣f（﹣x+x﹣1）＞0可化为：|x|＞|﹣x+x﹣1|，即x＞x﹣x+1，解得答案． 【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）． ∴4=2，解得：a=， 故当x≥0时，f（x）=当x＜0时，﹣x＞0，

，

，

a

222222

由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=

综上可得：f（x）=

22

（2）若f（x）﹣f（﹣x+x﹣1）＞0，

22

则f（x）＞f（﹣x+x﹣1），

22

则|x|＞|﹣x+x﹣1|，

22

即x＞x﹣x+1， 解得：x＞1

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．

20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=

（万），60岁以上的人

口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%?（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．

（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由； （Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．

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参考数据“0.94=0.88，0.94=0.83，1394=0.29，0.94=0.16． 【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用

≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；

（Ⅱ）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈岁以上人口数． 【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万， ∴x=2010，P=∴W≈142． 令

≥142，

=105，

，即可预测2040年该地区60

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