新版,人教版,数学,八年级上册第十五章《分式》教案

第十五章 分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

一、 教学目标

1． 了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入

1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：10，s，200，v.

7a33s2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为100小时，逆流航行60千米所用时间60小时，

20?v20?v所以100=60.

20?v20?v20?v20?v3. 以上的式子100，60，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同

as点？

五、例题讲解

P5例1. 当x为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围.

[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ 2（1）m ?1（2） (3) m?1m?3mm?2m?11分母不能为零；○2分子为零，这样[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○．．

求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9?y, m?4, 8y?3，1

xx?9520y22. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） x2?43?2xx?23. 当x为何值时，分式的值为0？

3x?52x?5x2?1x?77x（1） （2） (3) x2?x5x21?3x 1

七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x与y的差于4的商是 .

x2?12．当x取何值时，分式 无意义？

3x?2x?1的值为0？ 3. 当x为何值时，分式 x2?x八、答案：

六、1.整式：9x+4, 9?y, m?4 分式： 7 , 8y?3，1

xx?9205y22．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 23．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1

80七、1．18x, ,a+b, s,x?y; 整式：8x, a+b, x?y;

xa?b44分式：80, s a?bx2 2． X = 3. x=-1

3

课后反思：

3

15.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析

1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”

2

号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入

1531．请同学们考虑：3 与 相等吗？9 与 相等吗？为什么？

4202482．说出 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 4与 202483．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

P11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

P11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

?6b， ?x， 2m??n?5a3y31593， ??7m， ??3x。

6n?4y[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解

：

?6b?5a?=

6b5a，

?x3y=

?x3y，

?2m?n=

2mn，

?7m7m?3x3x= ， ?=。 6n6n?4y4y六、随堂练习

1．填空：

??2x26a3b23a3(1) 2= (2) = 3x?3x?3x8b????b?1x2?y2x?y（3) = (4) = 2a?can?cn???x?y?

2．约分：

3a2b8m2n2(x?y)3?4x2yz3（1） （2） （3） （4） 52mn26ab2cy?x16xyz

3．通分：

3

（1）（3）

12ba和 （2）和 2ab35a2b2c2xy3x23ca11?和 （4）和

2ab28bc2y?1y?14．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

?x3y?a3?5a?(a?b)2(1) ? (2) ? （3) (4) 222m?17b?13x3ab七、课后练习

1．判断下列约分是否正确： （1）

a?ca1x?y= （2）2= 2b?cbx?yx?ym?n=0 m?n12x?1x?1和 （2）和 22223ab7abx?xx?x?2a?b?x?2y （2）?

?a?b3x?y（3）

2．通分： （1）

3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）八、答案：

六、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1）

a4mx2

（2） （3）? （4）-2(x-y) 22bcn4z3．通分：

15ac4b2= ， = 22323235abc10abc2ab10abcba3ax2by（2）= 2， 2= 2

3x2xy6xy6xy（1）

3caab12c3?（3）= =

2ab28ab2c28bc28ab2c21y?11y?1（4）= =

y?1(y?1)(y?1)y?1(y?1)(y?1)x3ya35a(a?b)24．(1) (2) ? （3) (4) ? 222m3ab17b13x

课后反思：

15．2分式的运算

4

15．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析

1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是拉机的工作效率的?vm?，大拖拉机的工作效率是小拖abn?ab???倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观?mn?察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简. 3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.

4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1

四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高拖拉机的工作效率的?2

2

2

2

2

vm?，问题2求大拖拉机的工作效率是小abn?ab???倍. mn??[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.

1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解

P14例1.

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.

P15例2.

[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P15例.

[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.2a?1?a?1?2 5

作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：

x?3yx?2y2x?3y ??222222x?yx?yx?y=

(x?3y)?(x?2y)?(2x?3y) 22x?y2x?2y 22x?y2(x?y)

(x?y)(x?y)2 x?y11?x6??2 x?36?2xx?9=

==

(2)

[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：

11?x6??2 x?36?2xx?911?x6??= x?32(x?3)(x?3)(x?3)=

2(x?3)?(1?x)(x?3)?12

2(x?3)(x?3)?(x2?6x?9)= 2(x?3)(x?3)?(x?3)2= 2(x?3)(x?3)=?x?3

2x?6六、随堂练习

计算

3a?2ba?bb?am?2nn2m???? （2）

n?mm?nn?m5a2b5a2b5a2b163a?6b5a?6b4a?5b7a?8b?2???（3） （4） a?3a?9a?ba?ba?ba?b(1)

七、课后练习

计算 (1)

5a?6b3b?4aa?3b??223abc3bac3cba2 (2)

3b?aa?2b3a?4b??2 22222a?ba?bb?a 11

b2a2113x??a?b?1 (4) (3) ??2a?bb?a6x?4y6x?4y4y?6x2八、答案：

5a?2b3m?3n1 （2） （3） （4）1 2n?ma?35ab2a?3b1五.(1)2 (2) 2 （3）1 （4）

aba?b23x?2y四.（1）

课后反思：

15．2．2分式的加减（二）

一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.

2． P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

四、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解

（P21）例8.计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

（补充）计算 （1）(x?2x?14?x?)? 22xx?2xx?4x?4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解： (x?2x?14?x?)?

xx2?2xx2?4x?4x?2x?1x?]?=[

x(x?2)(x?2)2?(x?4)12

=[(x?2)(x?2)x(x?1)x ?]?x(x?2)2x(x?2)2?(x?4)x2?4?x2?xx= ??(x?4)x(x?2)2=?1

x2?4x?42xyx4yx2（2） ???x?yx?yx4?y4x2?y2[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.

xyx4yx2解： ??4?242x?yx?yx?yx?yxyx4yx2?y2= ??2?2222x?yx?y(x?y)(x?y)xxy2x2y= ??22(x?y)(x?y)x?y=

22xy(y?x)

(x?y)(x?y)xy x?y=?六、随堂练习 计算

ab11x24x?2?)?(?) ?)?(1) ( （2）(a?bb?aabx?22?x2x31221?2)?(?) （3）(a?2a?4a?2a?2

七、课后练习 1．计算 (1) (1?(2) (yx)(1?) x?yx?ya?2a?1a?24?a?)??2

aa2?2aa2?4a?4a111xy(3) (??)?

xyzxy?yz?zx2．计算(114?)?2，并求出当a?-1的值. a?2a?2aab （3）3 a?b13

八、答案：

六、（1）2x （2）

111a2xy?七、1.(1)2 (2) （3） 2.,-

a?2za2?43x?y2

课后反思：

15．2．3整数指数幂

一、教学目标：

1．知道负整数指数幂a?n=

1（a≠0，n是正整数）. na2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数. 二、重点、难点

1．重点：掌握整数指数幂的运算性质. 2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.

三、例、习题的意图分析

1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质. 2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：a?a?a在整数范围里也都适用.

3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.

4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.

5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.

6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.

7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入

1．回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法：a?a?a（2）幂的乘方：(a)?anmnmnmnm?nmnm?n，这条性质适用于m,n是任

意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，

(m,n是正整数)；

(m,n是正整数)；

n（3）积的乘方：(ab)?ab(n是正整数)；

14

n（4）同底数的幂的除法：a?a?amnm?n( a≠0，m,n是正整数，

m＞n)；

anan（5）商的乘方：()?n(n是正整数)；

bb2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a?1. 3．你还记得1纳米=10米，即1纳米=

35-9

01米吗？ 1091a3a34．计算当a≠0时，a?a=5=32=2，再假设正整数指数幂的运算性质

aaa?a353?5?2am?an?am?n(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a?a=a=a.

于是得到a=≠0）.

?211?na（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a2naa五、例题讲解

（P24）例9.计算

[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.

（P25）例10. 判断下列等式是否正确？

[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.

（P26）例11.

[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空

（1）-2=

02

（2）(-2)= （3）(-2)=

-3

-3

2 0

（4）2= (5）2= (6）(-2)= 2.计算

(1) (xy) （2）xy ·(xy)

七、课后练习

1. 用科学计数法表示下列各数：

0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 2.计算

(1) (3×10)×(4×10) (2) (2×10)÷(10) 八、答案：

六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5）

-8

3

-32

-33

3-22

2-2

-2

3

(3)(3xy) ÷(xy)

2-2 2-23

11 （6）? 88yx69x102.（1）4 （2）4 （3） 7

xyy七、1.(1) 4×10 (2) 3.4×10 （3）4.5×10 （4）3.009×10

2.（1） 1.2×10 （2）4×10

15

-5

3

-5

-2

-7

-3

课后反思：

15．3分式方程(一)

一、教学目标：

1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点

1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.

2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.

三、例、习题的意图分析

1． P31思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.

2．P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.

3． P33思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33的归纳出检验增根的方法.

4． P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？

5． 教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.

四、课堂引入

1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程2．提出本章引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程

x?22x?3??1 4610060?.

20?v20?v像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

五、例题讲解

（P34）例1.解方程

[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化 为整式方程，整式方程的解必须验根

这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.

16

（P34）例2.解方程

[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 六、随堂练习

解方程

23632???2 （2） xx?6x?1x?1x?1x?142xx?2?1 （4）??2 （3）

x?1x?12x?1x?2(1)七、课后练习

1．解方程

2164x?7??0 ?1?(2) 5?x1?x3x?88?3x234153?2?2?0 (4) ??? (3)2x?12x?24x?xx?xx?12x?912??的值等于2？ 2．X为何值时，代数式

x?3x?3x(1) 八、答案：

六、（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=

4 53 2七、1． (1) x=3 (2) x=3 （3）原方程无解 （4）x=1 2. x=

课后反思：

15．3分式方程(二)

一、教学目标：

1．会分析题意找出等量关系.

2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点

1．重点：利用分式方程组解决实际问题.

2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析

本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.

P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，

17

完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.

这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案. 四、例题讲解

P35例3

分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36例4

分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间 五、随堂练习

1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.

2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 六、课后练习

1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快

路程.这题用字母表示已知数（量）.时间1 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。 52．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的两队单独完成各需多少天？

3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？

七、答案：

五、1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时 六、1. 10千米/时 2. 4天，6天 3. 20升 课后反思：

2，求甲、乙3 18

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